Funzioni Matematiche della Libreria Standard in Linguaggio C

Concetti Chiave

La libreria matematica standard C, definita nell'header <math.h>, offre una vasta gamma di funzioni matematiche per eseguire operazioni comuni come calcoli trigonometrici, esponenziali, logaritmici e altro ancora.
La libreria include costanti numeriche utili come M_PI per il valore di $\pi$ e M_E per il valore di $e$ .
Le funzioni matematiche sono disponibili in tre varianti per supportare i tipi di dati float, double e long double, consentendo una maggiore flessibilità nell'uso delle precisioni numeriche.

Costanti numeriche

La libreria matematica standard C definisce alcune costanti numeriche utili per le operazioni matematiche. Queste costanti sono definite come macro nell'header <math.h> e includono:

**Tabella 1:** Tabella delle costanti matematiche definite nella libreria standard C
Macro	Valore approssimato	Descrizione
`M_PI`	3.14159265358979323846	Valore di $\pi$
`M_PI_2`	1.57079632679489661923	Valore di $\frac{\pi}{2}$
`M_PI_4`	0.78539816339744830962	Valore di $\frac{\pi}{4}$
`M_1_PI`	0.31830988618379067154	Valore di $\frac{1}{\pi}$
`M_2_PI`	0.63661977236758134308	Valore di $\frac{2}{\pi}$
`M_2_SQRTPI`	1.12837916709551257390	Valore di $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$
`M_E`	2.71828182845904523536	Valore di $e$ (base dei logaritmi naturali)
`M_SQRT2`	1.41421356237309504880	Valore di $\sqrt{2}$
`M_SQRT1_2`	0.70710678118654752440	Valore di $\frac{1}{\sqrt{2}}$
`M_LN2`	0.69314718055994530942	Valore di $\ln(2)$
`M_LN10`	2.30258509299404568402	Valore di $\ln(10)$
`M_LOG2E`	1.44269504088896340736	Valore di $\log_2(e)$
`M_LOG10E`	0.43429448190325182765	Valore di $\log_{10}(e)$

In realtà, tali macro non sono parte dello standard C, ma sono ampiamente supportate dai compilatori più comuni come estensioni. Tuttavia, è importante notare che non tutti i compilatori garantiscono la presenza di queste macro, quindi è buona pratica verificare la documentazione del compilatore in uso.

Funzioni Trigonometriche

La libreria matematica standard C fornisce diverse funzioni trigonometriche per calcolare i valori delle funzioni seno, coseno, tangente e le loro inverse:

**Tabella 2:** Funzioni trigonometriche della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`sinf(float x)`	$\sin(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`sin(double x)`	$\sin(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`sinl(long double x)`	$\sin(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`cosf(float x)`	$\cos(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`cos(double x)`	$\cos(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`cosl(long double x)`	$\cos(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`tanf(float x)`	$\tan(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`tan(double x)`	$\tan(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`tanl(long double x)`	$\tan(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99

**Tabella 3:** Funzioni trigonometriche inverse della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`asinf(float x)`	$\arcsin(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`asin(double x)`	$\arcsin(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`asinl(long double x)`	$\arcsin(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`acosf(float x)`	$\arccos(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`acos(double x)`	$\arccos(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`acosl(long double x)`	$\arccos(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`atanf(float x)`	$\arctan(x)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`atan(double x)`	$\arctan(x)$ in radianti. Restituisce `double`.
`atanl(long double x)`	$\arctan(x)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99
`atan2f(float y, float x)`	$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ in radianti. Restituisce `float`.	C99
`atan2(double y, double x)`	$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ in radianti. Restituisce `double`.
`atan2l(long double y, long double x)`	$\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ in radianti. Restituisce `long double`.	C99

Un'importante osservazione riguarda l'unità di misura degli angoli utilizzata da queste funzioni. Tutte le funzioni trigonometriche della libreria matematica standard C operano in radianti, non in gradi. Pertanto, se si desidera utilizzare gradi, è necessario convertire i valori tra gradi e radianti utilizzando le seguenti formule:

$\text{radianti} = \text{gradi} \times \frac{\pi}{180}$
$\text{gradi} = \text{radianti} \times \frac{180}{\pi}$

Inoltre, spesso a causa di arrotondamenti numerici, non è detto che il risultato fornito dalla funzione cos, ad esempio, passato in ingresso alla funzione acos restituisca esattamente il valore originale.

