Analisi Nodale in Presenza di Generatori Controllati

Nelle precedenti lezioni abbiamo studiato il metodo dell'Analisi Nodale per calcolare le grandezze (statiche) di un circuito. Siamo partiti dal caso base, ossia il caso di circuiti composti esclusivamente da resistori e generatori indipendenti di corrente.

Successivamente, abbiamo visto come applicare l'analisi nodale per ispezione visiva, ossia scrivendo direttamente la matrice delle conduttanze a partire dalla semplice ispezione del circuito.

La tecnica di ispezione, però, non funziona se il circuito contiene generatori indipendenti di tensione. Abbiamo, pertanto, studiato come applicare l'analisi nodale anche in questo caso, introducendo il concetto di supernodo.

Per concludere il nostro studio dell'analisi nodale applicata ai circuiti statici, dobbiamo analizzare un'ultimo caso: quello di circuiti contenenti generatori controllati o dipendenti. Per studiare questo caso, però, dobbiamo dividere la lezione in due sottocasi: i circuiti con generatori controllati di corrente e i circuiti con generatori controllati di tensione.

Concetti Chiave

L'analisi nodale in presenza di generatori controllati richiede considerazioni aggiuntive rispetto al caso base.
Non possiamo utilizzare la tecnica di ispezione visiva per scrivere la matrice delle conduttanze.
Se il circuito contiene generatori controllati di corrente, dobbiamo scrivere le equazioni nodali in modo esplicito.
Se il circuito contiene generatori controllati di tensione, invece, dobbiamo verificare se siamo in presenza di supernodi.

Analisi Nodale in presenza di Generatori Controllati di Corrente

L'analisi nodale può essere applicata comunque nei casi in cui il circuito contiene generatori controllati di corrente. L'unica limitazione è che non possiamo utilizzare la tecnica di ispezione visiva per scrivere la matrice delle conduttanze. Dobbiamo invece ricorrere alla scrittura delle equazioni nodali in modo esplicito.

Per chiarire il tutto, esaminiamo un esempio pratico.

Consideriamo il circuito mostrato in figura:

**Figura 1:** Circuito di Esempio con un Generatore Dipendente di Corrente

In questo circuito abbiamo quattro nodi, di cui ne abbiamo scelto uno come riferimento (o massa). I rimanenti tre nodi sono stati contrassegnati con $n_1$ , $n_2$ e $n_3$ .

A ciascuno di essi corrisponde una tensione nodale, rispettivamente: $v_1$ , $v_2$ e $v_3$ .

Per poter applicare l'analisi nodale, scriviamo prima le equazioni relative alle singole correnti indicate nel circuito:

i_I = 4\,\text{A}

i_1 = \frac{v_1 - v_2}{R_1} = G_1 \cdot (v_1-v_2)

i_2 = \frac{v_2}{R_2} = G_2 \cdot v_2

i_3 = \frac{v_2 - v_3}{R_3} = G_3 \cdot (v_2 - v_3)

i_4 = \frac{v_3}{R_4} = G_4 \cdot v_3

i_c = 2 \cdot i_2 = 2 \cdot G_2 \cdot v_2

Abbiamo scritto le equazioni delle correnti per comodità, in maniera tale che al passaggio successivo possiamo sostituirle direttamente nelle equazioni ricavate con la LKC.

Adesso, sfruttando la LKC scriviamo le equazioni relative ai singoli nodi:

Equazione relativa al nodo 1:

$i_I = i_1$

$4\,\text{A} = G_1 \cdot (v_1 - v_2)$

$G_1 \cdot v_1 - G_2 \cdot v_2 = 4$
Equazione relativa al nodo 2:

$i_1 = i_2 + i_3 + i_c$

$G_1 \cdot (v_1-v_2) = G_2 \cdot v_2 + G_3 \cdot (v_2 - v_3) + 2 \cdot G_2 \cdot v_2$

$-G_1 \cdot v_1 + (G_1+3\cdot G_2+G_3) \cdot v_2 -G_3 \cdot v_3 = 0$
Equazione relativa al nodo 3:

