Sottrazione con il Complemento

Concetti Chiave

La sottrazione con il complemento è un metodo efficiente per eseguire operazioni di sottrazione nei sistemi digitali.
Utilizza il complemento a 2 per trasformare la sottrazione in un'operazione di somma.
Il risultato della sottrazione può essere positivo o negativo, a seconda dei valori di $M$ e $N$ .
La sottrazione con il complemento può essere applicata sia a numeri decimali che binari.
La sottrazione con il complemento a 1 è un metodo alternativo che utilizza il complemento a (r - 1) e richiede un riporto circolare finale.

Sottrazione con i Complementi

Il metodo diretto di sottrazione insegnato nelle scuole elementari usa il concetto di riporto. In questo metodo, si prende in prestito un 1 da una posizione più significativa quando la cifra del minuendo è più piccola della cifra del sottraendo. Il metodo funziona bene quando una sottrazione viene svolta con carta e matita. Tuttavia, quando la sottrazione è implementata con hardware digitale, il metodo è meno efficiente del metodo che usa i complementi.

La sottrazione di due numeri senza segno (ossia maggiori o uguali a zero) a $n$ cifre $M - N$ in base $r$ può essere fatta come segue:

Aggiungere il minuendo $M$ al complemento a $r$ del sottraendo $N$ .

Matematicamente il tutto si trasforma in:

$M + c(N) =$

$M + (r^n - N) =$

$M - N + r^n$
Se $M \geq N$ , la somma produrrà un riporto finale $r^n$ , che può essere scartato; quello che rimane è il risultato $M - N$ .
Se $M < N$ , la somma non produce un riporto finale ed è uguale a $r^n - (N - M)$ , che è il complemento a $r$ di $(N - M)$ .

Proviamo a dimostrare quest'ultima affermazione. Se $M < N$ , allora $N - M$ è positivo e quindi:

M - N + r^n = r^n - (N - M)

Ma poiché $r^n - (N - M)$ è il complemento a $r$ di $(N - M)$ , dalla definizione, il risultato della sottrazione è il complemento a $r$ di $(N - M)$ .

Adesso, proviamo a calcolare in pratica la sottrazione con i complementi.

Esempio

Usando il complemento a 10, sottrarre i due numeri decimali 72532 - 3250.

Per prima cosa, osserviamo che $M = 72532$ e $N = 03250$ , ossia $M > N$ .

Calcoliamo il complemento a 10 di $N$ :

c(N) = 10^5 - 03250 = 100000 - 03250 = 96750

Successivamente, sommiamo il minuendo e il complemento del sottraendo:

M + c(N) =

72532 + 96750 =

169282

Il numero che abbiamo ottenuto ha 6 cifre, quindi possiamo scartare il riporto finale $10^5$ e ottenere il risultato:

169282 - 100000 = 69282

Il risultato della sottrazione 72532 - 3250 è quindi 69282. Questo è lo stesso risultato che si ottiene sottraendo 3250 da 72532 usando il metodo diretto di sottrazione.

Si noti che $M$ ha cinque cifre e $N$ ha solo quattro cifre. Entrambi i numeri devono avere lo stesso numero di cifre, quindi scriviamo $N$ come 03250. Prendendo il complemento a 10 di $N$ si produce un 9 nella posizione più significativa. Il verificarsi del riporto finale significa che $M \geq N$ e che il risultato è quindi positivo.

Esempio

Usando il complemento a 10, sottrarre 3250 - 72532.

Notiamo tre cose:

$M = 03250$ e $N = 72532$ , ossia $M < N$ .
Il risultato sarà negativo.
$M$ ha quattro cifre e $N$ ne ha cinque, quindi dobbiamo scrivere $M$ come 03250.

