Analisi Nodale in Presenza di Generatori di Tensione

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come applicare l'analisi nodale in circuiti senza generatori di tensione.

Attraverso l'analisi nodale, sfruttiamo la legge di Kirchhoff delle correnti (LKC) per scrivere un sistema di equazioni che ci permette di calcolare le tensioni ai nodi del circuito. Quindi le tensioni rappresentano le incognite del sistema e le correnti ci permettono di scrivere le equazioni.

Quando, però, siamo in presenza di generatori di tensione, dobbiamo fare alcune considerazioni aggiuntive. Il problema è che i generatori di tensione non sono semplici resistori, ma introducono delle tensioni fisse tra i loro terminali. Inoltre, ed è questo il punto cruciale, la corrente che scorre attraverso un generatore di tensione non è determinata dalla legge di Ohm, ma è una variabile libera che viene influenzata dal resto del circuito.

Per questo motivo, quando si applica l'analisi nodale in presenza di generatori di tensione, dobbiamo considerare due casi distinti a seconda della posizione del generatore di tensione rispetto ai nodi del circuito.

Concetti Chiave
  • L'analisi nodale in presenza di generatori di tensione richiede considerazioni aggiuntive rispetto al caso base.
  • Esistono due casi principali: generatori di tensione tra il nodo di riferimento e un nodo qualunque, e generatori di tensione tra due nodi qualunque.
  • Nel primo caso, il generatore di tensione semplifica l'analisi riducendo il numero di equazioni necessarie.
  • Nel secondo caso, si introduce il concetto di supernodo per gestire i generatori di tensione tra due nodi non di riferimento.

Caso 1: Generatore di Tensione tra il Nodo di Riferimento e un Nodo Qualunque

Il primo caso è il più semplice.

Se i generatori di tensione del circuito sono posizionati tra il nodo di riferimento e un altro nodo, possiamo semplicemente considerare la tensione del generatore come una costante nota. In questo caso, il generatore di tensione non introduce complicazioni significative nell'analisi nodale ma, anzi, riduce il numero di equazioni necessarie.

Per capire meglio, consideriamo un esempio. Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

Caso 1 - Circuito di Esempio
Figura 1: Caso 1 - Circuito di Esempio

Questo circuito ha quattro nodi di cui ne abbiamo scelto uno di riferimento. Inoltre ha anche un generatore indipendente di tensione che, tuttavia, è collegato direttamente tra il nodo di riferimento e un altro nodo.

Proviamo ad applicare l'analisi nodale. In teoria, in presenza di soli generatori di correnti, l'analisi nodale ci fornirebbe un sistema composto tre equazioni e tre incognite. Vediamo cosa accade, invece, in questo caso.

Per prima cosa, scriviamo le equazioni di Kirchhoff delle correnti relative ai singoli nodi:

\begin{array}{lccc} \text{nodo}\,n_1 & i_I & = & i_1 + i_2 \\ \text{nodo}\,n_2 & i_2 + i_4 & = & i_3 \\ \text{nodo}\,n_3 & i_V & = & i_4 \end{array}

Adesso, ricaviamo le espressioni delle singole correnti in termini di tensioni di nodo:

\begin{array}{ccccc} i_I & = & 2\,\text{A} & & \\ i_1 & = & \frac{v_1}{R_1} & = & G_1 \cdot v_1 \\ i_2 & = & \frac{v_1 - v_2}{R_2} & = & G_2 \cdot (v_1 - v_2) \\ i_3 & = & \frac{v_2}{R_3} & = & G_3 \cdot v_2 \\ i_4 & = & \frac{v_3 - v_2}{R_4} & = & G_4 \cdot (v_3 - v_2) \\ i_V & = & ? & & \\ \end{array}

A prima vista sembra che ci sia un problema. Infatti non conosciamo a priori l'espressione di i_V, ossia della corrente che scorre attraverso il generatore di tensione. Questo perché essa dipende dal resto del circuito.

Quindi sembra che non possiamo adoperare l'equazione del sistema:

i_V = i_4

In realtà, il fatto che ci sia un generatore di tensione tra il nodo di riferimento ed un altro nodo ci semplifica i calcoli in quanto riduce il numero di incognite.

Nell'analisi nodale normale, le tensioni nodali sono le incognite del sistema. In questo caso una di esse è nota a priori, in quanto vincolata dal generatore di tensione:

v_3 = 5\,\text{V}

La conseguenza è che abbiamo bisogno di un'equazione in meno: dato che le incognite ora sono due, ci bastano soltanto due equazioni. Quindi prendiamo le equazioni del nodo 1 e del nodo 2:

\begin{array}{lccc} \text{nodo}\,n_1 & i_I & = & i_1 + i_2 \\ \text{nodo}\,n_2 & i_2 + i_4 & = & i_3 \\ \end{array}

Esse diventano:

\begin{array}{ccc} 2\,\text{A} & = & G_1 \cdot v_1 + G_2 \cdot (v_1 - v_2) \\ G_2 \cdot (v_1 - v_2) + G_4 \cdot (v_3 - v_2) & = & G_3 \cdot v_2 \\ \end{array}

