Introduzione alla Logica Binaria

Concetti Chiave

La logica binaria è la base dei circuiti digitali e utilizza segnali che hanno due valori distinti: 0 e 1.
Le porte logiche, come AND, OR e NOT, operano su questi segnali per produrre output logici.
Le porte AND e OR possono avere più di due input, e il loro comportamento è definito da tabelle di verità.
La logica binaria è fondamentale per la progettazione di circuiti logici e sistemi digitali complessi.
I segnali di input e output delle porte logiche sono rappresentati da livelli di tensione, che possono essere interpretati come logica 0 o logica 1.
La comprensione della logica binaria e delle porte logiche è essenziale per lo sviluppo di circuiti digitali e sistemi informatici.

Logica Binaria

La logica binaria si occupa di variabili che assumono due valori discreti e di operazioni che assumono significato logico.

I due valori che le variabili assumono possono essere chiamati con nomi diversi (vero e falso, sì e no, ecc.), ma per il nostro scopo, è conveniente pensare in termini di bit e assegnare i valori 1 e 0. La logica binaria introdotta in questa lezione è equivalente a un'algebra chiamata algebra booleana. Studieremo approfonditamente l'algebra booleana nelle prossime lezioni. Per il momento iniziamo ad introdurre l'algebra booleana in modo euristico e collegarla ai circuiti logici digitali e ai segnali binari.

Definizione di Logica Binaria

La logica binaria consiste di variabili binarie e un insieme di operazioni logiche.

Le variabili sono designate da lettere dell'alfabeto, come $A$ , $B$ , $C$ , $x$ , $y$ , $z$ , ecc., con ogni variabile che ha due e solo due valori possibili distinti: 1 e 0. Ci sono tre operazioni logiche di base: AND, OR e NOT. Ogni operazione produce un risultato binario, denotato da $z$ .

AND: Questa operazione è rappresentata da un punto o dall'assenza di un operatore.

Per esempio:

$z = x \cdot y$

oppure

$z = xy$

e si legge: $x$ AND $y$ è uguale a $z$ .

L'operazione logica AND è interpretata nel senso che $z = 1$ se e solo se $x = 1$ e $y = 1$ ; altrimenti $z = 0$ . In altre parole, $z$ è 1 se entrambi $x$ e $y$ sono 1, altrimenti $z$ è 0.

Si ricordi che $x$ , $y$ , e $z$ sono variabili binarie e possono essere uguali a 1 o 0, e nient'altro. Il risultato dell'operazione $x \cdot y$ è $z$ .
OR: Questa operazione è rappresentata da un segno più.

Per esempio:

$z = x + y$

e si legge: $x$ OR $y$ è uguale a $z$ .

Ciò significa che $z = 1$ se $x = 1$ o se $y = 1$ o se entrambi $x = 1$ e $y = 1$ . Se entrambi $x = 0$ e $y = 0$ , allora $z = 0$ .
NOT: Questa operazione è rappresentata da un apostrofo (a volte da una barra sopra).

Per esempio:

$x' = z$

oppure

$\overline{x} = z$

e si legge: NOT $x$ è uguale a $z$ , oppure $x$ negato è uguale a $z$ .

Ciò significa che $z$ è quello che $x$ non è. In altre parole, se $x$ = 1, allora $z$ = 0, ma se $x$ = 0, allora $z$ = 1. L'operazione NOT è anche chiamata operazione di complemento, poiché cambia un 1 in 0 e uno 0 in 1, cioè il risultato del complemento di 1 è 0, e viceversa.

La logica binaria assomiglia all'aritmetica binaria, e le operazioni AND e OR hanno somiglianze con la moltiplicazione e l'addizione, rispettivamente. Infatti, i simboli usati per AND e OR sono gli stessi di quelli usati per moltiplicazione e addizione.

Tuttavia, la logica binaria non deve essere confusa con l'aritmetica binaria. Bisogna rendersi conto che una variabile aritmetica designa un numero che può consistere di molte cifre. Una variabile logica è sempre o 1 o 0. Per esempio, nell'aritmetica binaria, abbiamo 1 + 1 = 10 (si legge "uno più uno è uguale a 2"), mentre nella logica binaria, abbiamo 1 + 1 = 1 (si legge "uno OR uno è uguale a uno").

