Funzioni Matematiche della Libreria Standard in Linguaggio C

Concetti Chiave

La libreria matematica standard C, definita nell'header <math.h>, offre una vasta gamma di funzioni matematiche per eseguire operazioni comuni come calcoli trigonometrici, esponenziali, logaritmici e altro ancora.
La libreria include costanti numeriche utili come M_PI per il valore di $\pi$ e M_E per il valore di $e$ .
Le funzioni matematiche sono disponibili in tre varianti per supportare i tipi di dati float, double e long double, consentendo una maggiore flessibilità nell'uso delle precisioni numeriche.

Costanti numeriche

La libreria matematica standard C definisce alcune costanti numeriche utili per le operazioni matematiche. Queste costanti sono definite come macro nell'header <math.h> e includono:

**Tabella 1:** Tabella delle costanti matematiche definite nella libreria standard C
Macro	Valore approssimato	Descrizione
`M_PI`	3.14159265358979323846	Valore di $\pi$
`M_PI_2`	1.57079632679489661923	Valore di $\frac{\pi}{2}$
`M_PI_4`	0.78539816339744830962	Valore di $\frac{\pi}{4}$
`M_1_PI`	0.31830988618379067154	Valore di $\frac{1}{\pi}$
`M_2_PI`	0.63661977236758134308	Valore di $\frac{2}{\pi}$
`M_2_SQRTPI`	1.12837916709551257390	Valore di $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$
`M_E`	2.71828182845904523536	Valore di $e$ (base dei logaritmi naturali)
`M_SQRT2`	1.41421356237309504880	Valore di $\sqrt{2}$
`M_SQRT1_2`	0.70710678118654752440	Valore di $\frac{1}{\sqrt{2}}$
`M_LN2`	0.69314718055994530942	Valore di $\ln(2)$
`M_LN10`	2.30258509299404568402	Valore di $\ln(10)$
`M_LOG2E`	1.44269504088896340736	Valore di $\log_2(e)$
`M_LOG10E`	0.43429448190325182765	Valore di $\log_{10}(e)$

In realtà, tali macro non sono parte dello standard C, ma sono ampiamente supportate dai compilatori più comuni come estensioni. Tuttavia, è importante notare che non tutti i compilatori garantiscono la presenza di queste macro, quindi è buona pratica verificare la documentazione del compilatore in uso.

Funzioni Trigonometriche

La libreria matematica standard C fornisce diverse funzioni trigonometriche per calcolare i valori delle funzioni seno, coseno, tangente e le loro inverse:

**Tabella 2:** Funzioni trigonometriche della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`sinf(float x)`	$\sin(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`sin(double x)`	$\sin(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`sinl(long double x)`	$\sin(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`cosf(float x)`	$\cos(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`cos(double x)`	$\cos(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`cosl(long double x)`	$\cos(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`tanf(float x)`	$\tan(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`tan(double x)`	$\tan(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`tanl(long double x)`	$\tan(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99

**Tabella 3:** Funzioni trigonometriche inverse della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`asinf(float x)`	$\arcsin(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`asin(double x)`	$\arcsin(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`asinl(long double x)`	$\arcsin(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`acosf(float x)`	$\arccos(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`acos(double x)`	$\arccos(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`acosl(long double x)`	$\arccos(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`atanf(float x)`	$\arctan(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`atan(double x)`	$\arctan(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`atanl(long double x)`	$\arctan(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`atan2f(float y, float x)`	$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`atan2(double y, double x)`	$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ in radianti. Restituisce `double`.
`atan2l(long double y, long double x)`	$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99

Un'importante osservazione riguarda l'unità di misura degli angoli utilizzata da queste funzioni. Tutte le funzioni trigonometriche della libreria matematica standard C operano in radianti, non in gradi. Pertanto, se si desidera utilizzare gradi, è necessario convertire i valori tra gradi e radianti utilizzando le seguenti formule:

$\text{radianti} = \text{gradi} \cdot \frac{\pi}{180}$
$\text{gradi} = \text{radianti} \cdot \frac{180}{\pi}$

Inoltre, spesso a causa di arrotondamenti numerici, non è detto che il risultato fornito dalla funzione cos, ad esempio, passato in ingresso alla funzione acos restituisca esattamente il valore originale.

Inoltre, la funzione acos restituisce valori solo nell'intervallo $[0, \pi]$ , mentre asin e atan restituiscono valori nell'intervallo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ .

