Analisi delle Maglie: Caso Base

In questa lezione iniziamo lo studio di un secondo metodo di analisi dei circuiti: l'Analisi delle Maglie.

Questa tecnica di analisi sfrutta in maniera sistematica la legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per scrivere le equazioni del circuito.

A differenza dell'analisi nodale, però, l'analisi delle maglie ha una grossa limitazione: può essere applicata esclusivamente a circuiti planari.

L'idea di base dell'analisi delle maglie è quella di considerare delle correnti fittizie, chiamate correnti di maglia, che circolano all'interno delle maglie del circuito. Queste rappresentano le vere e proprie incognite del sistema risultante.

Anche per l'analisi delle maglie adotteremo un approccio graduale. In questa lezione partiremo dal caso base, ossia considereremo solo circuiti che contengono resistori e generatori indipendenti di tensioni.

Nelle prossime lezioni estenderemo la tecnica per includere anche circuiti con generatori di corrente e generatori controllati.

Concetti Chiave

L'analisi delle maglie si basa sull'applicazione sistematica della legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT).
L'analisi delle maglie può essere applicata solo a circuiti planari.
L'analisi delle maglie utilizza correnti fittizie chiamate correnti di maglia.
Le correnti di maglia rappresentano le vere e proprie incognite del sistema risultante.
Il sistema di equazioni lineari risultante ha la forma:

$\mathcal{R} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{V}$

dove $\mathcal{R}$ è la matrice delle resistenze, $\mathbf{i}$ è il vettore delle correnti di maglia e $\mathbf{V}$ è il vettore delle tensioni.

Circuiti Planari

Come detto nell'introduzione, l'analisi delle maglie si basa sull'idea di considerare delle correnti fittizie che circolano all'interno delle maglie del circuito.

Questa tecnica di analisi però funziona solo con circuiti planari. Un circuito planare è un circuito che può essere disegnato su un piano senza che nessuna coppia di fili si intersechi in un punto che non sia un nodo.

Proviamo a chiarire il concetto di circuito planare con degli esempi.

Consideriamo il circuito nella figura che segue:

**Figura 1:** Circuito all'apparenza non planare

Ad un primo sguardo disattento, questo circuito sembrerebbe essere non planare in quanto è presente un incrocio di fili.

Tuttavia, se osserviamo attentamente, possiamo notare che i fili si intersecano solo in corrispondenza dei nodi. Pertanto, il circuito può essere ridisegnato in questo modo:

**Figura 2:** Circuito di prima, ridisegnato in modo tale che sia evidente il fatto che sia planare

Il circuito è quindi planare a tutti gli effetti.

Cosa diversa è per il circuito che segue:

In questo caso, non esiste nessun modo per ridisegnare il circuito in modo tale che sia planare. Il circuito non è planare e ad esso non può essere applicata l'analisi delle maglie.

Ricapitolando:

Definizione

Circuito planare

Un Circuito Planare è un circuito che può essere disegnato su un piano senza che nessuna coppia di fili si intersechi in un punto che non sia un nodo.

Correnti di Maglia

Avendo chiarito che cos'è un circuito planare, possiamo passare a definire cos'è una corrente di maglia.

Osserviamo il circuito nella figura che segue:

**Figura 4:** Esempio di correnti di Maglia

Questo circuito è composto da tre maglie semplici. Ricordiamo che una maglia semplice è una maglia che non contiene altre maglie al suo interno.

Ad ognuna di tali maglie abbiamo associato una corrente di maglia, rispettivamente: $i_1$ , $i_2$ e $i_3$ .

Bisogna sottolineare che le correnti di maglia sono correnti fittizie, non esistono. Si tratta di un'astrazione utile per l'analisi dei circuiti. Immaginiamo che tali correnti scorrano all'interno delle maglie e il loro verso è completamente arbitrario, possiamo, cioè, scegliere il verso delle correnti come preferiamo.

Sebbene tali correnti non esistano, esse risultano utili per determinare le vere correnti che scorrono nel circuito e nei singoli bipoli.

