La Circonferenza nel Piano Cartesiano

Concetti Chiave

La circonferenza è un luogo geometrico definito come l'insieme dei punti che distano da un punto centrale una distanza costante (il raggio).
L'equazione della circonferenza nel piano cartesiano è data da:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

dove il centro della circonferenza è:

$C(x_0, y_0)$

e il raggio è $r$ .
L'equazione della circonferenza può essere riportata in forma normale:

$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$

dove $a$ , $b$ e $c$ sono costanti reali.
La condizione di esistenza della circonferenza è:

$a^2 + b^2 - 4c \geq 0$

Nel caso in cui la condizione non è soddisfatta, l'equazione non rappresenta una circonferenza.

La Circonferenza come Luogo Geometrico

Iniziamo lo studio della circonferenza come luogo geometrico nel piano cartesiano dandone la sua definizione:

Definizione

Definizione di Circonferenza

Sia dato nel piano un punto $C$ , chiamato centro, e un numero reale positivo $r \geq 0$ , chiamato raggio.

La Circonferenza di centro $C$ e raggio $r$ è l'insieme dei punti del piano che distano da $C$ una distanza esattamente pari a $r$ .

**Figura 1:** Circonferenza nel Piano Cartesiano

Equazione della Circonferenza

Come si può intuire dalla definizione, la circonferenza è un insieme di punti che soddisfano una certa condizione, ovvero la distanza da un punto fisso (il centro) è costante (il raggio).

Sfruttiamo questa idea per ricavare l'equazione che descrive tali punti nel piano cartesiano.

Prendiamo, quindi, un sistema di assi cartesiani con origine $O$ e consideriamo un punto generico $P(x, y)$ del piano.

Sia data una circonferenza di centro $C(x_0, y_0)$ e raggio $r$ .

Il punto $P$ appartiene alla circonferenza se e solo se la distanza tra $P$ e $C$ è uguale a $r$ . Scritto in termini matematici, questo significa che:

\overline{PC} = r

Dove $\overline{PC}$ è la distanza tra i punti $P$ e $C$ .

Utilizzando la formula della distanza tra due punti, possiamo riscrivere l'equazione di sopra come:

\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r

Osservando questa equazione, notiamo che ambo i membri sono non negativi, in quanto la distanza è sempre un numero reale positivo, così come il raggio, per definizione, è un numero reale non negativo.

Per questo motivo, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione senza alterarne il significato:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

Questa è l'equazione che stavamo cercando, e rappresenta la circonferenza di centro $C(x_0, y_0)$ e raggio $r$ nel piano cartesiano.

Definizione

Equazione della Circonferenza nel Piano Cartesiano

Sia data una circonferenza di centro $C(x_0, y_0)$ e raggio $r$ .

L'equazione della circonferenza è data da:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

Adesso, proviamo ad applicare questa equazione per trovare l'equazione di circonferenze con centri e raggi specifici.

Esempio

Esempio 1

Proviamo a trovare l'equazione della circonferenza con questi parametri:

Centro: $C(2, -1)$ ;
Raggio: $r = 3$ .

Sostituendo i valori nell'equazione della circonferenza, otteniamo:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2

Svolgendo i calcoli, otteniamo:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9

x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 9

x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0

Questa è l'equazione della circonferenza con centro $C(2, -1)$ e raggio $3$ . La circonferenza è mostrata nella figura seguente:

Esempio

Esempio 2

Proviamo a trovare l'equazione della circonferenza con questi parametri:

Centro: $C(-1, 1)$ ;
Raggio: $r = 2$ .

Sostituendo i valori nell'equazione della circonferenza, otteniamo:

(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2

Svolgendo i calcoli, otteniamo:

(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4

x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4

x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0

La circonferenza è mostrata nella figura seguente:

Esempio

Esempio 3

Proviamo a trovare l'equazione della circonferenza con questi parametri:

Centro: $C(2, 1)$ ;
Raggio: $r = 4$ .

Sostituendo i valori nell'equazione della circonferenza, otteniamo:

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4^2

Svolgendo i calcoli, otteniamo:

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 16

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 16

x^2 + y^2 - 4x - 2y - 11 = 0

La circonferenza è mostrata nella figura seguente:

**Figura 4:** La circonferenza dell'esempio 3

Equazione della Circonferenza in Forma Normale

Riprendiamo l'equazione della circonferenza:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

Proviamo a svolgere i calcoli:

x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = r^2

Adesso, riorganizziamo i termini:

x^2 + y^2 - {\color{red}2x_0}x - {\color{red}2y_0}y + {\color{red}x_0^2 + y_0^2 - r^2} = 0

Le tre espressioni evidenziate in rosso rappresentano tre numeri reali, ossia tre costanti.