$i_3 + i_c = i_4$

$G_3 \cdot (v_2 - v_3) + 2 \cdot G_2 \cdot v_2 = G_4 \cdot v_3$

$(2 \cdot G_2 + G_3) \cdot v_2 + (-G_3 - G_4) \cdot v_3 = 0$

Abbiamo ottenuto tre equazioni in tre icognite (le tensioni nodali). Riportando il tutto in forma matriciale, otteniamo:

\begin{bmatrix} G_1 &amp; -G_2 &amp; 0 \\ -G_1 &amp; G_1 + 3\cdot G_2 + G_3 &amp; -G_3 \\ 0 &amp; 2 \cdot G_2 + G_3 &amp; -G_3 - G_4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Sostituendo i valori delle conduttanze nella matrice, otteniamo:

\begin{bmatrix} 0.5 &amp; -0.5 &amp; 0 \\ -0.5 &amp; 2.25 &amp; -0.25 \\ 0 &amp; 1.25 &amp; -0.375 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Facciamo qualche osservazione:

In presenza di uno o più generatori dipendenti di corrente la matrice delle conduttanze non è più simmetrica; pertanto l'ispezione visiva in questo caso non può essere adoperata;
Il numero di equazioni rimane lo stesso ed è pari al numero di nodi non di riferimento (nel nostro caso è 3);
L'ispezione visiva non può essere nemmeno adoperata per ricavare il vettore dei termini noti.

In altri termini, in presenza di generatori controllati di corrente l'analisi nodale può essere ancora adoperata, ma non può essere usata la tecnica di ispezione visiva e le equazioni devono essere scritte esplicitamente.

A questo punto, il sistema può essere risolto normalmente, ad esempio con il metodo di Cramer (dato che è composto da 3 equazioni e può essere ancora svolto a mano) oppure con metodi numerici come il metodo di Gauss.

Adoperando, ad esempio, Matlab o Octave, possiamo scrivere il seguente codice:

G = [0.5, -0.5, 0; -0.5, 2.25, -0.25; 0, 1.25, -0.375];
b = [4; 0; 0];
v = G\b;

Il risultato sarà:

Quindi le tre tensioni nodali saranno:

v_1 = 12.3636\,\text{V}

v_2 = 4.3636\,\text{V}

v_3 = 14.5455\,\text{V}

A partire da esse possiamo, poi, ricavare le rimanenti grandezze elettriche del circuito.

Analisi Nodale in presenza di Generatori Controllati di Tensione

Adesso passiamo al secondo caso: l'analisi nodale in presenza di generatori controllati di tensione.

In questo caso, bisogna fare attenzione a come i generatori di tensione (siano essi controllati o meno) sono collegati ai nodi del circuito. Così come fatto per il caso dei generatori indipendenti di tensione, anche per quelli dipendenti dobbiamo verificare se essi sono collegati tra il nodo di riferimento ed un altro nodo, oppure tra due nodi non di riferimento.

Per chiarire il tutto, consideriamo il seguente circuito di esempio:

**Figura 2:** Circuito di Esempio con un Generatore Dipendente di Tensione

In questo circuito abbiamo cinque nodi. Di questi ne abbiamo preso uno di riferimento indicato con il simbolo di terra.

I restanti nodi sono $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ e $n_4$ . Ad ogni nodo è associata una tensione nodale, che indicheremo con $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ e $v_4$ rispettivamente.

Prima di procedere con l'analisi, per convenienza, scriviamo le equazioni delle singole correnti del circuito:

i_1 = \frac{0 - v_1}{R_1} = -G_1 \cdot v_1

i_2 = \frac{v_1 - v_2}{R_2} = G_2 \cdot (v_1 - v_2)

i_3 = \frac{v_2 - v_3}{R_3} = G_3 \cdot (v_2 - v_3)

i_4 = \frac{v_3 - 0}{R_4} = G_4 \cdot v_3

i_5 = \frac{0 - v_4}{R_5} = -G_5 \cdot v_4

i_6 = \frac{v_1 - v_4}{R_6} = G_6 \cdot (v_1 - v_4)

Essendo quattro i nodi non di riferimento, abbiamo bisogno di quattro equazioni linearmente indipendenti.

