Minimo Comune Multiplo

Concetti Chiave

Il Minimo Comune Multiplo (mcm) di due o più numeri naturali è il più piccolo multiplo comune diverso da zero.
Si calcola facilmente tramite la scomposizione in fattori primi, prendendo ogni fattore (comune e non) con l'esponente massimo.
È legato al Massimo Comune Divisore (MCD) dalla relazione:

$\operatorname{mcm}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a,b)}$

Minimo Comune Multiplo

Definizione

Definizione di Minimo Comune Multiplo

Il minimo comune multiplo di due o più numeri naturali, tutti diversi da $0$ , è il più piccolo tra i loro multipli comuni, diverso da $0$ .

Nel caso di due numeri $a$ e $b$ , il minimo comune multiplo si indica con il simbolo

\operatorname{mcm}(a,b)

Vediamo come calcolarlo in modo sistematico.

Un primo approccio intuitivo

Esempio

Esempio 1

Consideriamo i numeri $30$ e $40$ e i loro multipli non nulli.

Multipli di $30$ :

$30,60,90,{\color{red}{120}},150,180,210,240,\dots$
Multipli di $40$ :

$40,80,{\color{red}{120}},160,200,240,\dots$

Il più piccolo multiplo che i due insiemi hanno in comune è $120$ .

Scriviamo quindi:

\operatorname{mcm}(30,40)=120

Elencare i multipli funziona quando i numeri sono piccoli, ma diventa rapidamente scomodo. Per un metodo sistematico bisogna adoperare la scomposizione in fattori primi.

Regola pratica tramite fattori primi

Definizione

Regola per il calcolo del mcm

Scomposti in fattori primi i numeri di cui si vuole il minimo comune multiplo, l’ $\operatorname{mcm}$ è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente con cui appaiono nelle scomposizioni.

I passi del procedimento sono i seguenti:

Scomporre ciascun numero in fattori primi.
Confrontare i fattori uguali: per ciascun primo prendere l’esponente più grande presente.
Moltiplicarli una sola volta: il prodotto ottenuto è l’ $\operatorname{mcm}$ desiderato.

Vediamo subito come applicare questa regola.

Esempio

Esempio 2

Calcoliamo $\operatorname{mcm}(36,120)$ .

Scomponiamo i due numeri in fattori primi:

36 = 2^{2}\cdot 3^{2}\, \qquad 120 = 2^{3}\cdot 3\cdot 5

I fattori primi (comuni e non) sono $2,3,5$ . Gli esponenti massimi sono:

$2^{3}$ (da $120$ )
$3^{2}$ (da $36$ )
$5^{1}$ (da $120$ )

Quindi

\operatorname{mcm}(36,120)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=360.

Collegamento fra mcm e MCD

È possibile legare mcm e MCD tramite una proprietà fondamentale.

Definizione

Proprietà fra mcm e MCD di due numeri

Per ogni coppia di numeri naturali $a$ e $b$ diversi da $0$ vale

a\cdot b = \operatorname{MCD}(a,b)\;\cdot\; \operatorname{mcm}(a,b)

Da cui si ricava subito

\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}.

Esempio

Esempio 3

Prendiamo $84$ e $105$ .

84 = 2^{2}\cdot 3\cdot 7, \qquad 105 = 3\cdot 5\cdot 7

$\operatorname{MCD}(84,105)=3\cdot 7=21$
Uso della proprietà:

\operatorname{mcm}(84,105)=\frac{84\cdot 105}{21}=420.

Esiste un caso particolare in cui questa proprietà si semplifica notevolmente.

Definizione

mcm di due numeri primi fra loro

Se $a$ e $b$ sono primi fra loro (cioè $\operatorname{MCD}(a,b)=1$ ), la proprietà si riduce a

\operatorname{mcm}(a,b)=a\cdot b,

perché il prodotto fra due numeri primi fra loro è sempre il loro minimo comune multiplo.

Ad esempio, i numeri $8$ e $9$ sono primi fra loro, perché non hanno fattori comuni (l’unico fattore di $8$ è $2$ , mentre $9$ ha come fattore primo solo il $3$ ). Quindi possiamo calcolare il loro minimo comune multiplo semplicemente moltiplicandoli:

\operatorname{mcm}(8,9)=8\cdot 9=72.

Riepilogo

Il minimo comune multiplo di più numeri è il più piccolo multiplo diverso da $0$ che essi condividono.
Si calcola facilmente con la scomposizione in fattori primi, prendendo ogni fattore (anche non comune) con l’esponente massimo.
È legato al massimo comune divisore dalla relazione:

$a\cdot b=\operatorname{MCD}(a,b)\cdot \operatorname{mcm}(a,b).$

Questa scorciatoia è particolarmente utile se il MCD è già noto (ad esempio con l’algoritmo di Euclide).

Con questi strumenti si può determinare velocemente il minimo comune multiplo in qualunque situazione, scegliendo il metodo più adatto al contesto.