Inoltre, la funzione acos restituisce valori solo nell'intervallo $[0, \pi]$ , mentre asin e atan restituiscono valori nell'intervallo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ .

La funzione atan2 è particolarmente utile perché considera il segno di entrambi gli argomenti per determinare il quadrante corretto dell'angolo risultante, restituendo valori nell'intervallo $(-\pi, \pi]$ . Una chiamata ad atan(x) equivale a atan2(x, 1.0).

Funzioni Iperboliche

La libreria matematica standard C include anche funzioni per calcolare le funzioni iperboliche e le loro inverse:

**Tabella 4:** Funzioni iperboliche della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`sinhf(float x)`	$\sinh(x)$ Restituisce `float`.	C99
`sinh(double x)`	$\sinh(x)$ Restituisce `double`.
`sinhl(long double x)`	$\sinh(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`coshf(float x)`	$\cosh(x)$ Restituisce `float`.	C99
`cosh(double x)`	$\cosh(x)$ Restituisce `double`.
`coshl(long double x)`	$\cosh(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`tanhf(float x)`	$\tanh(x)$ Restituisce `float`.	C99
`tanh(double x)`	$\tanh(x)$ Restituisce `double`.
`tanhl(long double x)`	$\tanh(x)$ Restituisce `long double`.	C99

**Tabella 5:** Funzioni iperboliche inverse della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`asinhf(float x)`	$\operatorname{arcsinh}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`asinh(double x)`	$\operatorname{arcsinh}(x)$ Restituisce `double`.	C99
`asinhl(long double x)`	$\operatorname{arcsinh}(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`acoshf(float x)`	$\operatorname{arccosh}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`acosh(double x)`	$\operatorname{arccosh}(x)$ Restituisce `double`.	C99
`acoshl(long double x)`	$\operatorname{arccosh}(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`atanhf(float x)`	$\operatorname{arctanh}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`atanh(double x)`	$\operatorname{arctanh}(x)$ Restituisce `double`.	C99
`atanhl(long double x)`	$\operatorname{arctanh}(x)$ Restituisce `long double`.	C99

Si noti che anche in questo caso, le funzioni iperboliche operano su valori in radianti e non in gradi.

Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

La libreria matematica standard C fornisce funzioni per calcolare esponenziali e logaritmi:

**Tabella 6:** Funzioni esponenziali e logaritmiche della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`expf(float x)`	$e^x$ Restituisce `float`.	C99
`exp(double x)`	$e^x$ Restituisce `double`.
`expl(long double x)`	$e^x$ Restituisce `long double`.	C99
`logf(float x)`	$\ln(x)$ Restituisce `float`.	C99
`log(double x)`	$\ln(x)$ Restituisce `double`.
`logl(long double x)`	$\ln(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`log10f(float x)`	$\log_{10}(x)$ Restituisce `float`.	C99
`log10(double x)`	$\log_{10}(x)$ Restituisce `double`.
`log10l(long double x)`	$\log_{10}(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`exp2f(float x)`	$2^x$ Restituisce `float`.	C99
`exp2(double x)`	$2^x$ Restituisce `double`.	C99
`exp2l(long double x)`	$2^x$ Restituisce `long double`.	C99
`expm1f(float x)`	$e^x - 1$ Restituisce `float`.	C99
`expm1(double x)`	$e^x - 1$ Restituisce `double`.	C99
`expm1l(long double x)`	$e^x - 1$ Restituisce `long double`.	C99
`log1pf(float x)`	$\ln(1 + x)$ Restituisce `float`.	C99
`log1p(double x)`	$\ln(1 + x)$ Restituisce `double`.	C99
`log1pl(long double x)`	$\ln(1 + x)$ Restituisce `long double`.	C99
`log2f(float x)`	$\log_2(x)$ Restituisce `float`.	C99
`log2(double x)`	$\log_2(x)$ Restituisce `double`.	C99
`log2l(long double x)`	$\log_2(x)$ Restituisce `long double`.	C99
`ilogbf(float x)`	Parte intera di $\log_2(x)$ . Restituisce `int`.	C99
`ilogb(double x)`	Parte intera di $\log_2(x)$ . Restituisce `int`.	C99
`ilogbl(long double x)`	Parte intera di $\log_2(x)$ . Restituisce `int`.	C99
`logbf(float x)`	Esponente di $x$ in base 2. Restituisce `int`.	C99
`logb(double x)`	Esponente di $x$ in base 2. Restituisce `int`.	C99
`logbl(long double x)`	Esponente di $x$ in base 2. Restituisce `int`.	C99

