Generatori Dipendenti

Concetti Chiave

I generatori dipendenti sono componenti elettrici che erogano tensione o corrente in base ad un'altra grandezza del circuito, chiamata variabile di controllo.
Esistono quattro tipi di generatori dipendenti: CCVS, VCVS, VCCS e CCCS, che si differenziano per la relazione tra l'uscita e la variabile di controllo.
I generatori dipendenti sono utilizzati per modellare circuiti complessi come transistor, amplificatori operazionali e circuiti integrati.
La potenza erogata da un generatore dipendente è calcolata come il prodotto della tensione e della corrente erogate.
I generatori dipendenti possono essere considerati quadripoli, poiché hanno quattro terminali: due per l'uscita e due per la variabile di controllo.

Generatori dipendenti

Nelle lezioni precedenti abbiamo studiato i generatori indipendenti di tensione e di corrente. Abbiamo visto che essi modellano matematicamente dei generatori di tensione e corrente ideali. Nella realtà, un vero generatore rappresenta un'approssimazione di un generatore ideale in quanto non è in grado di erogare un'energia infinita. In ogni caso, sotto certe assunzioni, un generatore reale si comporta come un generatore ideale.

Sempre nell'ottica di poter modellare componenti elettrici ed elettronici più complessi dal punto di vista matematico, si introducono i cosiddetti generatori dipendenti, ossia dei generatori di tensione e corrente che erogano una tensione ed una corrente in base ad un'altra grandezza del circuito che prende il nome di variabile di controllo. Poiché tali generatori dipendono da un'altra grandezza, essi vengono spesso chiamati anche generatori controllati.

Bisogna tener presente che nella realtà i generatori dipendenti non esistono ma servono a livello matematico per poter modellare componenti complessi come transistor, amplificatori operazionali e circuiti integrati.

Tipicamente, la relazione caratteristica di un generatore dipendente ha la forma matematica seguente:

u_g = k \cdot m

Dove:

$u_g$ è l'uscita del generatore e può essere una tensione o una corrente;
$m$ è la variabile di controllo, ossia la grandezza del circuito da cui il generatore dipende; anche in questo caso la grandezza può essere una tensione o una corrente;
$k$ è un coefficiente moltiplicativo che prende il nome di parametro di controllo e può assumere anche valori negativi.

Dal momento che l'uscita può essere una tensione o una corrente così come la variabile di controllo, esistono quattro possibili combinazioni che corrispondono ai quattro tipi di generatori dipendenti. Vediamoli uno ad uno.

Generatore di Tensione controllato in Corrente

Si tratta del primo tipo di generatore controllato. Nella documentazione tecnica viene anche chiamato CCVS, Current Controlled Voltage Source.

Il simbolo circuitale di questo generatore è riportato nella figura che segue:

**Figura 1:** CCVS - Generatore di Tensione Controllato in Corrente

L'espressione di un CCVS è la seguente:

v_g = r \cdot i_c

Dove:

$i_c$ è la corrente di controllo;
$r$ è il parametro di controllo.

Poiché $r$ è una costante di proporzionalità tra una corrente ed una tensione, si tratta a tutti gli effetti di una resistenza e si misura in Ohm, $\Omega$ . Motivo per cui $r$ prende il nome di Transresistenza.

Generatore di Tensione controllato in Tensione

Questo generatore dipendente prende anche il nome di VCVS, Voltage Controlled Voltage Source.

Il simbolo circuitale di questo generatore è riportato nella figura che segue:

**Figura 2:** VCVS - Generatore di Tensione Controllato in Tensione

L'espressione di un VCVS è la seguente:

v_g = \alpha \cdot v_c

Dove:

$v_c$ è la tensione di controllo;
$\alpha$ è il parametro di controllo.

In questo caso, il parametro di controllo $\alpha$ rappresenta il rapporto tra due tensioni per cui, a differenza del caso precedente non rappresenta una grandezza fisica ma si tratta di una costante adimensionale.

Generatore di Corrente controllato in Tensione

Questo generatore dipendente prende anche il nome di VCCS, Voltage Controlled Current Source.

Il simbolo circuitale di questo generatore è riportato nella figura che segue:

**Figura 3:** VCCS - Generatore di Corrente Controllato in Tensione

L'espressione di un VCCS è la seguente:

i_g = g \cdot v_c

Dove:

$v_c$ è la tensione di controllo;
$g$ è il parametro di controllo.

In questo caso, il parametro di controllo $g$ rappresenta una costante di proporzionalità inversa tra la corrente e la tensione: si tratta a tutti gli effetti di una conduttanza. Pertanto $g$ si misura in Siemens, $\text{S}$ , e prende il nome di Transconduttanza.

Generatore di Corrente controllato in Corrente

L'ultimo generatore dipendente prende il nome di CCCS, Current Controlled Current Source.

Il simbolo circuitale di un CCCS è riportato nella figura che segue:

**Figura 4:** CCCS - Generatore di Corrente Controllato in Corrente

L'espressione di un VCVS è la seguente:

i_g = \beta \cdot i_c

Dove:

$i_c$ è la corrente di controllo;
$\beta$ è il parametro di controllo.

Anche in questo caso (come per il VCVS), il parametro di controllo $\beta$ rappresenta il rapporto tra due grandezze dello stesso tipo, ossia due correnti, per cui non rappresenta una grandezza fisica ma si tratta di una costante adimensionale.