Adesso scriviamo le equazioni LKC per i primi due nodi:

Nodo 1:

$i_1 = i_2 + i_6$

$-G_1 \cdot v_1 = G_2 \cdot (v_1 - v_2) + G_6 \cdot (v_1 - v_4)$

$(-G_1 -G_2-G_6) \cdot v_1 + G_2 \cdot v_2 + G_6 \cdot v_4 = 0$
Nodo 2:

$4 + i_2 = i_3$

$4 + G_2 \cdot (v_1 - v_2) = G_3 \cdot (v_2 - v_3)$

$G_2 \cdot v_1 + (-G_2 - G_3) \cdot v_2 + G_3 \cdot v_3 = -4$

A questo punto non possiamo procedere oltre in quanto il generatore controllato di tensione si trova tra i nodi 3 e 4, e non abbiamo informazioni sufficienti per scrivere l'equazione di nodo per il nodo 3 e 4.

Dobbiamo, quindi, sfruttare il supernodo individuato dalla superficie che racchiude il generatore di tensione, come mostrato nella figura che segue:

**Figura 3:** Supernodo del circuito di esempio

Ricaviamo la terza equazione del sistema, applicando la LKC al supernodo:

i_3 + i_5 + i_6 = i_4

Infatti, le correnti $i_3$ , $i_5$ e $i_6$ sono tutte entranti nel supernodo, mentre $i_4$ è uscente.

Adesso, sostituiamo $i_3$ , $i_5$ , $i_6$ e $i_4$ con le loro espressioni in funzione delle tensioni nodali:

G_3 \cdot (v_2 - v_3) - G_5 \cdot v_4 + G_6 \cdot (v_1 - v_4) = G_4 \cdot v_3

G_6 \cdot v_1 + G_3 \cdot v_2 + (-G_3 -G_4) \cdot v_3 + (-G_5-G_6)\cdot v_4 = 0

Le tre equazioni trovate non bastano. Ne manca una.

Per questo motivo dobbiamo considerare anche una maglia che includa il generatore controllato di tensione e applicare ad essa la LKT.

Per semplicità, scegliamo la maglia $M$ mostrata in figura:

**Figura 4:** Maglia selezionata per trovare l'equazione finale

Scriviamo, quindi la LKT applicata alla maglia $M$ :

- v_3 + 2\cdot v_2 + v_4 = 0

Adesso abbiamo tutte le equazioni necessarie per risolvere il sistema. Mettendo insieme le equazioni in forma matriciale otteniamo:

\begin{bmatrix} -G_1-G_2-G_6 &amp; G_2 &amp; 0 &amp; G_6 \\ G_2 &amp; -G_2-G_3 &amp; G_3 &amp; 0 \\ G_6 &amp; G_3 &amp; -G_3-G_4 &amp; -G_5-G_6 \\ 0 &amp; 2 &amp; -1 &amp; 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Sostituendo i valori nella matrice otteniamo:

\begin{bmatrix} -1.0833 &amp; 0.25 &amp; 0 &amp; 0.3333 \\ 0.25 &amp; -0.375 &amp; 0.125 &amp; 0 \\ 0.3333 &amp; 0.125 &amp; -0.325 &amp; -1.3333 \\ 0 &amp; 2.0 &amp; -1.0 &amp; 1.0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

Risolvendo questo sistema con MATLAB o Python, otteniamo:

\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5320 \\ 31.8818 \\ 54.5813 \\ -9.1823 \\ \end{bmatrix}

Come si può notare, l'analisi nodale in presenza di generatori controllati di tensione non è tanto dissimile dal caso di generatori indipendenti di tensione. Bisogna prestare attenzione a come i generatori controllati influenzano le correnti e le tensioni nei nodi, ma i principi di base rimangono gli stessi.