Metodo di Cramer per sistemi di tre equazioni

In questa lezione estendiamo il metodo di Cramer per poterlo applicare a sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Determinante di un sistema di tre equazioni

Alla base del sistema di Cramer vi è la definizione di Matrice del sistema e, soprattutto, del Determinante del sistema.

Partiamo, infatti, da un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite già in forma canonica:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y + c_1 \cdot z = d_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y + c_2 \cdot z = d_2 &\\ a_3 \cdot x + b_3 \cdot y + c_3 \cdot z = d_3 &\\ \end{array} \right.

Definiamo a questo punto il determinante del sistema, così come abbiamo fatto per i sistemi in due incognite:

Definizione

Determinante di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

Dato il sistema lineari di tre equazioni in tre incognite in forma canonica:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y + c_1 \cdot z = d_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y + c_2 \cdot z = d_2 &\\ a_3 \cdot x + b_3 \cdot y + c_3 \cdot z = d_3 &\\ \end{array} \right.

Si definisce il determinante del sistema il determinante della matrice 3 \times 3 che si ottiene mettendo nella prima colonna i coefficienti della prima incognita (x), nella seconda colonna i coefficienti della seconda incognita (y) e nella terza colonna i coefficienti della terza incognita (z):

D = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{array}

Si può dimostrare che il sistema è determinato, ossia ammette un'unica soluzione, se e soltanto se D \neq 0, ossia il suo determinante è diverso da zero.

Analogamente al determinante del sistema, possiamo ottenere i determinanti associati alle singole incognite: D_x, D_y e D_z. Per farlo, è sufficiente sostituire la colonna dei termini noti alla colonna relativa all'incognita nel determinante del sistema:

D_x = \begin{array}{|cc|} \color{red}{d_1} & b_1 & c_1 \\ \color{red}{d_2} & b_2 & c_2 \\ \color{red}{d_3} & b_3 & c_3 \\ \end{array}
D_y = \begin{array}{|cc|} a_1 & \color{red}{d_1} & c_1 \\ a_2 & \color{red}{d_2} & c_2 \\ a_3 & \color{red}{d_3} & c_3 \\ \end{array}
D_z = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 & \color{red}{d_1} \\ a_2 & b_2 & \color{red}{d_2} \\ a_3 & b_3 & \color{red}{d_3} \\ \end{array}

Questi quattro determinanti sono più complessi da calcolare rispetto al caso di due equazioni e due incognite. Tuttavia, possiamo calcolarne facilmente il risultato utilizzando la Regola di Sarrus

I quattro determinanti, così ottenuti, ci permettono di risolvere il sistema con il metodo di Cramer:

Definizione

Metodo di Cramer per la soluzione di un sistema lineare in tre incognite

  • Se il determinante del sistema D \neq 0 il sistema è determinato e le soluzioni sono:
x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}

  • Se il determinante del sistema D = 0 ma D_x \neq 0 oppure D_y \neq 0 oppure D_z \neq 0 allora il sistema è impossibile.

  • Se il determinante del sistema D = 0 ma D_x = 0 e D_y = 0 e anche D_z = 0 allora il sistema è indeterminato.

Esempio

Riassumendo