La funzione atan2 è particolarmente utile perché considera il segno di entrambi gli argomenti per determinare il quadrante corretto dell'angolo risultante, restituendo valori nell'intervallo $(-\pi, \pi]$ . Una chiamata ad atan(x) equivale a atan2(x, 1.0).

Funzioni Iperboliche

La libreria matematica standard C include anche funzioni per calcolare le funzioni iperboliche e le loro inverse:

**Tabella 4:** Funzioni iperboliche della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`sinhf(float x)`	$\sinh(x)$ Restituisce `float`.	C99
`sinh(double x)`	$\sinh(x)$ Restituisce `double`.
`sinhl(long double x)`	$\sinh(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`coshf(float x)`	$\cosh(x)$ Restituisce `float`.	C99
`cosh(double x)`	$\cosh(x)$ Restituisce `double`.
`coshl(long double x)`	$\cosh(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`tanhf(float x)`	$\tanh(x)$ Restituisce `float`.	C99
`tanh(double x)`	$\tanh(x)$ Restituisce `double`.
`tanhl(long double x)`	$\tanh(x)$ Restituisce `long double`.	C99

**Tabella 5:** Funzioni iperboliche inverse della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`asinhf(float x)`	$\operatorname{arcsinh}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`asinh(double x)`	$\operatorname{arcsinh}(x)$ Restituisce `double`.	C99
`asinhl(long double x)`	$\operatorname{arcsinh}(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`acoshf(float x)`	$\operatorname{arccosh}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`acosh(double x)`	$\operatorname{arccosh}(x)$ Restituisce `double`.	C99
`acoshl(long double x)`	$\operatorname{arccosh}(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`atanhf(float x)`	$\operatorname{arctanh}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`atanh(double x)`	$\operatorname{arctanh}(x)$ Restituisce `double`.	C99
`atanhl(long double x)`	$\operatorname{arctanh}(x)$ Restituisce `long double`.	C99

Si noti che anche in questo caso, le funzioni iperboliche operano su valori in radianti e non in gradi.

Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

La libreria matematica standard C fornisce funzioni per calcolare esponenziali e logaritmi:

**Tabella 6:** Funzioni esponenziali e logaritmiche della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`expf(float x)`	$e^x$ Restituisce `float`.	C99
`exp(double x)`	$e^x$ Restituisce `double`.
`expl(long double x)`	$e^x$ Restituisce `long double`.	C99
`logf(float x)`	$\ln(x)$ Restituisce `float`.	C99
`log(double x)`	$\ln(x)$ Restituisce `double`.
`logl(long double x)`	$\ln(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`log10f(float x)`	$\log_{10}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`log10(double x)`	$\log_{10}(x)$ Restituisce `double`.
`log10l(long double x)`	$\log_{10}(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`exp2f(float x)`	$2^x$ Restituisce `float`.	C99
`exp2(double x)`	$2^x$ Restituisce `double`.	C99
`exp2l(long double x)`	$2^x$ Restituisce `long double`.	C99
`expm1f(float x)`	$e^x - 1$ Restituisce `float`.	C99
`expm1(double x)`	$e^x - 1$ Restituisce `double`.	C99
`expm1l(long double x)`	$e^x - 1$ Restituisce `long double`.	C99
`log1pf(float x)`	$\ln(1 + x)$ Restituisce `float`.	C99
`log1p(double x)`	$\ln(1 + x)$ Restituisce `double`.	C99
`log1pl(long double x)`	$\ln(1 + x)$ Restituisce `long double`.	C99
`log2f(float x)`	$\log_2(x)$ Restituisce `float`.	C99
`log2(double x)`	$\log_2(x)$ Restituisce `double`.	C99
`log2l(long double x)`	$\log_2(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`ilogbf(float x)`	Parte intera di $\log_2(x)$ . Restituisce `int`.	C99
`ilogb(double x)`	Parte intera di $\log_2(x)$ . Restituisce `int`.	C99
`ilogbl(long double x)`	Parte intera di $\log_2(x)$ . Restituisce `int`.	C99
`logbf(float x)`	Esponente di $x$ in base 2. Restituisce `int`.	C99
`logb(double x)`	Esponente di $x$ in base 2. Restituisce `int`.	C99
`logbl(long double x)`	Esponente di $x$ in base 2. Restituisce `int`.	C99

Tutte queste funzioni hanno a che fare con l'esponenziale naturale (base $e$ ) o con il logaritmo naturale, tranne quelle specificamente indicate come logaritmi in base 10 o in base 2.