Indichiamo queste costanti in questo modo:

$a = -2x_0$ ;
$b = -2y_0$ ;
$c = x_0^2 + y_0^2 - r^2$ .

A questo punto, possiamo riscrivere l'equazione della circonferenza in una forma più semplice:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Questa forma dell'equazione di una circonferenza è chiamata equazione della circonferenza in forma normale o in forma canonica.

Come si può vedere, l'equazione della circonferenza in forma normale è una equazione di secondo grado in due variabili, $x$ e $y$ , con coefficienti reali; tuttavia, non si tratta di una equazione di secondo grado completa, in quanto non contiene il termine $2xy$ . Inoltre, i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ sono entrambi uguali a $1$ .

Definizione

Equazione della Circonferenza in Forma Normale

L'equazione della circonferenza in forma normale è data da:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

dove $a$ , $b$ e $c$ sono costanti reali.

Condizioni di Esistenza

Abbiamo visto che qualunque circonferenza nel piano cartesiano può essere descritta da un'equazione di secondo grado in due variabili del tipo:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Adesso, ci poniamo il problema opposto, ossia, data una qualunque equazione del tipo sopra, quand'è che questa rappresenta una circonferenza?

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo riportare l'equazione dalla forma canonica a quella standard, ossia alla forma:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

Prima, quando abbiamo ricavato l'equazione della circonferenza in forma normale, abbiamo ricavato le costanti $a$ e $b$ in questo modo:

a = -2x_0

b = -2y_0

Da cui otteniamo che:

x_0 = -\frac{a}{2}

y_0 = -\frac{b}{2}

Quindi il centro della circonferenza è dato da:

C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)

Poi, abbiamo ricavato la costante $c$ in questo modo:

c = x_0^2 + y_0^2 - r^2

Sostituendo le espressioni per $x_0$ e $y_0$ , otteniamo:

c = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - r^2

Mettendo in evidenza il termine $r^2$ , otteniamo:

r^2 = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c

Quindi, il raggio della circonferenza è dato da:

r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c}

Ma, affinché il raggio sia un numero reale non negativo, dobbiamo imporre la condizione che l'argomento della radice quadrata sia maggiore o uguale di zero:

\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c \geq 0

Questa condizione può essere riscritta come:

a^2 + b^2 - 4c \geq 0

Questa condizione è nota come condizione di esistenza della circonferenza.

Definizione

Condizione di Esistenza della Circonferenza

Sia data un'equazione algebrica di secondo grado in due variabili del tipo:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

con $a, \, b, \, c \in \mathbb{R}$ .

Tale equazione rappresenta una circonferenza se e soltanto se soddisfa la seguente condizione:

a^2 + b^2 - 4c \geq 0

Nel caso in cui la condizione è soddisfatta, il centro della circonferenza è dato da:

C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)

Il raggio della circonferenza è dato da:

r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c}

Un'importante osservazione da fare è che, se la quantità:

a^2 + b^2 - 4c = 0

allora il raggio della circonferenza è uguale a zero. Il che non significa che non esiste una circonferenza, ma che la circonferenza si riduce a un singolo punto, ossia il centro della circonferenza coincide con tutti i punti della circonferenza stessa. In tal caso si parla di circonferenza degenere.

Definizione

Circonferenza Degenere

Una circonferenza degenere è una circonferenza il cui raggio è uguale a zero, ossia:

r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c} = 0

Esempi di Condizione di Esistenza

Applichiamo, adesso, la condizione di esistenza della circonferenza a delle equazioni algebriche di secondo grado in due variabili.

Esempio

Esempio 4

Consideriamo l'equazione:

x^2 + y^2 + 2x + 2y - 2 = 0

Questa equazione rappresenta una circonferenza?

Per rispondere a questa domanda, controlliamo la condizione di esistenza:

a^2 + b^2 - 4c \geq 0

2^2 + 2^2 - 4(-2) \geq 0

4 + 4 + 8 \geq 0

16 \geq 0

La condizione è soddisfatta, quindi l'equazione rappresenta una circonferenza.

In particolare, il centro della circonferenza è dato da:

C\left(-\frac{2}{2}, -\frac{2}{2}\right) = C(-1, -1)

Il raggio della circonferenza è dato da:

r = \sqrt{\left(-\frac{2}{2}\right)^2 + \left(-\frac{2}{2}\right)^2 - (-2)}

r = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4}

r = 2

La circonferenza è mostrata nella figura seguente:

Esempio

Esempio 5

Consideriamo l'equazione:

x^2 + y^2 + 2x - 3y + 4 = 0

Questa equazione rappresenta una circonferenza?

Per rispondere a questa domanda, controlliamo la condizione di esistenza:

a^2 + b^2 - 4c \geq 0

2^2 + (-3)^2 - 4(4) \geq 0

4 + 9 - 16 \geq 0

-3 \geq 0

La condizione non è soddisfatta, quindi l'equazione non rappresenta una circonferenza.