Tutte queste funzioni hanno a che fare con l'esponenziale naturale (base $e$ ) o con il logaritmo naturale, tranne quelle specificamente indicate come logaritmi in base 10 o in base 2.

Inoltre, calcolare il logaritmo di numeri molto vicini a 1 può portare a errori di arrotondamento significativi. Per questo motivo, le funzioni log1p e expm1 sono state introdotte per fornire una maggiore precisione in questi casi specifici.

Per calcolare il logaritmo in basi diverse da $e$ , 10 o 2, è possibile utilizzare la formula di cambio di base:

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}$

Quindi, ad esempio, per calcolare il logaritmo in base 3 di un numero x, si può utilizzare:

double log_base_3(double x) {
    return log(x) / log(3.0);
}

Funzioni di Potenza e Radice

La libreria matematica standard C include funzioni per calcolare potenze e radici:

**Tabella 7:** Funzioni di potenza e radice della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`powf(float b, float e)`	Calcola $b^e$ . Restituisce `float`.	C99
`pow(double b, double e)`	Calcola $b^e$ . Restituisce `double`.
`powl(long double b, long double e)`	Calcola $b^e$ . Restituisce `long double`.	C99
`sqrtf(float x)`	Calcola $\sqrt{x}$ . Restituisce `float`.	C99
`sqrt(double x)`	Calcola $\sqrt{x}$ . Restituisce `double`.
`sqrtl(long double x)`	Calcola $\sqrt{x}$ . Restituisce `long double`.	C99
`frexpf(float x, int *esponente)`	Scompone `x` in frazione e potenza di 2. Restituisce `float`.	C99
`frexp(double x, int *esponente)`	Scompone `x` in frazione e potenza di 2. Restituisce `double`.
`frexpl(long double x, int *esponente)`	Scompone `x` in frazione e potenza di 2. Restituisce `long double`.	C99
`ldexpf(float f, int e)`	Calcola $f \times 2^e$ . Restituisce `float`.	C99
`ldexp(double f, int e)`	Calcola $f \times 2^e$ . Restituisce `double`.
`ldexpl(long double f, int e)`	Calcola $f \times 2^e$ . Restituisce `long double`.	C99
`cbrtf(float x)`	Calcola $\sqrt[3]{x}$ . Restituisce `float`.	C99
`cbrt(double x)`	Calcola $\sqrt[3]{x}$ . Restituisce `double`.	C99
`cbrtl(long double x)`	Calcola $\sqrt[3]{x}$ . Restituisce `long double`.	C99
`hypotf(float x, float y)`	Calcola $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Restituisce `float`.	C99
`hypot(double x, double y)`	Calcola $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Restituisce `double`.
`hypotl(long double x, long double y)`	Calcola $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Restituisce `long double`.	C99

Funzioni di Arrotondamento e Resto

La libreria matematica standard C fornisce funzioni per l'arrotondamento e il calcolo del resto:

**Tabella 8:** Funzioni di arrotondamento e resto della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`ceilf(float x)`	Arrotonda `x` per eccesso. Restituisce `float`.	C99
`ceil(double x)`	Arrotonda `x` per eccesso. Restituisce `double`.
`ceill(long double x)`	Arrotonda `x` per eccesso. Restituisce `long double`.	C99
`floorf(float x)`	Arrotonda `x` per difetto. Restituisce `float`.	C99
`floor(double x)`	Arrotonda `x` per difetto. Restituisce `double`.
`floorl(long double x)`	Arrotonda `x` per difetto. Restituisce `long double`.	C99
`fmodf(float x, float y)`	Calcola il resto di `x / y`. Restituisce `float`.	C99
`fmod(double x, double y)`	Calcola il resto di `x / y`. Restituisce `double`.
`fmodl(long double x, long double y)`	Calcola il resto di `x / y`. Restituisce `long double`.	C99
`truncf(float x)`	Tronca `x` alla parte intera. Restituisce `float`.	C99
`trunc(double x)`	Tronca `x` alla parte intera. Restituisce `double`.
`truncl(long double x)`	Tronca `x` alla parte intera. Restituisce `long double`.	C99
`roundf(float x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero. Restituisce `float`.	C99
`round(double x)`		Arrotonda `x` al più vicino intero. Restituisce `double`.
`roundl(long double x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero. Restituisce `long double`.	C99
`lrintf(float x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero e restituisce `long int`.	C99
`lrint(double x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero e restituisce `long int`.
`lrintl(long double x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero e restituisce `long int`.	C99
`lroundf(float x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero e restituisce `long int`.	C99
`lround(double x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero e restituisce `long int`.
`lroundl(long double x)`	Arrotonda `x` al più vicino intero e restituisce `long int`.	C99

Queste funzioni sono utili per gestire operazioni di arrotondamento e calcolo del resto in modo preciso e controllato.

Funzioni Gamma e Errore

La libreria matematica standard C include funzioni per calcolare la funzione gamma e la funzione di errore:

**Tabella 9:** Funzioni gamma e di errore della libreria standard C
Funzione	Descrizione	Note
`tgammaf(float x)`	Calcola la funzione gamma di `x`. Rest
ituisce `float`.	C99
`tgamma(double x)`	Calcola la funzione gamma di `x`. Restituisce `double`.
`tgammal(long double x)`	Calcola la funzione gamma di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`lgammaf(float x)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x`. Restituisce `float`.	C99
`lgamma(double x)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x`. Restituisce `double`.
`lgammal(long double x)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`erff(float x)`	Calcola la funzione di errore di `x`. Restituisce `float`.	C99
`erf(double x)`	Calcola la funzione di errore di `x`. Restituisce `double`.
`erfl(long double x)`	Calcola la funzione di errore di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`erfcf(float x)`	Calcola la funzione di errore complementare di `x`. Restituisce `float`.	C99
`erfc(double x)`	Calcola la funzione di errore complementare di `x`. Restituisce `double`.
`erfcl(long double x)`	Calcola la funzione di errore complementare di `x`. Restituisce `long double`.	C99
`lgamma_r(double x, int *signgamp)`	Calcola il logaritmo naturale della funzione gamma di `x` e imposta il segno in `signgamp`. Restituisce `double`.	C99

Alcune osservazioni importanti riguardo a queste funzioni:

Le funzioni erf, erff e erfl calcolano la funzione di errore, che è utile in statistica e probabilità:

$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$
Le funzioni erfc, erccf e erfcl calcolano la funzione di errore complementare:

$\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$
La funzione gamma, $\Gamma(x)$ , è una generalizzazione della funzione fattoriale per numeri reali e complessi. Per numeri interi positivi vale:

$\Gamma(n) = (n-1)!$

Per valori reali e complessi, la funzione gamma è più complessa e viene definita tramite un'integrale improprio:

$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$

Le funzioni tgamma e lgamma calcolano rispettivamente la funzione gamma e il suo logaritmo naturale:
- tgamma(x) restituisce $\Gamma(x)$
- lgamma(x) restituisce $\ln(|\Gamma(x)|)$
La funzione lgamma_r fornisce anche il segno della funzione gamma tramite il parametro signgamp. Spesso usare la funzione logaritmica è preferibile per evitare problemi di overflow con valori grandi di x.