Analisi delle Maglie in Presenza di Generatori di Corrente

Nelle due lezioni precedenti abbiamo iniziato a studiare l'analisi delle maglie che ci permette di ricavare le grandezze elettriche di un circuito applicando in maniera sistematica la legge di Kirchhoff delle Tensioni (LKT).

Abbiamo visto che l'analisi delle maglie può essere applicata esclusivamente a Circuiti Planari, ovvero circuiti che possono essere rappresentati su un piano senza che i rami si intersechino.

Inoltre, ci siamo limitati al caso di circuiti che contengono esclusivamente resistori e generatori indipendenti di tensione.

In questa lezione, invece, estenderemo l'analisi delle maglie anche al caso in cui il circuito contenga generatori di corrente.

In questo caso dobbiamo distinguere due casi: se il generatore di corrente appartiene ad una singola maglia oppure se esso è condiviso tra due o più maglie.

Concetti Chiave

L'analisi delle maglie può essere estesa ai circuiti in presenza di generatori di corrente.
Se un generatore di corrente appartiene a una singola maglia, la LKT della maglia corrispondente può essere esclusa. In tal caso il generatore impone un vincolo diretto sulla corrente di maglia.
Se un generatore di corrente è condiviso tra più maglie, bisogna introdurre il concetto di supermaglia, ossia una maglia che include le maglie originali e il generatore di corrente. A tale maglia si applica la LKT.

Caso 1: Generatori di Corrente appartenenti ad una Singola Maglia

Partiamo dal caso più semplice, in cui i generatori di corrente che appaiono nel circuito appartengono ad una singola maglia.

Per chiarire come fare, prendiamo il circuito della figura che segue:

**Figura 1:** Circuito del Caso 1: Presenza di un Generatore di Corrente appartenente ad una singola maglia

Come si può osservare, questo circuito contiene un generatore di corrente, ma esso appartiene ad una sola maglia.

Prima di poter applicare la tecnica dell'analisi delle maglie, dobbiamo prima identificare le maglie presenti nel circuito e assegnare le correnti di maglia a ciascuna di esse.

L'identificazione è semplice, in quanto il circuito è composto da 3 maglie semplici e a ciascuna assegniamo una corrente di maglia, rispettivamente $i_1$ , $i_2$ e $i_3$ come mostra la figura che segue:

**Figura 2:** Circuito del Caso 1: Individuazione delle Maglie e Correnti di Maglia Corrispondenti

Nel circuito abbiamo anche svolto due altre operazioni:

Abbiamo assegnato alle correnti di maglia lo stesso verso orario;
Abbiamo indicato esplicitamente in figura le tensioni e il loro verso ai capi dei singoli resistori; questo è un passaggio fondamentale per scrivere, poi, le equazioni LKT delle singole maglie.

Adesso, scriviamo le equazioni LKT delle maglie concentrandoci, dapprima, sulle maglie 2 e 3:

Maglia 2:

$-v_2 + v_5 + 6 = 0$

Ma sia il resistore $R_1$ che $R_5$ appartengono a due maglie differenti, per cui:

$v_2 = R_2 \cdot i_{R_2} = R_2 \cdot (i_1 - i_2)$

$v_5 = R_5 \cdot i_{R_5} = R_5 \cdot (i_2 - i_3)$

Abbiamo considerato con verso positivo le correnti di maglia che entrano nel nodo a tensione positiva dei resistori e, viceversa, quelle che entrano nel nodo a tensione negativa sono state considerate con verso negativo.

Sostituendo le due tensioni espresse in termini delle correnti di maglia nell'equazione di sopra, otteniamo:

$-R_2 \cdot (i_1 - i_2) + R_5 \cdot (i_2 - i_3) + 6 = 0$

$-R_2 \cdot i_1 + (R_2 + R_5) \cdot i_2 - R_5 \cdot i_3 + 6 = 0$

Abbiamo ottenuto, così, la prima equazione del nostro sistema.
Maglia 3:

$v_3 + v_4 + 4 - v_5 = 0$

In questo caso, i resistori $R_3$ e $R_4$ appartengono ad una singola maglia, quindi possiamo velocemente esprimere le loro tensioni in termini della corrente di maglia $i_3$ :

$v_3 = R_3 \cdot i_3$

$v_4 = R_4 \cdot i_3$

L'espressione per il resistore $R_5$ è già stata trovata nel caso della maglia 2:

$v_5 = R_5 \cdot (i_2 - i_3)$

Quindi, sostituendo tutte le tensioni espresse in termini delle correnti di maglia nell'equazione di maglia 3, otteniamo:

$R_3 \cdot i_3 + R_4 \cdot i_3 + 4 - R_5 \cdot (i_2 - i_3) = 0$

Riorganizzando i termini, otteniamo la seconda equazione del nostro sistema:

$-R_5 \cdot i_2 + (R_3 + R_4 + R_5) \cdot i_3 + 4 = 0$

Il nostro sistema non è tuttavia completo. Abbiamo tre incognite, le correnti di maglia, ma solo due equazioni. Rimane da trovare l'equazione della maglia 1. Tuttavia, il problema è che la tensione ai capi del generatore di corrente non è esprimibile in termini della corrente di maglia 1, in quanto dipende dal resto del circuito.