Infatti un bipolo può appartenere ad una singola maglia oppure essere condiviso tra due maglie. Allora possiamo esprimere le correnti nei bipoli in funzione delle correnti di maglia e si possono verificare tre casi:

Bipolo in una sola maglia con il verso della corrente concorde con quello della corrente di maglia.

Questo è il caso del bipolo con la corrente $i_A$ . Tale bipolo ha una corrente con il verso concorde con la corrente di maglia $i_1$ . Pertanto vale che:

$i_A = i_1$
Bipolo in una sola maglia con il verso della corrente opposto a quello della corrente di maglia.

Questo è il caso del bipolo con la corrente $i_C$ . Tale bipolo ha una corrente con il verso opposto a quello della corrente di maglia $i_2$ . Pertanto vale che:

$i_C = -i_3$
Bipolo condiviso tra due maglie.

Questo è il caso del bipolo con la corrente $i_B$ . Tale bipolo è condiviso tra le maglie $i_1$ e $i_3$ . In tal caso la corrente che scorre nel bipolo deve essere espressa come la somma algebrica delle correnti delle due maglie, tenendo conto dei versi. Pertanto vale che:

$i_B = i_1 - i_3$

Si noti che la corrente $i_1$ viene presa con il segno positivo perché il verso coincide con il verso di $i_B$ . La corrente $i_3$ , invece, viene presa con il segno negativo perché il verso è opposto a quello di $i_B$ .

Ricapitolando:

Definizione

Corrente di Maglia

Una Corrente di Maglia è una corrente ipotetica che si assume scorra all'interno di una maglia di un circuito. Le correnti di maglia sono utilizzate come strumento per l'analisi dei circuiti e non corrispondono necessariamente a correnti fisiche reali.

Analisi delle Maglie con Resistori e Generatori Indipendenti di Tensione

Adesso che abbiamo chiarito i due concetti fondamentali alla base dell'analisi delle maglie, cioè circuiti planari e correnti di maglia, possiamo entrare nel vivo e studiare come funziona questa tecnica.

Ribadiamo che tale tecnica di analisi vale solo per i circuiti planari. Inoltre, iniziamo dal caso base, ossia circuiti composti solo da resistori e generatori indipendenti di tensione.

Analizziamo un circuito semplice:

**Figura 5:** Circuito di Esempio per usare l'analisi delle maglie

Questo circuito contiene due generatori indipendenti di tensione e alcuni resistori. Per poter applicare l'analisi delle maglie prendiamo le due maglie semplici e assegniamo loro delle correnti di maglie ed un verso. In questo caso, in modo del tutto arbitrario, scegliamo il verso orario, come mostra la figura che segue:

**Figura 6:** Correnti di Maglia del Circuito dell'esempio

Adesso scriviamo le equazioni di maglia, ossia le equazioni LKT, relative a queste maglie. Consideriamo il verso delle correnti di maglia:

Maglia 1:

$-5\,\text{V} + v_1 + v_2 = 0$

$v_1 + v_2 = 5$
Maglia 2:

$-v_2 - v_3 + 10\,\text{V} = 0$

$- v_2 - v_3 = -10$

Adesso esprimiamo le tensioni dei bipoli in termini delle correnti di maglia:

Per i resistori $R_1$ e $R_3$ la scrittura delle equazioni è semplice in quanto appartengono ad una singola maglia, per cui:

$v_1 = R_1 \cdot i_1$

$v_3 = -R_3 \cdot i_2$

Da notare che nel caso del resistore $R_3$ la tensione è negativa, il che indica che il verso della corrente è opposto a quello della corrente di maglia $i_2$ .
Per il resistore $R_2$ la scrittura dell'equazione è altrettanto semplice ma dobbiamo tenere conto che esso appartiene a due maglie:

$v_2 = R_2 \cdot i_{R_2}$

La corrente $i_{R_2}$ è data dalla somma algebrica delle correnti di maglia che attraversano il resistore, tenendo conto dei versi:

$i_{R_2} = i_1 - i_2$

quindi:

$v_2 = R_2 \cdot (i_1 - i_2)$

Adesso, sostituiamo le espressioni delle tensioni all'interno delle equazioni viste prima:

R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot (i_1 - i_2) = 5

- R_2 \cdot (i_1 - i_2) + R_3 \cdot i_2 = -10

Abbiamo ottenuto due equazioni in due incognite, le correnti di maglia. Svolgiamo i conti:

\begin{cases} R_1 \cdot i_1 + R_2 \cdot (i_1 - i_2) = 5 \\ -R_2 \cdot (i_1 - i_2) + R_3 \cdot i_2 = -10 \end{cases}

\begin{cases} (R_1 + R_2) \cdot i_1 - R_2 \cdot i_2 = 5 \\ -R_2 \cdot i_1 + (R_2 + R_3) \cdot i_2 = -10 \end{cases}

Riscrivendo il sistema in forma matriciale, otteniamo:

\begin{bmatrix} R_1 + R_2 &amp; -R_2 \\ -R_2 &amp; R_2 + R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -10 \end{bmatrix}

Sostituendo i valori otteniamo:

\begin{bmatrix} 6 &amp; -2 \\ -2 &amp; 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -10 \end{bmatrix}

Possiamo risolvere facilmente questo sistema con il metodo di Cramer:

i_1 = \frac{ \begin{bmatrix} 5 &amp; -2 \\ -10 &amp; 10 \end{bmatrix} } { \begin{bmatrix} 6 &amp; -2 \\ -2 &amp; 10 \end{bmatrix} } = \frac{ 50 - 20 }{ 60 - 4 } = \frac{ 30 }{ 56 } \approx 0.5357\,\text{A}

i_2 = \frac{ \begin{bmatrix} 6 &amp; 5 \\ -2 &amp; -10 \end{bmatrix} } { \begin{bmatrix} 6 &amp; -2 \\ -2 &amp; 10 \end{bmatrix} } = \frac{ -60 +10 }{ 60 - 4 } = -\frac{ 50 }{ 56 } \approx -0.8929\,\text{A}

Avendo trovato le due correnti di maglia, si possono poi ricavare tutte le grandezze del circuito.

Riepilogo del metodo

Adesso che abbiamo visto in azione l'analisi delle maglie applicata al caso base, riepiloghiamo il metodo:

Definizione

Analisi delle Maglie applicata a Circuiti con Generatori Indipendenti di Tensione e Resistori

L'Analisi delle Maglie applicata a circuiti composti esclusivamente da resistori e generatori di tensione indipendenti si basa sui seguenti passaggi:

Identificazione delle maglie: Determinare le maglie del circuito e assegnare un verso alle correnti di maglia.
Scrittura delle equazioni di maglia: Applicare la legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per scrivere le equazioni di maglia in termini delle tensioni ai capi dei resistori e delle sorgenti di tensione.
Espressione delle tensioni in funzione delle correnti: Sostituire le tensioni con le espressioni in funzione delle correnti di maglia, utilizzando la legge di Ohm.
Risoluzione del sistema di equazioni: Risolvere il sistema di equazioni risultante per trovare le correnti di maglia.
Calcolo delle grandezze del circuito: Utilizzare le correnti di maglia per calcolare tutte le altre grandezze del circuito, come le tensioni ai capi dei resistori e le correnti nei rami del circuito.

Forma Generale

Quando si applica l'analisi delle maglie ad un circuito si ottiene un sistema di equazioni lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite, dove $n$ è il numero di maglie indipendenti del circuito e le incognite sono le correnti di maglia $i_k$ .

\begin{bmatrix} R_{11} &amp; R_{12} &amp; \cdots &amp; R_{1n} \\ R_{21} &amp; R_{22} &amp; \cdots &amp; R_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ R_{n1} &amp; R_{n2} &amp; \cdots &amp; R_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ \vdots \\ i_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ \vdots \\ V_n \end{bmatrix}

In forma compatta possiamo scrivere:

\mathcal{R} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{V}

Poiché i termini noti sono delle tensioni e i coefficienti della matrice $\mathcal{R}$ sono coefficienti delle correnti di maglia, si tratta di resistenze. Pertanto la matrice $\mathcal{R}$ prende il nome di matrice delle resistenze di maglia.