Analisi delle Maglie: Ispezione Visiva

Concetti Chiave

L'ispezione visiva consente di ricavare rapidamente la matrice delle resistenze e il vettore dei termini noti per l'analisi delle maglie.
L'ispezione visiva può essere applicata solo a circuiti planari che contengono esclusivamente resistori e generatori indipendenti di tensione.
La matrice delle resistenze avrà dimensione $n \times n$ , dove $n$ è il numero di maglie semplici nel circuito.
I componenti della diagonale principale della matrice delle resistenze corrispondono alla somma delle resistenze presenti in ciascuna maglia.
I componenti fuori dalla diagonale rappresentano l'inverso della somma delle resistenze dei bipoli condivisi.
I termini noti del sistema di equazioni corrispondono alla somma algebrica delle tensioni dei generatori presenti nelle singole maglie tenendo conto, però, dei versi delle correnti di maglia.

Analisi delle Maglie: Ispezione Visiva

Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di analisi delle maglie nei circuiti elettrici.

L'analisi delle maglie ha, però, la limitazione di poter essere applicata solo a circuiti planari, ossia circuiti che possono essere disegnati su un piano senza che i loro elementi si intersechino.

Abbiamo visto come, grazie ad essa, possiamo descrivere un circuito in funzione delle correnti di maglia, ossia delle correnti fittizie che si suppone circolino all'interno delle maglie del circuito stesso.

Tali correnti diventano le vere e proprie incognite del sistema e il risultato è un sistema di equazioni lineari che ha la seguente forma:

\mathcal{R} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{V}

dove $\mathcal{R}$ è la matrice delle resistenze, $\mathbf{I}$ è il vettore delle correnti di maglia e $\mathbf{V}$ è il vettore delle tensioni applicate o dei termini noti.

In questa lezione vediamo come, limitandoci al caso di circuiti che contengono esclusivamente resistori e generatori indipendenti di tensione, possiamo scrivere velocemente il sistema lineare attraverso la semplice ispezione visiva del circuito in esame.

Per capire come fare, riprendiamo il circuito di esempio della lezione precedente:

**Figura 1:** Circuito di Esempio su cui applicare l'analisi delle Maglie

Il primo passaggio consiste nell'individuare le maglie semplici e le correnti di maglia ad esse associate. L'ispezione visiva presuppone che tutte le correnti di maglia abbiano lo stesso verso. Per cui imponiamo che le due correnti di maglia abbiano il verso orario come mostra la figura che segue:

**Figura 2:** Correnti di Maglia del circuito di esempio

Dato che il circuito di esempio è composto da due maglie semplici, il sistema di equazioni lineari risultante sarà composto da due equazioni in due incognite, corrispondenti alle correnti di maglia $i_1$ e $i_2$ :

\begin{bmatrix} R_{11} &amp; R_{12} \\ R_{21} &amp; R_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}

Dobbiamo individuare i coefficienti della matrice delle resistenze $\mathcal{R}$ e del vettore dei termini noti $\mathbf{V}$ .

Per quanto riguarda la matrice delle resistenze:

Per gli elementi appartenenti alla diagonale principale, $R_{ii}$ , ci basta sommare tutte le resistenze della maglia $i$ . Per cui:

$R_{11} = R_1 + R_2 = 4 + 2 = 6\,\Omega$

$R_{22} = R_2 + R_3 = 2 + 8 = 10\,\Omega$
Per gli elementi non appartenenti alla diagonale principale, quindi gli elementi $R_{ij}$ con $i \neq j$ , dobbiamo sottrarre le resistenze in comune tra le maglie $i$ e $j$ . Per cui:

$R_{12} = -R_2 = -2\,\Omega$

$R_{21} = -R_2 = -2\,\Omega$

Da notare che, agendo così, la matrice delle resistenze $\mathcal{R}$ risulta sempre simmetrica.