Questo però non è un problema, in quanto il generatore di corrente appartiene solo alla maglia 1. Pertanto, esso impone un vincolo stretto sulla corrente corrispondente $i_1$ :

i_1 = 2 \, A

In altre parole, il numero di equazioni diminuisce da tre a due, in quanto la corrente $i_1$ deve essere necessariamente pari alla corrente del generatore, altrimenti la legge di Kirchhoff delle Correnti verrebbe violata.

Conoscendo la corrente $i_1 = 2 \, A$ , possiamo sostituirla nelle equazioni trovate sopra:

-R_2 \cdot 2 + (R_2 + R_5) \cdot i_2 - R_5 \cdot i_3 + 6 = 0

-R_5 \cdot i_2 + (R_3 + R_4 + R_5) \cdot i_3 + 4 = 0

Abbiamo, ora, un sistema lineare in due equazioni e due incognite:

\begin{bmatrix} R_2 + R_5 &amp; -R_5 \\ -R_5 &amp; R_3 + R_4 + R_5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_2 \cdot 2 - 6 \\ -4 \end{bmatrix}

Sostituendo i valori delle resistenze dei resistori, otteniamo:

\begin{bmatrix} 18 &amp; -8 \\ -8 &amp; 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ -4 \end{bmatrix}

Risolvendo questo sistema di due equazioni lineari con il metodo di Cramer, otteniamo:

i_2 = \frac{ \begin{array}{|cc|} 14 &amp; -8 \\ -4 &amp; 18 \end{array} } { \begin{array}{|cc|} 18 &amp; -8 \\ -8 &amp; 18 \end{array} } = \frac{220}{260} = 0.8462\,\text{A}

i_3 = \frac{ \begin{array}{|cc|} 18 &amp; 14 \\ -8 &amp; -4 \end{array} } { \begin{array}{|cc|} 18 &amp; -8 \\ -8 &amp; 18 \end{array} } = \frac{40}{260} = 0.1538\,\text{A}

A partire dalle correnti di maglia, possiamo poi calcolare il resto delle grandezze elettriche del circuito.

Quindi, ricapitolando, in presenza di generatori di corrente collegati ad una singola maglia, l'analisi delle maglie si semplifica in quanto il numero di equazioni si riduce. La presenza dei generatori di corrente impone dei vincoli sulle correnti di maglia che non sono più un'incognita.

Definizione

Analisi delle Maglie in presenza di Generatori di Corrente collegati ad una singola maglia

L'analisi delle maglie rimane identica al caso base solo che il numero di equazioni si riduce.

In particolare, non è necessario scrivere le equazioni di Kirchhoff delle Tensioni (LKT) relative alle maglie contenenti i generatori di corrente e si impongono i vincoli sulle correnti di maglia relative.

Caso 2: Generatori di Corrente in Maglie Multiple

Quando un circuito planare presenta uno o più generatori di corrente che appartengono a maglie diverse, l'analisi delle maglie diventa più complessa.

Per affrontare questa situazione, è meglio studiare un esempio concreto. Consideriamo il circuito mostrato nella figura seguente:

**Figura 3:** Circuito del Caso 2: Presenza di un Generatore di Corrente appartenente a due maglie

A differenza del caso precedente, in questo circuito abbiamo un generatore di corrente condiviso tra due maglie. Proviamo a scrivere il sistema di equazioni lineari che descrive il circuito.

Per prima cosa, individuiamo le maglie e le relative correnti di maglia, come mostra la figura che segue:

**Figura 4:** Circuito del Caso 2: Individuazione delle Maglie e delle correnti di maglia corrispondenti

Di questo circuito possiamo scrivere sicuramente l'equazione LKT della maglia 3 che non contiene generatori di corrente:

v_3 + v_4 + 4 - v_6 = 0

Le tensioni che compaiono in questa equazione possono essere riscritte facilmente in funzione delle correnti di maglia:

Per i resistori $R_3$ e $R_4$ l'espressione è semplice in quanto dipende dalla sola corrente $i_3$ :

v_3 = R_3 \cdot i_3

v_4 = R_4 \cdot i_3

Per il resistore $R_6$ l'espressione dipende sia dalla corrente $i_3$ che dalla corrente $i_2$ :

v_6 = R_6 \cdot (i_2 - i_3)

Sostituendo le espressioni delle tensioni appena trovate nell'equazione di prima, otteniamo:

R_3 \cdot i_3 + R_4 \cdot i_3 + 4 - R_6 \cdot (i_2 - i_3) = 0

-R_6 \cdot i_2 + (R_3 + R_4 + R_6) \cdot i_3 = -4

Abbiamo trovato la prima equazione del sistema lineare che descrive il circuito.

