Combinazioni di Generatori Indipendenti

In questa lezione esaminiamo come combinare più generatori ideali di tensione e corrente, sfruttando il concetto di equivalenza esterna.

Vedremo che possiamo sostituire un insieme di generatori indipendenti con un generatore equivalente, ossia un generatore che produce la stessa tensione o corrente.

Tuttavia, ci sono delle situazioni inammissibili che violano le leggi di Kirchhoff. Queste situazioni non possono essere considerate valide e non possono essere analizzate.

Generatori Indipendenti di Tensione in Serie

Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

**Figura 1:** Generatori Indipendenti di Tensione posti in Serie

Come si può osservare, tra i morsetti $a$ e $b$ si trova un insieme di $N$ generatori ideali di tensione, ognuno che genera la propria tensione $v_i$ .

Possiamo applicare il concetto di equivalenza visto nelle lezioni precedenti anche a questo caso.

Basta applicare la LKT per ricavare che la tensione finale tra i morsetti $a$ e $b$ è pari alla somma algebrica delle singole tensioni:

v_{ab} = \sum_{i=1}^{N} v_i

Quindi, possiamo sostituire all'insieme dei generatori un singolo generatore che genera una tensione pari a $v_{ab}$ , come mostra la figura che segue:

**Figura 2:** Generatore di Tensione Equivalente

Ciò che, invece, non possiamo determinare è la corrente $i$ che dipende dal resto del circuito.

Proviamo a considerare un semplice esempio. Analizziamo il circuito mostrato nella figura seguente:

**Figura 3:** Esempio di Generatori di Tensione in Serie

In questo caso, tra il morsetto $a$ e $b$ abbiamo tre generatori di tensione:

v_1 = 12\,V

v_2 = 3\,V

v_3 = 6\,V

Se applichiamo la LKT all'unica maglia del circuito otteniamo la seguente equazione:

v_1 + v_2 + v_3 = v_R

Ossia, la somma delle tre tensioni generate dai singoli generatori è uguale a quella applicata al resistore da $10\,\Omega$ .

Per cui, dal punto di vista del resistore è come se ci fosse un unico generatore di tensione equivalente che genera una tensione pari a:

v_{ab} = v_1 + v_2 + v_3 = 12\,V + 3\,V + 6\,V = 21\,V

Per conoscere, invece, la corrente erogata dai tre generatori al singolo resistore, basta applicare la legge di Ohm. Per cui:

v_{ab} = i \cdot R \, \Rightarrow \, i = \frac{v_{ab}}{R}

i = \frac{21\,V}{10\,\Omega} = 2.1\,A

Il circuito equivalente è mostrato in figura:

**Figura 4:** Esempio di Generatori di Tensione in Serie: Circuito Equivalente

Ricapitolando:

Definizione

Generatori Ideali di Tensione in Serie

Siano dati $N$ generatori ideali di tensione posti in serie ognuno dei quali genera una tensione $v_i$ .

Essi sono equivalenti ad un solo generatore di tensione che genera una tensione pari alla somma algebrica delle tensioni generate dai singoli generatori:

v_{ab} = \sum_{i=1}^{N} v_i

Generatori Indipendenti di Corrente in Parallelo

Possiamo applicare dei ragionamenti simili anche al caso di generatori ideali di Corrente posti, però, in parallelo.

Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

In questo caso abbiamo $N$ generatori ideali di corrente posti in parallelo, ossia collegati agli stessi nodi $a$ e $b$ .

Consideriamo il nodo $a$ e applichiamo ad esso la Legge di Kirchoff delle Correnti (LKC). Osserviamo che la corrente che esce dal nodo $a$ deve essere pari a quella entrante. Ma la corrente entrante è pari alla somma algebrica di tutte le correnti generate dai singoli generatori. Per cui, possiamo scrivere:

i = \sum_{i=1}^{N} i_i

Ma questo equivale, in sostanza, a dire che i generatori di corrente sono equivalenti ad un unico generatore di corrente che genera una corrente pari ad $i$ . Possiamo quindi sostituire i generatori di corrente con un generatore equivalente, come mostrato nella figura che segue:

**Figura 6:** Generatore di Corrente Equivalente

Ovviamente, anche in questo caso, non possiamo determinare la tensione $v$ che dipende dal resto del circuito.