Inoltre, calcolare il logaritmo di numeri molto vicini a 1 può portare a errori di arrotondamento significativi. Per questo motivo, le funzioni log1p e expm1 sono state introdotte per fornire una maggiore precisione in questi casi specifici.

Per calcolare il logaritmo in basi diverse da $e$ , 10 o 2, è possibile utilizzare la formula di cambio di base:

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}$

Quindi, ad esempio, per calcolare il logaritmo in base 3 di un numero x, si può utilizzare:

double log_base_3(double x) {
    return log(x) / log(3.0);
}

Funzioni di Potenza e Radice

La libreria matematica standard C include funzioni per calcolare potenze e radici:

**Tabella 7:** Funzioni di potenza e radice della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`powf(float b, float e)`	Calcola $b^e$ . Restituisce `float`.	C99
`pow(double b, double e)`	Calcola $b^e$ . Restituisce `double`.
`powl(long double b, long double e)`	Calcola $b^e$ . Restituisce `long double`.	C99
`sqrtf(float x)`	Calcola $\sqrt{x}$ . Restituisce `float`.	C99
`sqrt(double x)`	Calcola $\sqrt{x}$ . Restituisce `double`.
`sqrtl(long double x)`	Calcola $\sqrt{x}$ . Restituisce `long double`.	C99
`frexpf(float x, int *esponente)`	Scompone `x` in frazione e potenza di 2. Restituisce `float`.	C99
`frexp(double x, int *esponente)`	Scompone `x` in frazione e potenza di 2. Restituisce `double`.
`frexpl(long double x, int *esponente)`	Scompone `x` in frazione e potenza di 2. Restituisce `long double`.	C99
`ldexpf(float f, int e)`	Calcola $f \cdot 2^e$ . Restituisce `float`.	C99
`ldexp(double f, int e)`	Calcola $f \cdot 2^e$ . Restituisce `double`.
`ldexpl(long double f, int e)`	Calcola $f \cdot 2^e$ . Restituisce `long double`.	C99
`cbrtf(float x)`	Calcola $\sqrt[3]{x}$ . Restituisce `float`.	C99
`cbrt(double x)`	Calcola $\sqrt[3]{x}$ . Restituisce `double`.	C99
`cbrtl(long double x)`	Calcola $\sqrt[3]{x}$ . Restituisce `long double`.	C99
`hypotf(float x, float y)`	Calcola $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Restituisce `float`.	C99
`hypot(double x, double y)`	Calcola $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Restituisce `double`.
`hypotl(long double x, long double y)`	Calcola $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Restituisce `long double`.	C99

Funzioni per il Valore Assoluto e il Segno

La libreria matematica standard C include funzioni per calcolare il valore assoluto e il segno di un numero:

**Tabella 8:** Funzioni per il valore assoluto e segno della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`fabsf(float x)`	Calcola il valore assoluto di `x`. Restituisce `float`.	C99
`fabs(double x)`	Calcola il valore assoluto di `x`. Restituisce `double`.
`fabsl(long double x)`	Calcola il valore assoluto di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`copysignf(float x, float y)`	Restituisce `x` con il segno di `y`. Restituisce `float`.	C99
`copysign(double x, double y)`	Restituisce `x` con il segno di `y`. Restituisce `double`.
`copysignl(long double x, long double y)`	Restituisce `x` con il segno di `y`. Restituisce `long double`.	C99
`signbitf(float x)`	Restituisce vero se il segno di `x` è negativo.	Restituisce `int`.
`signbit(double x)`	Restituisce vero se il segno di `x` è negativo.	Restituisce `int`.
`signbitl(long double x)`	Restituisce vero se il segno di `x` è negativo.	Restituisce `int`.

Le funzioni copysign sono particolarmente utili quando si desidera manipolare il segno di un numero senza alterarne il valore assoluto.

Ad esempio, copysign(x, 1.0) restituisce il valore assoluto di x, mentre copysign(x, -1.0) restituisce il valore assoluto di x con segno negativo.

Le funzioni signbit, invece, sono utili per verificare se un numero è negativo, indipendentemente dal suo valore assoluto. Queste funzioni sono molto più affidabili rispetto a un semplice confronto con zero, poiché considerano anche il caso di zero negativo rappresentato in virgola mobile.