La matrice risultante sarà quindi:

\mathcal{R} = \begin{bmatrix} 6 &amp; -2 \\ -2 &amp; 10 \end{bmatrix}

Adesso, dobbiamo trovare il vettore dei termini noti:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}

In questo caso, ogni elemento $V_i$ è dato dalla somma delle tensioni generate dai generatori appartenenti alla maglia $i$ tenendo conto, però, di tre dettagli:

Se il verso della tensione è concorde con il verso della corrente di maglia, allora la tensione contribuisce positivamente al termine noto.
Se il verso della tensione è contrario al verso della corrente di maglia, allora la tensione contribuisce negativamente al termine noto.
Se un generatore appartiene a più di una maglia, il suo contributo deve essere sommato per ogni maglia in cui è presente.

Nel nostro caso abbiamo semplicemente due generatori di tensioni appartenenti a maglie diverse, per cui:

V_1 = 5\,V

Si noti il verso concorde del primo generatore.

V_2 = -10\,V

In questo caso il verso è discorde.

Il sistema finale sarà, quindi:

\begin{bmatrix} 6 &amp; -2 \\ -2 &amp; 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -10 \end{bmatrix}

Come si può osservare, con la semplice ispezione visiva abbiamo ottenuto lo stesso sistema della lezione precedente senza utilizzare manipolazioni algebriche.

Il sistema ottenuto può essere risolto utilizzando metodi numerici o analitici, a seconda delle preferenze e delle necessità.

Ad esempio, usando Python possiamo utilizzare la libreria NumPy per risolvere il sistema di equazioni:

import numpy as np

R = np.array([[6, -2], [-2, 10]])
V = np.array([5, -10])
I = np.linalg.solve(R, V)

print(I)

Ottenendo:

[ 0.53571429 -0.89285714]

Ricapitolando, l'ispezione visiva per l'analisi delle maglie può essere schematizzata in questo modo:

Definizione

Metodo di Ispezione Visiva per l'Analisi delle Maglie

Applicabile solo a Circuiti Planari con Resistori e Generatori Indipendenti di Tensione

Per ricavare il sistema di equazioni lineari dell'analisi delle maglie relativa ad un circuito planare:

\mathcal{R} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{V}

dove $\mathcal{R}$ è la matrice delle resistenze, $\mathbf{i}$ è il vettore delle correnti di maglia e $\mathbf{V}$ è il vettore delle tensioni, dobbiamo:

Individuare le maglie semplici del circuito.
Associare ad ogni maglia una corrente di maglia assicurandoci che tutte le correnti abbiano lo stesso verso.
Ricavare i coefficienti della matrice delle resistenze in questo modo:
- Per gli elementi della diagonale principale, $R_{ii}$ , ci basta sommare tutte le resistenze della maglia $i$ :
  
  $R_{ii} = \sum_{k} R_k$
  
  dove $R_k$ sono le resistenze della maglia $i$ .
- Per gli altri elementi, $R_{ij}$ con $i \neq j$ , dobbiamo sottrarre le resistenze in comune tra le maglie $i$ e $j$ . Per cui:
  
  $R_{ij} = -\sum_{k} R_k$
  
  dove $R_k$ sono le resistenze in comune tra le maglie $i$ e $j$ .
  
  Inoltre, tenendo presente che la matrice $\mathcal{R}$ è simmetrica, abbiamo:
  
  $R_{ij} = R_{ji}$
Ricavare il vettore dei termini noti, dove il singolo elemento $V_i$ è pari alla somma delle tensioni generate dai generatori appartenenti alla maglia $i$ . Bisogna tener conto dei seguenti dettagli:
1. Se il verso della tensione è concorde con il verso della corrente di maglia, allora la tensione contribuisce positivamente al termine noto.
2. Se il verso della tensione è contrario al verso della corrente di maglia, allora la tensione contribuisce negativamente al termine noto.
3. Se un generatore appartiene a più di una maglia, il suo contributo deve essere sommato per ogni maglia in cui è presente.

La matrice delle resistenze, $\mathcal{R}$ , avrà dimensione $n \times n$ , dove $n$ è il numero di maglie indipendenti nel circuito. Il vettore dei termini noti, $\mathbf{V}$ , avrà dimensione $n \times 1$ .

Nota

Applicabilità dell'ispezione visiva all'Analisi delle Maglie

Si ricordi che l'ispezione visiva può essere applicata all'analisi delle maglie solo se:

Il circuito è planare;
Il circuito in questione è composto da resistori e generatori indipendenti di tensione.

