Estensione e Durata Temporale di un Segnale

Concetti Chiave

Un'importante caratteristica di un segnale è la sua estensione temporale e la sua durata temporale.
La estensione temporale di un segnale è l'intervallo di tempo in cui il segnale assume valori non trascurabili.
La durata temporale di un segnale è la misura, in termini di tempo, della sua estensione temporale.
I segnali possono essere classificati in tre categorie in base alla loro durata temporale:
- Segnali di Durata Rigorosamente Limitata: sono esattamente nulli al di fuori di un intervallo di tempo finito.
- Segnali di Durata Praticamente Limitata: assumono valori talmente piccoli al di fuori di un intervallo finito da poter essere considerati trascurabili.
- Segnali di Durata Non Limitata: non possono essere confinati in un intervallo di tempo finito e assumono sempre valori non trascurabili.

Il Concetto di Estensione e Durata Temporale di un Segnale

Intuitivamente, la durata temporale di un segnale può essere intesa come la misura, in termini di tempo, dell'intervallo entro cui il segnale assume valori non trascurabili. Tale intervallo di tempo ne rappresenta la sua estensione temporale.

Formalmente possiamo scrivere:

Definizione

Estensione Temporale di un Segnale

Dato un segnale a tempo continuo:

x(t): t \in \mathbb{R} \mapsto x(t) \in \mathbb{R}

la sua estensione temporale è l'intervallo di tempo:

\mathcal{D}_x = [t_1, t_2]

dove:

\forall t \in \mathcal{D}_x, \quad |x(t)| \text{ non trascurabile}

Definizione

Durata Temporale di un Segnale

La durata temporale di un segnale è la misura $\Delta_x \geq 0$ , in termini di tempo, della sua estensione temporale $\mathcal{D}_x$

Su queste due definizioni dobbiamo fare alcune osservazioni.

In primo luogo, notiamo che la durata temporale di un segnale è sempre un numero reale non negativo in quanto si tratta della misura di un insieme.

Per essere più generali possibili, quando si parla di misura di un insieme, bisogna considerare due casi:

Nel caso in cui stiamo parlando di un sotto-insieme dei tempi reali $\mathbb{R}$ , la misura è la lunghezza dell'intervallo (o degli intervalli) che compongono l'insieme. In tal caso basta calcolare la differenza tra il valore massimo e il valore minimo dell'insieme:

$\mathcal{D}_x \subseteq \mathbb{R} \quad = [t_1, t_2]$

$\Delta_x = t_2 - t_1$

Questo è il caso più comune e quello che si applica alla maggior parte dei segnali a tempo continuo.
Nel caso in cui stiamo parlando di un segnale, ad esempio un'immagine, che dipende da due o più variabili indipendenti (ad esempio le coordinate spaziali $x$ e $y$ ), la misura dell'insieme va considerata come la misura di Lebesgue di quell'insieme. Si noti che la misura di Lebesgue è una generalizzazione della nozione di lunghezza, area e volume.

Abbiamo inserito questa osservazione per completezza, ma in questa guida ci concentreremo esclusivamente sui segnali a tempo continuo e a tempo discreto, che dipendono da una sola variabile indipendente.

La seconda osservazione riguarda il concetto di valori non trascurabili. In questi termini, la definizione di estensione e durata temporali posseggono un certo grado di arbitrarietà: non è chiaro cosa si intende quando si parla di valori non trascurabili. Ovviamente, ciò dipende dal contesto. Si potrebbero considerare solo quegli intervalli in cui il segnale assume valori diversi da zero, oppure quegli intervalli in cui i valori siano, in valore assoluto, al di sotto di una certa soglia.

Proprio per questo motivo, in letteratura, si tende a dividere i segnali in tre categorie:

Segnali di Durata Rigorosamente Limitata;
Segnali di Durata Praticamente Limitata;
Segnali di Durata Non Limitata.

Esaminiamo ciascuna di queste categorie.

Segnali di Durata Rigorosamente Limitata

La definizione più rigorosa di durata temporale è quella che si applica ai segnali di durata rigorosamente limitata:

Definizione

Segnali di Durata Rigorosamente Limitata

Un segnale a tempo continuo $x(t)$ si dice di durata rigorosamente limitata se esistono due istanti di tempo finiti $t_1$ e $t_2$ tali che:

t_2 &gt; t_1

x(t) = 0, \quad \forall t \notin (t_1, t_2)

In altre parole, il segnale assume valori diversi da zero solo in un intervallo di tempo finito. Al di fuori di questo intervallo, il segnale è esattamente nullo.

