Introduzione alle Frazioni Numeriche

Concetti Chiave

Le frazioni rappresentano il quoziente esatto tra due numeri naturali.
Le frazioni si classificano in proprie, improprie e apparenti.
Le frazioni possono assumere diversi significati a seconda del contesto.

Cosa sono le frazioni

Finora abbiamo studiato i numeri naturali, $\mathbb{N}$ , e i numeri interi, $\mathbb{Z}$ . Questi insiemi sono molto utili per contare, ordinare e misurare quantità discrete. Tuttavia, nella pratica si presentano situazioni in cui tali insiemi numerici non sono sufficienti. Non siamo in grado di esprimere con i soli numeri naturali o interi alcune quantità.

Vediamo qualche esempio:

Divisione esatta non possibile tra numeri interi.

Se dobbiamo dividere equamente $47$ euro tra $4$ persone, il quoziente $47:4$ non è un numero naturale: nessuno può ricevere un numero intero di euro senza resto. Serve un numero che esprima esattamente il rapporto $47:4$ .
Rapporto fra due grandezze.

Nella preparazione di una torta, la ricetta richiede $300$ g di farina e $150$ g di zucchero. Il rapporto tra farina e zucchero è $300:150$ . Anche in questo caso il quoziente non è un numero naturale: serve un modo per esprimere esattamente questo rapporto.
Misure molto piccole.

Il diametro di un capello umano è molto inferiore a $1$ mm. Per esprimere questa misura ci serve un'altra classe di numeri per indicare che il diametro è una porzione di millimetro.

Le frazioni nascono precisamente per rappresentare questi quozienti esatti, rapporti e parti di unità.

Detto in altri termini, l'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi non è chiuso rispetto alla divisione: dividendo due numeri interi non sempre si ottiene un numero intero. Ciò che otteniamo, nella maggior parte dei casi, è un altro tipo di numero (che studieremo) e che indichiamo con le frazioni.

Definizione

Definizione di frazione

Siano $a$ e $b$ due numeri naturali, $a,b \in \mathbb{N}$ , con $b \ne 0$ .

Si chiama Frazione la coppia di numeri $a$ e $b$ indicata con l'espressione:

\frac{a}{b}

e indica il quoziente esatto della divisione tra $a$ e $b$ .

I due numeri che compongono la frazione hanno un nome specifico.

Definizione

Numeratore e denominatore

Nella frazione $\dfrac{a}{b}$ i termini $a$ e $b$ prendono i seguenti nomi:

$a$ si chiama numeratore (indica quante parti consideriamo);
$b$ si chiama denominatore (indica in quante parti uguali è stata divisa l'unità).

Nota

Attenzione: la divisione per zero non ha significato

Espressioni come $\dfrac{1}{0}$ , $\dfrac{25}{0}$ , $\dfrac{1234}{0}$ non rappresentano frazioni: la divisione per $0$ non è definita, quindi sono prive di significato.

Classificare le frazioni

Abbiamo detto che una frazione $\dfrac{a}{b}$ rappresenta il quoziente esatto della divisione tra $a$ e $b$ . A seconda dei valori di $a$ e $b$ , possiamo distinguere tre tipi di frazioni: proprie, improprie e apparenti.

Definizione

Classificazione delle frazioni

Data una frazione $\dfrac{a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{N}$ e $b \ne 0$ :

è propria se $a < b$ ;
è impropria se $a > b$ e $a$ non è multiplo di $b$ ;
è apparente se $a$ è multiplo di $b$ (cioè $a = kb$ per qualche $k \in \mathbb{N}$ ).

Vediamo in dettaglio le caratteristiche di ciascun tipo.

Se il numeratore $a$ è minore del denominatore $b$ , la frazione è propria. In questo caso il quoziente esatto è un numero compreso tra $0$ e $1$ (esclusi):

$0 < \dfrac{a}{b} < 1 \quad \text{se }a < b$

Prende il nome di propria perché rappresenta una parte dell'unità.

Alcuni esempi sono:

$\dfrac{2}{5} \quad \dfrac{3}{4} \quad \dfrac{7}{10} \quad \dfrac{21}{30}$
Se il numeratore $a$ è maggiore del denominatore $b$ e $a$ non è multiplo di $b$ , la frazione è impropria. In questo caso il quoziente esatto è un numero maggiore di $1$ :

$\dfrac{a}{b} > 1 \quad \text{se } a>b.$

Prende il nome di impropria perché rappresenta più di un'unità. Infatti, come vedremo, può essere riscritta come somma di un numero naturale e di una frazione propria.