Funzione Gamma e Funzione di Errore Standard

La libreria matematica standard C include funzioni per calcolare la funzione gamma e la funzione di errore:

**Tabella 9:** Funzioni gamma e di errore della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`tgammaf(float x)`	Calcola la funzione gamma di `x`. Restituisce `float`.	C99
`tgamma(double x)`	Calcola la funzione gamma di `x`. Restituisce `double`.
`tgammal(long double x)`	Calcola la funzione gamma di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`lgammaf(float x)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x`. Restituisce `float`.	C99
`lgamma(double x)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x`. Restituisce `double`.
`lgammal(long double x)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`erff(float x)`	Calcola la funzione di errore di `x`. Restituisce `float`.	C99
`erf(double x)`	Calcola la funzione di errore di `x`. Restituisce `double`.
`erfl(long double x)`	Calcola la funzione di errore di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`erfcf(float x)`	Calcola la funzione di errore complementare di `x`. Restituisce `float`.	C99
`erfc(double x)`	Calcola la funzione di errore complementare di `x`. Restituisce `double`.
`erfcl(long double x)`	Calcola la funzione di errore complementare di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`lgamma_r(double x, int *signgamp)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x` e imposta il segno in `signgamp`. Restituisce `double`.	C99

Alcune osservazioni importanti riguardo a queste funzioni:

Le funzioni erf, erff e erfl calcolano la funzione di errore, che è utile in statistica e probabilità:

$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$
Le funzioni erfc, erccf e erfcl calcolano la funzione di errore complementare:

$\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$
La funzione gamma, $\Gamma(x)$ , è una generalizzazione della funzione fattoriale per numeri reali e complessi. Per numeri interi positivi vale:

$\Gamma(n) = (n-1)!$

Per valori reali e complessi, la funzione gamma è più complessa e viene definita tramite un'integrale improprio:

$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$

Le funzioni tgamma e lgamma calcolano rispettivamente la funzione gamma e il suo logaritmo naturale:
- tgamma(x) restituisce $\Gamma(x)$
- lgamma(x) restituisce $\ln(|\Gamma(x)|)$
La funzione lgamma_r fornisce anche il segno della funzione gamma tramite il parametro signgamp. Spesso usare la funzione logaritmica è preferibile per evitare problemi di overflow con valori grandi di x.

Funzioni per la moltiplicazione e somma combinate (Fused Multiply-Add)

Un'importante funzionalità offerta dalla libreria matematica standard C è la possibilità di eseguire operazioni di moltiplicazione e somma combinate, note come Fused Multiply-Add (FMA), Moltiplicazione e Somma Fuse.

Le funzioni FMA sono:

**Tabella 10:** Funzioni Fused Multiply-Add della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`fmaf(float x, float y, float z)`	Calcola `(x * y) + z` con un'unica operazione. Restituisce `float`.	C99
`fma(double x, double y, double z)`	Calcola `(x * y) + z` con un'unica operazione. Restituisce `double`.	C99
`fmal(long double x, long double y, long double z)`	Calcola `(x * y) + z` con un'unica operazione. Restituisce `long double`.	C99

In pratica, tali funzioni, dati i numeri $x$ , $y$ e $z$ in ingresso, calcolano la seguente espressione matematica:

\text{FMA}(x, y, z) = (x \cdot y) + z

Queste funzioni sono state aggiunte allo standard dal momento che molte CPU moderne offrono in hardware l'operazione FMA che moltiplica e somma in un colpo solo. Chiamando tale funzione, stiamo dicendo al compilatore che vogliamo sfruttare l'istruzine hardware corrispondente (se disponibile) che ha due vantaggi:

Se presente, essendo svolta in hardware tale operazione è più veloce rispetto ad effettuare le due operazioni separatamente;
Tale istruzione esegue un'operazione di arrotondamento una volta sola, anziché due, quindi produce un risultato più accurato.

Essa è particolarmente utile in quegli algoritmi numerici che effettuano una serie di moltiplicazioni e addizioni. Ad esempio gli algoritmi per il calcolo del prodotto scalare tra due vettori, la moltiplicazione di due matrici oppure il calcolo della FFT (Fast Fourier Transform o Trasformata di Fourier Veloce).

Per sapere se la piattaforma sottostante e il compilatore supportano tale funzione, si può controllare se la macro FP_FAST_FMA è stata definita. In caso affermativo, chiamare fma dovrebbe essere più veloce di (o almeno veloce quanto) effettuare un'operazione di moltiplicazione e somma distinte.

Esistono anche le macro FP_FAST_FMAF e FP_FAST_FMAL che svolgono lo stesso ruolo per le funzioni fmaf e fmal rispettivamente.