M = 03250

Calcoliamo il complemento a 10 di $N$ :

c(N) = 10^5 - 72532 = 100000 - 72532 = 27468

Sommiamo il minuendo e il complemento del sottraendo:

M + c(N) =

03250 + 27468 =

30718

Non c'è riporto finale, infatti il risultato è minore di $10^5$ . Quindi per ottenere il risultato della sottrazione $M - N$ dobbiamo prendere il complemento a 10 del risultato:

c(30718) = 10^5 - 30718 = 100000 - 30718 = 69282

E, successivamente, aggiungiamo il segno negativo:

-69282

Questo è proprio il risultato della sottrazione $M - N$ che avremmo ottenuto sottraendo 72532 da 3250 usando il metodo diretto di sottrazione.

Si noti che poiché 3250 < 72532, il risultato è negativo. Poiché stiamo trattando con numeri senza segno, non c'è davvero modo di ottenere un risultato senza segno per questo caso. Quando si sottrae con i complementi, riconosciamo la risposta negativa dall'assenza del riporto finale e dal risultato complementato. Quando si lavora con carta e matita, possiamo cambiare la risposta in un numero negativo con segno per ottenere il risultato corretto.

Se lavoriamo con i numeri binari, la sottrazione con i complementi è fatta in modo simile, usando la procedura delineata precedentemente. Vediamo qualche esempio.

Esempio

Dati i due numeri binari:

$X = (1010100)_2$
$Y = (1000011)_2$

eseguire le due sottrazioni:

$X - Y$
$Y - X$

usando il complemento a 2.

Partiamo con la prima sottrazione:

I due numeri hanno lo stesso numero di cifre, quindi non dobbiamo fare alcuna modifica.
Calcoliamo il complemento a 2 di $Y$ :

$c(Y) = 0111100 + 1 = 0111101$
Sommiamo $X$ e il complemento di $Y$ :

$X + c(Y) =$

$\begin{array}{rr} 1010100 & + \\ 0111101 & = \\ \hline 10010001 & \end{array}$
Il risultato che abbiamo ottenuto ha 8 cifre, quindi possiamo scartare il riporto finale $2^7$ (ossia il bit più significativo):

$X - Y = 0010001$

La presenza del riporto finale indica che $X \geq Y$ , quindi il risultato è positivo.

Passiamo alla seconda sottrazione:

I due numeri hanno lo stesso numero di cifre, quindi non dobbiamo fare alcuna modifica.
Calcoliamo il complemento a 2 di $X$ :

$c(X) = 0101011 + 1 = 0101100$
Sommiamo $Y$ e il complemento di $X$ :

$Y + c(X) =$

$\begin{array}{rr} 1000011 & + \\ 0101100 & = \\ \hline 1101111 & \end{array}$

Non c'è riporto finale. Pertanto, la risposta è:

Y - X = -c(1101111) = -0010001

Sottrazione con Complemento a 1

La sottrazione di numeri senza segno può anche essere fatta per mezzo del complemento a (r - 1). Si ricordi che il complemento a (r - 1) è uno meno del complemento a r. A causa di questo, il risultato dell'aggiunta del minuendo al complemento del sottraendo produce una somma che è uno meno della differenza corretta quando si verifica un riporto finale. Rimuovere il riporto finale e aggiungere 1 alla somma è chiamato riporto circolare finale.

Per chiarire questo, consideriamo qualche esempio.

Esempio

Dati i due numeri binari:

$X = (1010100)_2$
$Y = (1000011)_2$

eseguire le due sottrazioni:

$X - Y$
$Y - X$

stavolta usando il complemento a 1.

Partiamo con la prima sottrazione:

I due numeri hanno lo stesso numero di cifre, quindi non dobbiamo fare alcuna modifica.
Calcoliamo il complemento a 1 di $Y$ :

$c_1(Y) = 0111100$
Sommiamo $X$ e il complemento di $Y$ :

$X + c_1(Y) =$

$\begin{array}{rr} 1010100 & + \\ 0111100 & = \\ \hline 10010000 & \end{array}$
Il risultato che abbiamo ottenuto ha 8 cifre, quindi possiamo scartare il riporto finale $2^7$ (ossia il bit più significativo). Questo bit è il riporto circolare finale, che deve essere aggiunto al risultato:

$X - Y = 0010001 + 1 = 0010001$

Adesso punto, possiamo notare che il risultato è lo stesso che abbiamo ottenuto usando il complemento a 2. La presenza del riporto finale indica che $X \geq Y$ , quindi il risultato è positivo.