Alcuni esempi sono:

$\dfrac{5}{2} \quad \dfrac{9}{4} \quad \dfrac{11}{10} \quad \dfrac{23}{6}$
Se il numeratore $a$ è multiplo del denominatore $b$ , la frazione è apparente. In questo caso il quoziente esatto è un numero intero:

$\dfrac{a}{b} = k \quad \text{se } a = kb \text{ con } k \in \mathbb{N}.$

Prende il nome di apparente perché, pur essendo scritta in forma frazionaria, equivale a un numero naturale.

Un esempio è:

$\dfrac{10}{2}$

Non si tratta di una frazione, in quanto 10 è multiplo di 2, e infatti vale 5.

Definizione

Denominatore uguale a $1$

Se il denominatore di una frazione è $1$ , cioè se la frazione è della forma $\dfrac{a}{1}$ con $a \in \mathbb{N}$ , allora la frazione è sempre apparente e vale $a$ :

\dfrac{a}{1} = a

Consiglio

Come riconoscere rapidamente il tipo di frazione

Confronta $a$ e $b$ :
- se $a<b$ , è propria;
- se $a>b$ , passa al punto 2.
Verifica se $b$ divide $a$ :
- se sì, è apparente (equivale a un intero);
- se no, è impropria.

Nota

Non bisogna confondere frazione e divisione "con resto"

La frazione $\dfrac{a}{b}$ indica sempre il quoziente esatto $a:b$ . Per esempio, $23:6$ come divisione euclidea dà $3$ con resto $5$ , mentre la frazione corrispondente è $\dfrac{23}{6}=3+\dfrac{5}{6}$ , un numero unico tra $3$ e $4$ .

I diversi ruoli di una frazione

La stessa scrittura frazionaria può assumere significati diversi a seconda del contesto. Ecco i principali.

Frazione come operatore (parte di un intero)

La frazione indica "prendi una parte dell'intero". È il significato più intuitivo e ricorrente.

Esempio

Esempio 1

Un serbatoio di carburante, capace di contenere $60$ litri di benzina, è pieno per $\dfrac{3}{4}$ della sua capacità. La quantità di benzina nel serbatoio è:

$\dfrac{3}{4} \cdot 60$

In altri termini, la frazione $\dfrac{3}{4}$ indica "prendi tre parti su quattro" dell'intero serbatoio. In tal caso, la frazione agisce come un operatore che seleziona una porzione dell'intero.
Frazione come rapporto fra grandezze omogenee

È il confronto tra due quantità della stessa natura, espresso come quoziente esatto.

Esempio

Esempio 2

In una classe, su $25$ studenti ci sono $10$ studentesse. Il rapporto "studentesse su studenti" è $\dfrac{10}{25}$ . Questo valore consente confronti tra classi diverse, indipendentemente dal numero totale di studenti.

Ad esempio, in un'altra classe con $30$ studenti e $12$ studentesse, il rapporto è $\dfrac{12}{30}$ .

In questo modo si possono raffrontare le distribuzioni di genere tra classi diverse anche se il numero totale di studenti non è lo stesso.
Frazione come misura (parte dell'unità di misura)

È usata per esprimere una frazione dell'unità di misura scelta.

Esempio

Esempio 3

Un cronometro segna "un quarto d'ora": $\dfrac{1}{4}$ d'ora corrisponde a $15$ minuti. Qui $\dfrac{1}{4}$ è una misura di tempo, cioè una parte dell'unità "ora".
Frazione come rapporto di scala

È il confronto fra la misura sulla mappa e la misura reale.

Esempio

Esempio 4

Su una carta topografica in scala $1:100,000$ , la frazione $\dfrac{1}{100000}$ significa che $1$ cm sulla mappa corrisponde a $100,000$ cm nella realtà, cioè a $1$ km.
Frazione come probabilità

Esprime la probabilità di un evento come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili (quando sono equiprobabili).

Esempio

Esempio 5

In una lotteria con $20,000$ biglietti numerati, se si estrae un solo vincitore e tutti i biglietti sono equiprobabili, la probabilità che un certo biglietto vinca è $\dfrac{1}{20000}$ .