Ricapitolando:

Definizione

Generatori Ideali di Corrente in Parallelo

Siano dati $N$ generatori ideali di corrente posti in parallelo ognuno dei quali genera una corrente $i_i$ .

Essi sono equivalenti ad un solo generatore di corrente che genera una corrente pari alla somma algebrica delle correnti generate dai singoli generatori:

i = \sum_{i=1}^{N} i_i

Situazioni Inammissibili

Abbiamo visto che possiamo sostituire un insieme di generatori indipendenti con un generatore equivalente. Nel caso dei generatori di tensione in serie, possiamo sostituirli con un generatore di tensione equivalente, così come nel caso dei generatori di corrente in parallelo possiamo sostituirli con un generatore di corrente equivalente.

Tuttavia, ci sono delle situazioni inammissibili che non possiamo considerare nel senso che le equazioni risultanti attraverso l'applicazione delle leggi di Kirchhoff non sono valide.

Il primo caso riguarda i generatori di tensione in parallelo. Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

**Figura 7:** Due Generatori Ideali di Tensione in Parallelo

Nel circuito abbiamo due generatori ideali di tensione posti in parallelo che generano due tensioni, $v_1$ e $v_2$ , agli stessi nodi.

Nel caso in cui $v_1 = v_2$ , il problema non si pone. Infatti, applicando la LKT, otteniamo che la tensione tra $a$ e $b$ è pari a $v_1$ (o $v_2$ ).

Viceversa, se $v_1 \neq v_2$ , la legge di Kirchhoff delle tensioni viene violata.

Infatti, applicando la LKT al circuito, otteniamo due equazioni incompatibili:

v - v_1 = 0 \quad v - v_2 = 0

Ma da ciò ne consegue che:

v - v_1 = v - v_2 \quad \Rightarrow \quad v_1 = v_2 \quad \color{red}{\text{non valido}}

Il che è un assurdo in quanto abbiamo assunto che $v_1 \neq v_2$ .

Per cui, non possiamo considerare due generatori di tensione in parallelo che generano tensioni diverse.

Il secondo caso riguarda i generatori di corrente in serie. Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

**Figura 8:** Due Generatori Ideali di Corrente in Serie

In questo caso abbiamo due generatori di corrente posti in serie che generano due correnti, $i_1$ e $i_2$ .

Se consideriamo il nodo $c$ in figura, per la legge di Kirchhoff delle correnti, dobbiamo avere che la corrente entrante deve essere uguale alla corrente uscente.

Ne consegue che l'unico caso valido è quando $i_1 = i_2$ . Infatti, se $i_1 \neq i_2$ , la legge di Kirchhoff delle correnti viene violata. Abbiamo ottenuto una situazione inammissibile.

Per cui, ricapitolando:

Nota

Situazioni Inammissibili

Quando più di un generatore ideale di tensione o corrente è presente in un circuito si possono presentare delle situazioni inammissibili, ossia situazioni che violano le leggi di Kirchhoff.

Tali situazioni sono:

Generatori di Tensione in Parallelo: Non possiamo considerare più generatori di tensione in parallelo che generano tensioni diverse. Questa situazione può essere considerata solo se le tensioni generate sono uguali.
Generatori di Corrente in Serie: Non possiamo considerare più generatori di corrente in serie che generano correnti diverse. Questa situazione può essere considerata solo se le correnti generate sono uguali.

Nella realtà, tuttavia, i generatori di tensione e corrente non sono ideali. Infatti, essi hanno una resistenza interna, come vedremo nelle prossime lezioni. Per cui, anche se i generatori di tensione sono posti in parallelo oppure i generatori di corrente sono posti in serie, il circuito può comunque essere analizzato senza violare le leggi di Kirchhoff.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come combinare generatori indipendenti di tensione e corrente.

Abbiamo visto che:

I generatori di tensione in serie sono equivalenti ad un generatore di tensione equivalente che genera una tensione pari alla somma algebrica delle tensioni generate dai singoli generatori.
I generatori di corrente in parallelo sono equivalenti ad un generatore di corrente equivalente che genera una corrente pari alla somma algebrica delle correnti generate dai singoli generatori.
Non possiamo considerare più generatori di tensione in parallelo che generano tensioni diverse.
Non possiamo considerare più generatori di corrente in serie che generano correnti diverse.

Nella prossima lezione vedremo come combinare generatori e resistori in un circuito elettrico.

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