Esempio

Proviamo, adesso, a risolvere un circuito più complesso con l'ispezione visiva applicata all'analisi delle maglie.

Prendiamo il circuito seguente:

**Figura 3:** Circuito di Esempio 2 con quattro maglie

Questo circuito è composto da vari resistori e generatori indipendenti di tensione. Inoltre ha quattro maglie semplici per cui ci aspettiamo che il sistema di equazioni lineari risultanti sia di ordine 4.

Adesso, procediamo con l'analisi delle maglie utilizzando il metodo di ispezione visiva.

Per prima cosa, identifichiamo le correnti di maglia assegnando ad esse lo stesso verso che scegliamo come orario. Il risultato è mostrato nella figura che segue:

**Figura 4:** Circuito di Esempio 2: Correnti di Maglia

A questo punto troviamo gli elementi della diagonale principale della matrice delle resistenze $\mathcal{R}$ . Si tratta di sommare le resistenze appartenenti alla maglia $i$ :

R_{11} = 4 + 1 + 3 = 8\,\Omega

R_{22} = 3 + 1 = 4\,\Omega

R_{33} = 2 + 2 + 4 + 1 + 1 = 10\,\Omega

R_{44} = 4 + 2 + 3 = 9\,\Omega

Passiamo a ricavare gli elementi della matrice non appartenenti alla diagonale principale. Dato che la matrice è simmetrica ci basta trovare gli elementi della sotto-matrice diagonale superiore (o inferiore). Per ogni elemento $R_{ij}$ con $i \neq j$ , dobbiamo sottrarre le resistenze in comune tra le maglie $i$ e $j$ :

R_{ij} = -\sum_{k} R_k

dove $R_k$ sono le resistenze in comune tra le maglie $i$ e $j$ .

Quindi:

R_{12} = R_{21} = - 3 \,\Omega

R_{13} = R_{31} = -1 \,\Omega

R_{14} = R_{41} = 0\,\Omega

R_{23} = R_{32} = -1\,\Omega

R_{24} = R_{42} = 0\,\Omega

R_{34} = R_{43} = -4\,\Omega

La matrice $\mathcal{R}$ delle resistenze sarà quindi:

\mathcal{R} = \begin{bmatrix} 8 &amp; -3 &amp; -1 &amp; 0 \\ -3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 10 &amp; -4 \\ 0 &amp; 0 &amp; -4 &amp; 9 \end{bmatrix}

Adesso, ricaviamo il vettore dei termini noti, ossia il vettore delle tensioni. Per farlo, sommiamo le tensioni generate dai singoli generatori appartenenti a ciascuna maglia tenendo conto del verso:

V_1 = 0\,V

V_2 = -6\,V

V_3 = 10 - 4 = 6\,V

V_4 = 6 - 12 = -6\,V

Il vettore dei termini noti sarà quindi:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 6 \\ -6 \end{bmatrix}

Il sistema di equazioni finali sarà:

\begin{bmatrix} 8 &amp; -3 &amp; -1 &amp; 0 \\ -3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 10 &amp; -4 \\ 0 &amp; 0 &amp; -4 &amp; 9 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 6 \\ -6 \end{bmatrix}

Questo sistema può essere facilmente risolto con MATLAB o Octave, con un codice simile al seguente:

R = [8 -3 -1 0;
     -3 4 -1 0;
     -1 -1 10 -4;
     0 0 -4 9];

V = [0;
     -6;
     6;
     -6];

I = R\V;

disp(I);

Il risultato sarà:

Oppure con Python e Numpy:

import numpy as np

R = np.array([[8, -3, -1, 0],
              [-3, 4, -1, 0],
              [-1, -1, 10, -4],
              [0, 0, -4, 9]])

V = np.array([0, -6, 6, -6])

I = np.linalg.solve(R, V)

print(I)

Quindi le correnti di maglia sono:

i_1 = -0.763636\,A

i_2 = -2.057143\,A

i_3 = 0.062338\,A

i_4 = -0.638961\,A

A partire, poi, da queste correnti possiamo poi ricavare tutte le altre grandezze elettriche del circuito, come le tensioni ai capi dei resistori e le potenze dissipate.