La durata temporale di un segnale di durata rigorosamente limitata è data da:

\Delta_x = t_2 - t_1

Mentre la sua estensione temporale è l'intervallo:

\mathcal{D}_x = (t_1, t_2)

Questo tipo di segnali prende anche il nome di Segnali a Supporto Finito.

La conseguenza di questa definizione è che sono considerati valori trascurabili solo i valori esattamente nulli.

Per chiarire questo concetto, consideriamo un segnale semplice di esempio: la finestra rettangolare.

Una finestra rettangolare a tempo continuo è definita come:

\text{rect}\left(t\right) \triangleq \left\{ \begin{array}{ll} 1, &amp; |t| \leq \frac{1}{2} \\ 0, &amp; |t| &gt; \frac{1}{2} \end{array} \right.

Si tratta di un segnale che assume il valore 1 nell'intervallo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ e il valore 0 al di fuori di questo intervallo.

Graficamente, la finestra rettangolare può essere rappresentata come segue:

**Figura 1:** Segnale Finestra Rettangolare

Questo segnale, come si può vedere dalla figura, è esattamente nullo al di fuori dell'intervallo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ . Pertanto, secondo la definizione data, la sua estensione temporale è:

\mathcal{D}_{\text{rect}} = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]

e la sua durata temporale è:

\Delta_{\text{rect}} = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1

In questo caso, il segnale è di durata rigorosamente limitata perché esiste un intervallo finito in cui il segnale è diverso da zero e al di fuori di questo intervallo il segnale è esattamente nullo.

Torneremo sul segnale finestra rettangolare in seguito, quando studieremo alcuni segnali fondamentali.

Un altro esempio di segnale di durata rigorosamente limitata è il segnale a finestra triangolare, definito come:

\Lambda(t) \triangleq \left\{ \begin{array}{ll} 1 - |t|, &amp; |t| \leq 1 \\ 0, &amp; |t| &gt; 1 \end{array} \right.

Questo segnale assume il valore massimo di 1 al tempo $t = 0$ e decresce linearmente fino a raggiungere il valore 0 ai tempi $t = -1$ e $t = 1$ . Al di fuori di questo intervallo, il segnale è esattamente nullo.

Il grafico del segnale a finestra triangolare è il seguente:

**Figura 2:** Segnale Finestra Triangolare

Anche in questo caso, possiamo vedere che il segnale è esattamente nullo al di fuori dell'intervallo $[-1, 1]$ . Pertanto, la sua estensione temporale è:

\mathcal{D}_{\Lambda} = [-1, 1]

e la sua durata temporale è:

\Delta_{\Lambda} = 1 - (-1) = 2

In sintesi, i segnali di durata rigorosamente limitata sono quelli che sono esattamente nulli al di fuori di un intervallo di tempo finito. La loro estensione temporale è l'intervallo in cui il segnale è diverso da zero, e la loro durata temporale è la lunghezza di questo intervallo.

Spesso, i segnali di durata rigorosamente limitata vengono anche chiamati Finestre o Funzioni a Finestra, in quanto vengono utilizzati per "finestrare" altri segnali, cioè per limitarli temporalmente.

Definizione

Segnali Finestra

Un segnale a tempo continuo $x(t)$ si dice segnale finestra se è di durata rigorosamente limitata.

Segnali di Durata Praticamente Limitata

Esistono altri segnali che, pur non essendo esattamente nulli al di fuori di un intervallo finito, assumono valori talmente piccoli da poter essere considerati trascurabili. Questi segnali sono detti di durata praticamente limitata.

Prendiamo, ad esempio, il segnale mostrato in figura:

**Figura 3:** Esempio di Segnale di Durata Praticamente Limitata

Il segnale in figura tende asintoticamente a zero per $t \to \pm \infty$ , ma non è mai esattamente nullo.

Quindi, all'atto pratico, risulta chiaro che il segnale assume valori non trascurabili solo in un intervallo di tempo finito, al di fuori del quale i valori del segnale sono talmente piccoli da poter essere ignorati.

Tuttavia, se vogliamo essere in grado di definire formalmente l'estensione e la durata temporale di un segnale di durata praticamente limitata, dobbiamo introdurre una soglia $\epsilon > 0$ in base alla quale decidiamo cosa considerare trascurabile.