Esempio

Esempio 6

Consideriamo l'equazione:

4x^2 + 4y^2 - 4x - 16y - 19 = 0

Questa equazione rappresenta una circonferenza?

Per prima cosa, notiamo che i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ non sono uguali a $1$ . Pertanto, l'equazione non è in forma normale. Per poter applicare la condizione di esistenza, dobbiamo prima riportarla in forma normale.

Dividiamo entrambi i membri per $4$ :

x^2 + y^2 - x - 4y - \frac{19}{4} = 0

Adesso, possiamo applicare la condizione di esistenza:

a^2 + b^2 - 4c \geq 0

(-1)^2 + (-4)^2 - 4\left(-\frac{19}{4}\right) \geq 0

1 + 16 + 19 \geq 0

36 \geq 0

La condizione è soddisfatta, quindi l'equazione rappresenta una circonferenza.

In particolare, il centro della circonferenza è dato da:

C\left(-\frac{-1}{2}, -\frac{-4}{2}\right) = C\left(\frac{1}{2}, 2\right)

Il raggio della circonferenza è dato da:

r = \sqrt{\left(-\frac{-1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{-4}{2}\right)^2 - \left(-\frac{19}{4}\right)}

r = \sqrt{\frac{1}{4} + 4 - \left(-\frac{19}{4}\right)}

r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{4} + \frac{19}{4}}

r = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3

La circonferenza è mostrata nella figura seguente:

Esempio

Esempio 7

Consideriamo l'equazione:

2x^2 + 4y^2 - 4x - 16y - 19 = 0

Questa equazione rappresenta una circonferenza?

A questa domanda possiamo rispondere subito di no.

Infatti, i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ non sono uguali tra di loro. Quindi, non c'è modo di riportare l'equazione in forma normale, e quindi non possiamo applicare la condizione di esistenza.

Pertanto, l'equazione non rappresenta una circonferenza.

Da quest'ultimo esempio, possiamo trarre un utile consiglio:

Consiglio

I coefficienti di $x^2$ e $y^2$ devono essere uguali

Quando si ha a che fare con equazioni algebriche di secondo grado in due variabili, per poter rappresentare una circonferenza, i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ devono essere uguali tra di loro. Questa è una condizione necessaria per poter riportare l'equazione in forma normale e applicare la condizione di esistenza. Ovviamente, non è una condizione sufficiente, in quanto è necessario anche che la condizione di esistenza sia soddisfatta.

In caso contrario, l'equazione sicuramente non rappresenta una circonferenza.

Rappresentazione Grafica della Circonferenza

Dalle considerazioni fatte sopra, abbiamo visto che, a partire dall'equazione canonica della circonferenza, possiamo ricavare il centro e il raggio della circonferenza stessa. Queste due informazioni sono sufficienti per poter disegnare la circonferenza nel piano cartesiano.

Quindi, possiamo ravvisare un metodo per disegnare una circonferenza nel piano cartesiano:

Per prima cosa, bisogna riportare l'equazione della circonferenza in forma normale, se non lo è già:
- Bisogna, dapprima, verificare che i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ siano uguali tra di loro. Se non lo sono, l'equazione non rappresenta una circonferenza.
- Poi, bisogna riportare l'equazione in forma normale, ossia nella forma:
  
  $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$
- A questo punto, possiamo ricavare i coefficienti $a$ , $b$ e $c$ e verificare la condizione di esistenza della circonferenza:
  
  $a^2 + b^2 - 4c \geq 0$
Poi, bisogna calcolare il centro della circonferenza utilizzando la formula:

$C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$
Infine, bisogna calcolare il raggio della circonferenza utilizzando la formula:

$r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c}$
Con il centro e il raggio, possiamo disegnare la circonferenza nel piano cartesiano.

Esempio

Esempio 8

Proviamo a disegnare la circonferenza con l'equazione:

x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0

L'equazione è già in forma normale, quindi possiamo procedere con i calcoli.

Il centro della circonferenza è dato da:

C\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2}\right) = C(2, -3)

Il raggio della circonferenza è dato da:

r = \sqrt{\left(-\frac{-4}{2}\right)^2 + \left(-\frac{6}{2}\right)^2 - 9}

r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 9}

r = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4}

r = 2

La circonferenza è mostrata nella figura seguente:

**Figura 7:** La circonferenza dell'esempio 8

Equazioni di Circonferenze Speciali

Un'importante osservazione da fare è che, presa l'equazione della circonferenza in forma normale, i coefficienti $a$ , $b$ e $c$ possono essere nulli e comunque rappresentare una circonferenza.