Per ogni combinazione dei valori di $x$ e $y$ , c'è un valore di $z$ specificato dalla definizione dell'operazione logica. Le definizioni delle operazioni logiche possono essere elencate in una forma compatta chiamata tabelle di verità. Una tabella di verità è una tabella di tutte le possibili combinazioni delle variabili, che mostra la relazione tra i valori che le variabili possono assumere e il risultato dell'operazione. Le tavole di verità per le operazioni AND e OR con variabili $x$ e $y$ sono ottenute elencando tutti i possibili valori che le variabili possono avere quando combinate in coppie. Per ogni combinazione, il risultato dell'operazione è poi elencato in una riga separata. Le tavole di verità per AND, OR e NOT sono date nella tabella che segue, queste tabelle dimostrano chiaramente la definizione delle operazioni:

**Tabella 1:** Tabelle di Verità per le Operazioni AND e OR
$x$	$y$	$x \cdot y$	$x + y$
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

**Tabella 2:** Tabella di Verità per l'Operazione NOT
$x$	$x'$
0	1
1	0

Porte Logiche

Le porte logiche sono circuiti elettronici che operano su uno o più segnali di input fisici per produrre un segnale di output. Segnali elettrici come tensioni o correnti esistono come segnali analogici che hanno valori su un dato intervallo continuo, ad esempio 0–5 V, ma in un sistema digitale queste tensioni sono interpretate come uno dei due valori riconoscibili, 0 o 1.

I circuiti logici operati a tensione rispondono a due livelli di tensione separati che rappresentano una variabile binaria uguale a logica 1 o logica 0. Per esempio, un particolare sistema digitale può definire logica 0 come un segnale uguale a 0 V e logica 1 come un segnale uguale a 5 V. In pratica, ogni livello di tensione ha un intervallo accettabile, come mostrato nella figura seguente:

**Figura 1:** Esempio di Livelli di Segnali ammissibili per rappresentare Valori Logici Binari: tra 5 e 4 Volt per il livello logico 1, tra 1 e 0 Volt per il livello logico 0

I terminali di input dei circuiti digitali accettano segnali binari entro l'intervallo consentito e rispondono ai terminali di output con segnali binari che cadono entro l'intervallo specificato.

La regione intermedia tra le regioni consentite viene attraversata solo durante una transizione di stato. Qualsiasi informazione desiderata per calcoli o controllo può essere operata facendo passare segnali binari attraverso varie combinazioni di porte logiche, con ogni segnale che rappresenta una particolare variabile binaria. Quando il segnale fisico è in un particolare intervallo, viene interpretato come 0 o 1.

I simboli grafici usati per designare i tre tipi di porte sono mostrati nelle figure seguenti:

**Figura 2:** Simbolo Grafico per la Porta Logica AND

**Figura 3:** Simbolo Grafico per la Porta Logica OR

**Figura 4:** Simbolo Grafico per la Porta Logica NOT

Le porte logiche sono circuiti hardware che producono l'equivalente di segnali di output logico 1 o logico 0 se i requisiti di input logici sono soddisfatti. I segnali di input $x$ e $y$ nelle porte AND e OR possono esistere in uno di quattro possibili stati: 00, 10, 11, o 01. Questi segnali di input sono mostrati nella figura seguente insieme al segnale di output corrispondente per ogni porta:

**Figura 5:** Evoluzione Temporale delle Risposte delle Porte Logiche

Questi diagrammi prendono il nome di diagrammi temporali. I diagrammi temporali illustrano la risposta idealizzata di ogni porta alle quattro combinazioni di segnali di input. L'asse orizzontale del diagramma temporale rappresenta il tempo, e l'asse verticale mostra il segnale mentre cambia tra i due possibili livelli di tensione. In realtà, le transizioni tra valori logici avvengono rapidamente, ma non istantaneamente.

Il livello basso rappresenta logica 0 e il livello alto logica 1. La porta AND risponde con un segnale di output logica 1 quando entrambi i segnali di input sono logica 1. La porta OR risponde con un segnale di output logica 1 se qualsiasi segnale di input è logica 1. La porta NOT è comunemente chiamata invertitore. La ragione di questo nome è apparente dalla risposta del segnale nel diagramma temporale, che mostra che il segnale di output inverte il senso logico del segnale di input.

Le porte AND e OR possono avere più di due input. Una porta AND con tre input e una porta OR con quattro input sono mostrate nelle figure seguenti:

**Figura 6:** Porta Logica AND con tre input

**Figura 7:** Porta Logica OR con quattro input

La porta AND a tre input risponde con output logica 1 se tutti e tre gli input sono logica 1. L'output produce logica 0 se qualsiasi input è logica 0. La porta OR a quattro input risponde con logica 1 se qualsiasi input è logica 1; il suo output diventa logica 0 solo quando tutti gli input sono logica 0.

Su tutti questi concetti torneremo in dettaglio nelle prossime lezioni, dove esploreremo le porte logiche in modo più approfondito e vedremo come queste operano in circuiti più complessi.