Pertanto possiamo definire i segnali di durata praticamente limitata come segue:

Definizione

Segnali di Durata Praticamente Limitata

Data una soglia $\epsilon > 0$ , un segnale a tempo continuo $x(t)$ si dice di durata praticamente limitata se esistono due istanti di tempo finiti $t_1$ e $t_2$ tali che:

t_2 &gt; t_1

|x(t)| &lt; \epsilon, \quad \forall t \notin (t_1, t_2)

In altre parole, il segnale assume valori tali che il loro valore assoluto è minore di una certa soglia $\epsilon$ al di fuori di un intervallo di tempo finito.

La durata temporale di un segnale di durata praticamente limitata è data da:

\Delta_x = t_2 - t_1

Mentre la sua estensione temporale è l'intervallo:

\mathcal{D}_x = (t_1, t_2)

Risulta ovvio che esiste una dipendenza dalla soglia $\epsilon$ nella definizione di estensione e durata temporali di un segnale di durata praticamente limitata. Infatti, scegliendo una soglia più piccola, l'intervallo $(t_1, t_2)$ potrebbe allargarsi, mentre scegliendo una soglia più grande, l'intervallo potrebbe restringersi.

Questa dipendenza introduce una certa arbitrarietà nella definizione di estensione e durata temporali per questo tipo di segnali, ma è una conseguenza inevitabile del fatto che stiamo considerando valori "praticamente" trascurabili piuttosto che valori esattamente nulli.

La scelta della soglia dipende dal contesto e dall'applicazione specifica.

Un esempio comune di segnale di durata praticamente limitata è il segnale esponenziale monolatero decrescente:

x(t) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-t}, &amp; t \geq 0 \\ 0, &amp; t &lt; 0 \end{array} \right.

Il segnale esponenziale decrescente tende a zero per $t \to +\infty$ , ma non è mai esattamente nullo. Tuttavia, per valori di $t$ sufficientemente grandi, il segnale assume valori molto piccoli.

Il segnale è rappresentato in figura:

**Figura 4:** Segnale Esponenziale Monolatero

Se scegliamo una certa soglia $\alpha$ , possiamo determinare un intervallo di tempo in cui il segnale assume valori maggiori di $\alpha$ e considerare i valori al di fuori di questo intervallo come trascurabili.

Analiticamente, possiamo risolvere l'equazione:

e^{-t} = \alpha

per trovare il tempo $t$ in cui il segnale scende al di sotto della soglia $\alpha$ :

-t = \ln(\alpha) \implies t = -\ln(\alpha) = \ln\left(\frac{1}{\alpha}\right)

Quindi, possiamo definire l'intervallo di tempo in cui il segnale è considerato non trascurabile come:

\mathcal{D}_x = \left[0, \ln\left(\frac{1}{\alpha}\right)\right]

e la durata temporale come:

\Delta_x = \ln\left(\frac{1}{\alpha}\right) - 0 = \ln\left(\frac{1}{\alpha}\right)

Ritorneremo sul segnale esponenziale monolatero in seguito, quando studieremo alcuni segnali fondamentali.

Segnali di Durata Non Limitata

Un'ultima categoria di segnali sono quelli di durata non limitata. Questi segnali non possono essere confinati in un intervallo di tempo finito, anche considerando una soglia per i valori trascurabili.

Prendiamo il segnale di esempio in figura:

**Figura 5:** Esempio di Segnale di Durata Non Limitata

Risulta evidente che il segnale non si annulla mai e non esiste nessun criterio che ci permetta di confinare il segnale in un intervallo di tempo finito, ossia un criterio che ci consenta di considerare trascurabili certi valori rispetto ad altri.

Per questo motivo, in questo caso si assume che il segnale abbia durata non limitata o illimitata:

\Delta_x = +\infty

Possiamo dare una definizione di questo tipo di segnali in questo modo:

Definizione

Segnali di Durata Non Limitata

Un segnale a tempo continuo $x(t)$ si dice di durata non limitata se durante tutto l'intervallo di tempo entro cui esso è considerato o elaborato, il segnale assume sempre valori non trascurabili.

Tali segnali prendono anche il nome di Segnali Persistenti.

Bisogna chiarire, però, che il concetto di segnale persistente o di durata non limitata è comunque un'astrazione matematica. I segnali che vengono elaborati e analizzati nella pratica comune sono segnali sempre di durata limitata: non esiste qualcosa che dura all'infinito.

Il punto è che durante l'intervallo di osservazione tali segnali presentano sempre e comunque valori non trascurabili. Motivo per cui è più semplice analizzarli matematicamente supponendo che essi durino indefinitamente.

Di questi segnali una particolare categoria, che studieremo nella prossima lezione, è costituita dai segnali periodici ossia da quei segnali che si ripetono ciclicamente.