In base al fatto che i coefficienti $a$ , $b$ e $c$ possono essere nulli, possiamo distinguere diverse categorie di circonferenze speciali.

Vediamole in dettaglio.

Definizione

Circonferenza con Coefficiente $a$ Nullo

In questo caso, l'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2 + by + c = 0

La conseguenza è che il centro di tale circonferenza ha coordinate pari a:

C\left(0, -\frac{b}{2}\right)

Quindi, il centro della circonferenza si trova sull'asse $y$ e la circonferenza è simmetrica rispetto all'asse $y$ .

**Figura 8:** Circonferenza con coefficiente a nullo

Definizione

Circonferenza con Coefficiente $b$ Nullo

In questo caso, l'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2 + ax + c = 0

La conseguenza è che il centro di tale circonferenza ha coordinate pari a:

C\left(-\frac{a}{2}, 0\right)

Quindi, il centro della circonferenza si trova sull'asse $x$ e la circonferenza è simmetrica rispetto all'asse $x$ .

**Figura 9:** Circonferenza con coefficiente b nullo

Definizione

Circonferenza con Coefficiente $c$ Nullo

In questo caso, l'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2 + ax + by = 0

Non avendo un termine noto, si ha come conseguenza che l'origine del sistema di assi cartesiani soddisfa l'equazione della circonferenza, ossia:

O \in \text{Circonferenza}

Il punto $O$ appartiene alla circonferenza, e quindi la circonferenza passa per l'origine.

**Figura 10:** Circonferenza con coefficiente c nullo

Definizione

Circonferenza con Coefficienti $a$ e $b$ Nulli

In questo caso, l'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2 + c = 0

Ma poiché il centro della circonferenza è dato da:

C\left(0, 0\right)

ciò significa che la circonferenza è centrata nell'origine del sistema di assi cartesiani.

**Figura 11:** Circonferenza con coefficienti a e b nulli

Definizione

Circonferenza con Coefficienti $a$ e $c$ Nulli

In questo caso, l'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2 + by = 0

Poiché $a = 0$ , il centro della circonferenza ha coordinate pari a:

C\left(0, -\frac{b}{2}\right)

Quindi, il centro della circonferenza si trova sull'asse $y$ e la circonferenza è simmetrica rispetto all'asse $y$ .

Inoltre, poiché $c = 0$ , l'origine del sistema di assi cartesiani soddisfa l'equazione della circonferenza, quindi la circonferenza passa per l'origine.

Di conseguenza, la circonferenza è centrata sull'asse $y$ e passa per l'origine.

**Figura 12:** Circonferenza con coefficienti a e c nulli

Definizione

Circonferenza con Coefficienti $b$ e $c$ Nulli

In questo caso, l'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2 + ax = 0

Poiché $b = 0$ , il centro della circonferenza ha coordinate pari a:

C\left(-\frac{a}{2}, 0\right)

Quindi, il centro della circonferenza si trova sull'asse $x$ e la circonferenza è simmetrica rispetto all'asse $x$ .

Inoltre, poiché $c = 0$ , l'origine del sistema di assi cartesiani soddisfa l'equazione della circonferenza, quindi la circonferenza passa per l'origine.

Di conseguenza, la circonferenza è centrata sull'asse $x$ e passa per l'origine.

**Figura 13:** Circonferenza con coefficienti b e c nulli

La Circonferenza nel Piano Cartesiano e Le Funzioni

Se prendiamo l'equazione della circonferenza in forma normale:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Questa equazione non rappresenta una funzione, in quanto non soddisfa la condizione di esistenza di una funzione, ossia che ad ogni valore di $x$ corrisponde al massimo un valore di $y$ .

Per capire il perché, proviamo a prendere un'equazione di circonferenza con centro nell'origine e raggio $r$ :

x^2 + y^2 - r^2 = 0

Quindi proviamo a risolvere l'equazione rispetto alla variabile $y$ , così da ottenere l'equazione della circonferenza rispetto alla variabile $y$ :

y^2 = r^2 - x^2

y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}

Come si può vedere, per ogni valore di $x$ compreso nell'intervallo $[-r, r]$ , corrispondono due valori di $y$ (uno positivo e uno negativo). Quindi, l'equazione della circonferenza non rappresenta una funzione.

Piuttosto, si può vedere l'equazione della circonferenza come l'unione di due funzioni:

y_1 = \sqrt{r^2 - x^2}

y_2 = -\sqrt{r^2 - x^2}

La prima funzione rappresenta la parte superiore della circonferenza, mentre la seconda funzione rappresenta la parte inferiore della circonferenza. Queste due ultime espressioni sono delle funzioni in tutto e per tutto, in quanto soddisfano la condizione di esistenza di una funzione, ossia che ad ogni valore di $x$ corrisponde al massimo un valore di $y$ .