Proprietà dei Generatori dipendenti

Riassumendo, le caratteristiche dei generatori dipendenti sono riportate nella tabella che segue:

**Tabella 1:** Riepilogo dei Generatori dipendenti
Generatore	Descrizione	Relazione	Parametro di controllo	Unità di misura del parametro	Nome Parametro
CCVS	Current Controlled Voltage Source, Generatore di Tensione controllato in Corrente	$v_g = r \cdot i_g$	$r$	Ohm, $\Omega$	Transresistenza
VCVS	Voltage Controlled Voltage Source, Generatore di Tensione controllato in Tensione	$v_g = \alpha \cdot v_c$	$\alpha$	adimensionale
VCCS	Voltage Controlled Current Source, Generatore di Corrente controllato in Tensione	$i_g = g \cdot v_c$	$g$	Siemens, $\text{S}$	Transconduttanza
CCCS	Current Controlled Current Source, Generatore di Corrente controllato in Corrente	$i_g = \beta \cdot i_c$	$\beta$	adimensionale

A onor del vero, i generatori dipendenti possono essere considerati a tutti gli effetti dei quadripoli. Questo perché possiamo vedere un generatore controllato avente quattro morsetti:

due morsetti a cui il generatore è direttamente attaccato e sui quali eroga una tensione o una corrente;
due terminali di controllo, ossia quei due terminali su cui il generatore misura la grandezza di controllo.

Inoltre, la corrente $i_g$ e la tensione $v_g$ di un generatore controllato sono legate ad una terza grandezza di controllo. Cosa che non accade per un bipolo normale, in cui tensione e corrente sono sì legate tra loro ma indipendenti da altre grandezze.

Tipicamente, i terminali di controllo non vengono disegnati sul circuito, ma semplicemente si indica sul generatore la grandezza di controllo.

Detto questo, possiamo facilmente verificare che la potenza erogata da un generatore controllato è semplicemente:

p = v_g \cdot i_g

Questo perché i terminali di controllo non assorbono potenza.

Infine, è importante sottolineare la differenza tra generatori indipendenti e dipendenti:

I generatori indipendenti rappresentano i dati e i vincoli del circuito:

Il loro valore è noto a priori e le tensioni e le correnti da essi generate sono vincoli per le equazioni del circuito;
I generatori dipendenti sono relazioni di proporzionalità tra le grandezze del circuito.

Esempio

Proviamo ad esaminare un esempio. Analizziamo il circuito mostrato in figura:

Vogliamo trovare la corrente $i$ della maglia del circuito e la potenza erogata dal generatore controllato VCVS.

Questo circuito è composto da una singola maglia a cui possiamo applicare la LKT. Prendendo la maglia in senso orario abbiamo che:

-4\cdot v_1 + 10 + v_1 + v_2 = 0

Applicando la legge di Ohm ai due resistori, otteniamo:

v_1 = R_1 \cdot i = 2 \cdot i

v_2 = R_2 \cdot i = 4 \cdot i

Sostituendo queste due tensioni nell'equazione di sopra, otteniamo:

-4\cdot (2 \cdot i) + 14 + 2 \cdot i + 4 \cdot i = 0

-8i + 10 + 6i = 0

2i = 10

i = 5\,\text{A}

La tensione generata dal VCVS è:

v_g = 4 \cdot v_1 = 4 \cdot R_1 \cdot i = 4 \cdot 2 \cdot 5 = 40\,\text{V}

Poiché sia la tensione che la corrente del generatore sono positive, il generatore sta erogando potenza. La potenza erogata è pari a:

p_g = v_g \cdot i = 40 \cdot 5 = 220 \,\text{W}

Esempio: Resistenza Negativa

Un interessante esempio di circuito con generatori controllati è il seguente:

**Figura 6:** Circuito di Esempio con un Generatore di Corrente Controllato in Corrente: Resistenza Negativa

In questo circuito abbiamo un generatore CCCS collegato in parallelo ad un resistore e collegato ad un altro circuito di cui non ci interessano le caratteristiche.

Ciò che sappiamo è che nel nodo $n_1$ entra una corrente $i$ e che ai capi dei due elementi in parallelo vi è una tensione $v$ .

Proviamo a calcolare l'espressione della tensione applicata ai morsetti 1 e 2 in funzione della corrente $i$ . Applicando la LKC al nodo $n_1$ otteniamo la seguente equazione:

i = i_R + i_g

Sostituendo l'espressione di $i_g$ in questa equazione, otteniamo:

i = i_R + \beta \cdot i

i_R = (1 - \beta) \cdot i

Ma sappiamo che, dalla legge di Ohm, la tensione vale:

v = R_1 \cdot i_1 = R \cdot (1 - \beta) \cdot i

In altre parole, il bipolo composto dal CCCS e dal resistore $R$ è equivalente ad una resistenza. La resistenza equivalente del parallelo dei due componenti vale:

R_{eq} = R \cdot (1 - \beta)

Vediamo cosa succede al variare di $\beta$ :

Se $\beta < 1$ , il bipolo equivalente continua a comportarsi come una resistenza, dato che $R > 0$ ;
Se $\beta = 1$ , la resistenza si annulla;
Se $\beta > 1$ la resistenza diventa negativa.

In particolare se $\beta = 2$ , la resistenza equivalente diventa pari a $-R$ .

Questo tipo di circuito prende il nome di Convertitore di Resistenza Negativa e viene comunemente impiegato nella realizzazione di amplificatori e oscillatori.

Inoltre, il bipolo equivalente, il resistore di resistenza negativa, deve erogare necessariamente potenza e tale potenza vale:

p = vi = -R \cdot i^2 &lt; 0