Il problema è che, adesso, non possiamo applicare la LKT alla maglia 1 e 2. Questo perché non abbiamo un'espressione della tensione ai capi del generatore di corrente che la leghi alle correnti di maglia.

Dobbiamo procedere in un altro modo, introducendo il concetto di Supermaglia.

Definizione

Supermaglia

Una supermaglia è una maglia composta dalla fusione di due o più maglie che hanno in comune un ramo in cui è presente un generatore di corrente (indipendente o dipendente). Essa si ottiene escludendo il ramo contenente il generatore di corrente, ossia escludendo il generatore e tutti gli elementi in serie con esso.

Tornando al nostro circuito, possiamo facilmente identificare la supermaglia data dalla fusione della maglia 1 e 2 come mostra la figura che segue:

**Figura 5:** Circuito del Caso 2: Supermaglia

Trovata la supermaglia, possiamo applicare ad essa la LKT:

v_1 + v_2 + v_6 + v_5 = 0

Ora, troviamo le espressioni delle tensioni in questione in funzione delle correnti di maglia originali:

v_1 = R_1 \cdot i_1

v_2 = R_2 \cdot i_1

v_6 = R_6 \cdot (i_2 - i_3)

v_5 = R_5 \cdot i_2

Sostituiamo le espressioni delle tensioni nell'equazione della supermaglia:

R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_1 + R_6 \cdot (i_2 - i_3) + R_5 \cdot i_2 = 0

Raggruppando i termini, otteniamo:

(R_1 + R_2) \cdot i_1 + (R_5 + R_6) \cdot i_2 - R_6 \cdot i_3 = 0

A questo punto abbiamo trovato la seconda equazione del nostro sistema lineare.

Le incognite sono, però, tre mentre le equazioni sono solo due. Ci manca un'equazione per completare il sistema. A questo punto dobbiamo per forza adoperare la legge di Kirchhoff delle correnti (LKC). Per farlo, dobbiamo scegliere un nodo del circuito su cui applicarla. Ma non possiamo scegliere un nodo qualunque: dobbiamo scegliere un nodo che appartiene al ramo di intersezione delle maglie che compongono la supermaglia.

A questo scopo, scegliamo il nodo $n$ mostrato in figura:

**Figura 6:** Circuito del Caso 2: Nodo selezionato per scrivare la terza equazione

Applicando la LKC a questo nodo abbiamo la seguente equazione:

i_1 + 3 = i_2

Il nostro sistema è ora completo:

\begin{bmatrix} R_1 + R_2 &amp; R_5 + R_6 &amp; - R_6 \\ 0 &amp; -R_6 &amp; R_3 + R_4 + R_6 \\ 1 &amp; -1 &amp; 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix}

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

\begin{bmatrix} 6 &amp; 18 &amp; -8 \\ 0 &amp; -8 &amp; 16 \\ 1 &amp; -1 &amp; 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix}

Risolvendo il sistema otteniamo:

\begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.2 \\ 0.8 \\ 0.15 \end{bmatrix}

Come si può osservare, una supermaglia ha le seguenti proprietà:

Definizione

Proprietà di una supermaglia

Il generatore di corrente inglobato nella supermaglia fornisce il vincolo necessario per risolvere le equazioni di Kirchhoff delle correnti.
Una supermaglia non ha correnti di maglia proprie:

Nell'esempio precedente, sebbene abbiamo scritto la LKT della supermaglia, abbiamo comunque utilizzato le correnti di maglia originarie $i_1$ , $i_2$ e $i_3$ .
Una supermaglia richiede l'applicazione sia della LKT che della LKC. Senza la LKC non saremmo in grado di risolvere il sistema di equazioni.

Riepilogo dell'Analisi delle Maglie

Ricapitolando, quando applichiamo l'analisi delle maglie ad un circuito che presenta uno o più generatori di corrente si elimina un'equazione LKT per ognuno di essi. In particolare:

Si ignora la maglia che contiene un generatore di corrente esclusivo, ossia non in comune con nessun'altra maglia;
Si considera la supermaglia che include il generatore di corrente e si applica la LKT ad essa, anziché alle maglie che la compongono.

Per cui, i passaggi generali dell'analisi delle maglie in presenza di generatori di corrente sono:

Definizione

Analisi delle Maglie in Presenza di Generatori di Corrente

Identificare le maglie nel circuito e le correnti di maglia associate. Si assegna ad ogni corrente un verso arbitrario.
Si evidenziano le eventuali supermaglie relative ai generatori di corrente condivisi da più maglie.
Si applica la LKT alle supermaglie e alle rimanenti maglie escludendo le maglie che contengono generatori di corrente esclusivi.
Si esprimono le tensioni dei resistori in funzione delle correnti di maglia.
Si applicano i vincoli imposti dai generatori di corrente.
Per ogni supermaglia, si sceglie un nodo tale che appartenga al ramo di intersezione delle maglie che compongono la supermaglia. A tale nodo si applica la LKC per ottenere le equazioni che completano il sistema.
Si risolve il sistema di equazioni risultante per trovare le correnti di maglia.