In costruzione

Probabilità di una Variabile Aleatoria Discreta

Il prossimo passo nello studio delle variabili aleatorie discrete è quello di determinarne la probabilità.

In altre parole, vogliamo calcolare la probabilità che una variabile aleatoria discreta assuma un certo valore. E vogliamo determinare le probabilità di tutti i possibili valori che la variabile aleatoria può assumere.

Quindi, data una variabile aleatoria discreta $X$ :

X: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}

dove $\Omega$ è lo spazio campione, vogliamo calcolare la probabilità che $X$ assuma un certo valore $x$ :

P \left[ X(\omega_i) = x_i \right]

Questo per ogni possibile valore $x_i$ che $X$ può assumere.

Per ora stiamo trattando variabili aleatorie discrete dove $\Omega$ è finito e numerabile. Motivo per cui, $X$ può assumere solo un numero finito e numerabile di valori:

X(\omega_i) = x_i \quad \text{con} \quad i = 1, 2, 3, \ldots

In tal caso, per una variabile discreta l'assegnamento delle probabilità è semplice e ricade in due casi.

Variabile Aleatoria Discreta con associazione uno a uno

In questo caso la variabile aleatoria $X$ associa ad ogni risultato dello spazio campione un differente valore. In altre parole, ad ogni $\omega_i$ corrisponde un $x_i$ diverso. Formalmente:

\forall i \neq j \quad X(\omega_i) \neq X(\omega_j)

Poste queste condizioni, determinare la probabilità della variabile è abbastanza semplice.

Infatti:

P \left[ X(\omega_i) = x_i \right] = P \left[ \left\{ \omega_i : X(\omega_i) = x_i \right\} \right]

Ossia, la probabilità che la variabile $X$ assuma il valore $x_i$ è uguale alla probabilità dell'evento composto dal risultato $\omega_i$ tale che $X(\omega_i) = x_i$ .

Ma questa probabilità è proprio uguale alla probabilità dell'evento $\left\{ \omega_i \right\}$ :

P \left[ X(\omega_i) = x_i \right] = P \left[ \left\{ \omega_i \right\} \right]

In quanto, per ipotesi, ad ogni $\omega_i$ corrisponde un solo $x_i$ .

Ad esempio, consideriamo il lancio di una monetina dove $\Omega = \left\{ \text{Testa}, \text{Croce} \right\}$ e la variabile aleatoria $X$ è definita come:

X(\omega) = \begin{cases} 0 &amp; \text{se} \quad \omega = \text{Testa} \\ 1 &amp; \text{se} \quad \omega = \text{Croce} \end{cases}

In questo caso, la probabilità che $X$ assuma il valore $0$ è uguale alla probabilità che esca testa, mentre la probabilità che $X$ assuma il valore $1$ è uguale alla probabilità che esca croce. Supponendo che la probabilità di testa e croce sia la stessa, allora:

P \left[ X(\omega) = 0 \right] = P \left[ \left\{ \text{Testa} \right\} \right] = \frac{1}{2}

P \left[ X(\omega) = 1 \right] = P \left[ \left\{ \text{Croce} \right\} \right] = \frac{1}{2}

Variabile Aleatoria Discreta con associazione molti a uno

In questo caso la variabile aleatoria $X$ associa ad uno o più risultati dello spazio campione lo stesso valore. In altre parole, ad uno o più $\omega_i$ corrisponde lo stesso $x_i$ . Formalmente:

\exists \quad i \neq j: \quad X(\omega_i) = X(\omega_j)

In questo caso, la probabilità che la variabile $X$ assuma il valore $x_i$ è uguale alla somma delle probabilità degli eventi composti dai risultati $\omega_i$ tali che $X(\omega_i) = x_i$ .

Infatti:

P \left[ X(\omega_i) = x_i \right] = P \left[ \left\{ \omega_i \in \Omega : X(\omega_i) = x_i \right\} \right]

Ossia, la probabilità che la variabile $X$ assuma il valore $x_i$ è uguale alla probabilità dell'evento composto dai risultati $\omega_i$ tali che $X(\omega_i) = x_i$ .

Per cui:

P \left[ X(\omega_i) = x_i \right] = \sum_{\left\{i:X(\omega_i) = x_i\right\}} P \left[ \left\{ \omega_i \right\} \right]

Ad esempio, consideriamo il lancio di un dado dove $\Omega = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$ e la variabile aleatoria $X$ è definita come:

X(\omega) = \begin{cases} 1 &amp; \text{se} \quad \omega = 1, 2 \\ 2 &amp; \text{se} \quad \omega = 3, 4 \\ 3 &amp; \text{se} \quad \omega = 5, 6 \end{cases}

In questo caso, la probabilità che $X$ assuma il valore $1$ è uguale alla probabilità che esca $1$ o $2$ , mentre la probabilità che $X$ assuma il valore $2$ è uguale alla probabilità che esca $3$ o $4$ , e così via. Supponendo che il dado sia equo, allora:

P \left[ X(\omega) = 1 \right] = P \left[ \left\{ 1, 2 \right\} \right] = \frac{1}{3}

P \left[ X(\omega) = 2 \right] = P \left[ \left\{ 3, 4 \right\} \right] = \frac{1}{3}

P \left[ X(\omega) = 3 \right] = P \left[ \left\{ 5, 6 \right\} \right] = \frac{1}{3}

Funzione di Distribuzione di Probabilità

Quando si lavora con variabili aleatorie discrete, è utile introdurre la funzione di distribuzione di probabilità:

Definizione

Funzione di Distribuzione di Probabilità

La Funzione di Distribuzione di Probabilità, chiamata anche semplicemente DF, di una variabile aleatoria discreta $X$ a valori in $\mathcal{X} \subset \overline{\mathbb{R}}$ è definita come:

p_X(x) = P \left[ X = x \right]

con $x \in \mathcal{X}$ .

Ritornando all'esempio del lancio della monetina, la funzione di distribuzione di probabilità di $X$ è:

p_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} &amp; \text{se} \quad x = 0 \\ \frac{1}{2} &amp; \text{se} \quad x = 1 \end{cases}

e il suo grafico è il seguente:

**** FIGURA

Mentre, per il lancio del dado, la funzione di distribuzione di probabilità di $X$ è:

p_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} &amp; \text{se} \quad x = 1 \\ \frac{1}{3} &amp; \text{se} \quad x = 2 \\ \frac{1}{3} &amp; \text{se} \quad x = 3 \end{cases}

e il suo grafico è il seguente:

**** FIGURA

Proprietà della Funzione di Distribuzione di Probabilità

La funzione di distribuzione di probabilità gode delle seguenti proprietà:

Definizione

Positività della Funzione di Distribuzione di Probabilità

La funzione di distribuzione di probabilità è sempre non negativa:

p_X(x) \geq 0

Questa proprietà è banalmente dimostrabile con il fatto che si tratta di una probabilità per cui deve essere sempre maggiore o uguale a zero.

Definizione

Normalizzazione della Funzione di Distribuzione di Probabilità

La somma delle probabilità di tutti i possibili valori che la variabile aleatoria può assumere è uguale a uno:

\sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) = 1

Anche questa proprietà è banalmente dimostrabile con il fatto che si tratta di una probabilità per cui la somma di tutte le probabilità deve essere uguale a uno.