Passiamo alla seconda sottrazione:

I due numeri hanno lo stesso numero di cifre, quindi non dobbiamo fare alcuna modifica.
Calcoliamo il complemento a 1 di $X$ :

$c_1(X) = 0101011$
Sommiamo $Y$ e il complemento di $X$ :

$Y + c_1(X) =$

$\begin{array}{rr} 1000011 & + \\ 0101011 & = \\ \hline 1101110 & \end{array}$

Non c'è riporto finale. Pertanto, la risposta è il complemento a 1 di $1101110$ :

Y - X = -c_1(1101110) = -0010001

Si noti che il risultato negativo si ottiene prendendo il complemento a 1 della somma, poiché questo è il tipo di complemento usato. La procedura con riporto circolare finale è anche applicabile alla sottrazione di numeri decimali non segnati con il complemento a 9.

Esempi

Esempio

Dati $X = (1101010)_2$ e $Y = (0101011)_2$ , trovare $X - Y$ con il complemento a 2.

Calcoliamo il complemento a 2 di $Y$ :

$c(Y) = 1010100 + 1 = 1010101$
Sommiamo $X$ e il complemento di $Y$ :

$X + c(Y) =$

$\begin{array}{rr} 1101010 & + \\ 1010101 & = \\ \hline 10111111 & \end{array}$
Il risultato che abbiamo ottenuto ha 8 cifre, quindi possiamo scartare il riporto finale $2^7$ (ossia il bit più significativo):

$X - Y = 01111111$

Esempio

Dati $X = (0101011)_2$ e $Y = (1101010)_2$ , trovare $X - Y$ con il complemento a 2.

Calcoliamo il complemento a 2 di $Y$ :

$c(Y) = 0010101 + 1 = 0010110$
Sommiamo $X$ e il complemento di $Y$ :

$X + c(Y) =$

$\begin{array}{rr} 0101011 & + \\ 0010110 & = \\ \hline 1000001 & \end{array}$
Il risultato che abbiamo non ha riporto finale. Pertanto, la risposta è il complemento a 2 di $1000001$ :

$X - Y = -c(1000001) = -0111111$

Esempio

Dati $X = (1101010)_2$ e $Y = (0101011)_2$ , trovare $X - Y$ con il complemento a 1.

Calcoliamo il complemento a 1 di $Y$ :

$c_1(Y) = 1010100$
Sommiamo $X$ e il complemento di $Y$ :

$X + c_1(Y) =$

$\begin{array}{rr} 1101010 & + \\ 1010100 & = \\ \hline 10111110 & \end{array}$
Il risultato che abbiamo ottenuto ha 8 cifre, quindi possiamo scartare il riporto finale $2^7$ (ossia il bit più significativo). Questo bit è il riporto circolare finale, che deve essere aggiunto al risultato:

$X - Y = 0111110 + 1 = 0111111$

Esempio

Dati $X = (0101011)_2$ e $Y = (1101010)_2$ , trovare $X - Y$ con il complemento a 1.

Calcoliamo il complemento a 1 di $Y$ :

$c_1(Y) = 0010101$
Sommiamo $X$ e il complemento di $Y$ :

$X + c_1(Y) =$

$\begin{array}{rr} 0101011 & + \\ 0010101 & = \\ \hline 1000000 & \end{array}$
Il risultato che abbiamo non ha riporto finale. Pertanto, la risposta è il complemento a 1 di $1000000$ :

$X - Y = -c_1(1000000) = -0111111$