Ma sappiamo che v_3 = 5\,\text{V}, per cui il sistema diventa:

\begin{array}{ccc} 2\,\text{A} & = & G_1 \cdot v_1 + G_2 \cdot (v_1 - v_2) \\ G_2 \cdot (v_1 - v_2) + G_4 \cdot (5 - v_2) & = & G_3 \cdot v_2 \\ \end{array}

Portando il sistema in forma normale otteniamo:

\begin{array}{ccc} (G_1 + G_2) \cdot v_1 - G_2 \cdot v_2 & = & 2 \\ - G_2 \cdot v_1 + (G_2 + G_3 + G_4) \cdot v_2 & = & 5 \cdot G_4 \end{array}

In forma matriciale, il sistema diventa:

\begin{bmatrix} G_1 + G_2 & -G_2 \\ -G_2 & G_2 + G_3 + G_4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \cdot G_4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{11}{12} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{5}{6} \end{bmatrix}

Risolvendo questo sistema con il metodo di Cramer, otteniamo:

v_1 = \frac{ \begin{array}{|cc|} 2 & -\frac{1}{2} \\ \frac{5}{6} & \frac{11}{12} \end{array} }{ \begin{array}{|cc|} 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{11}{12} \end{array} } = \frac{ \frac{9}{4} }{ \frac{2}{3} } = \frac{27}{8} = 3.375\,\text{V}
v_2 = \frac{ \begin{array}{|cc|} 1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{5}{6} \end{array} }{ \begin{array}{|cc|} 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{11}{12} \end{array} } = \frac{ \frac{11}{6} }{ \frac{2}{3} } = \frac{11}{4} = 2.75\,\text{V}

Quindi, grazie alla presenza del generatore di tensione il numero di equazioni si è ridotto da tre a due.

Definizione

Analisi Nodale in presenza di Generatori di Tensione collegati al nodo di riferimento

L'analisi nodale è identica al caso base solo che il numero di equazioni si riduce.

In particolare si ignorano le equazioni LKC riguardanti i nodi a cui i generatori di tensione sono collegati (che non siano di riferimento). Inoltre, si applicano i vincoli alle tensioni imposti dai generatori di tensione stessi.

Caso 2: Generatore di Tensione tra due Nodi Qualunque

Il secondo caso è leggermente più complesso e si verifica quando un generatore indipendente di tensione è collegato tra due nodi che non sono di riferimento.

In tal caso, però, prima di andare avanti dobbiamo introdurre il concetto di Supernodo.

Definizione

Supernodo

Un Supernodo è un nodo ottenuto racchiudendo entro una superficie chiusa un generatore di tensione (indipendente o dipendente che sia) collegato fra due nodi non di riferimento insieme a tutti gli elementi in parallelo con esso.

In pratica, ciò che bisogna fare in questo caso è costruire dei supernodi relativi ai generatori di tensione non collegati al nodo di riferimento ed applicare ad essi sia la LKC che LKT.

Cerchiamo di chiarire con un esempio. Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

Caso 2 - Circuito di Esempio
Figura 2: Caso 2 - Circuito di Esempio

In questo circuito abbiamo quattro nodi di cui uno è stato scelto come riferimento. Tuttavia, tra il nodo n_2 e il nodo n_3 vi è un generatore indipendente di tensione. Non possiamo applicare il metodo visto sopra. Dobbiamo trasformare questo generatore in un supernodo. Per farlo basta considerare il circuito sotto questa prospettiva:

Caso 2 - Individuazione di un Supernodo
Figura 3: Caso 2 - Individuazione di un Supernodo

La superficie evidenziata in rosso rappresenta un nuovo nodo che ingloba al proprio interno il generatore di tensione e i nodi n_2 e n_3.

Adesso abbiamo ridotto i nodi a due e procediamo nello stesso modo di sempre con l'analisi nodale, solo che i supernodi vanno trattati in modo diverso. La motivazione sta nel fatto che il componente essenziale dell'analisi nodale è l'applicazione della LKC, che richiede di conoscere l'espressione della corrente che scorre attraverso ciascun componente. Non c'è modo, purtroppo, di conoscere in anticipo l'espressione della corrente che attraversa un generatore di tensione. Tuttavia, la LKC deve essere comunque soddisfatta dal supernodo. Pertanto, applicando la LKC al supernodo del circuito otteniamo che:

i_1 + i_3 = i_2 + i_4

In altre parole, trattando il supernodo come superficie chiusa, la somma algebrica delle correnti entranti deve essere comunque pari alla somma algebrica delle correnti uscenti in esso.

Adesso, esprimiamo l'equazione appena trovata in termini di tensioni nodali:

\frac{v_1 - v2}{2} + \frac{v_1 - v_3}{4} = \frac{v_2}{8} + \frac{v_3}{6}

Abbiamo trovato, così, una prima equazione per il nostro circuito. La seconda equazione può essere ricavata applicando la LKC al nodo n_1:

i_I = i_1 + i_3
2 = \frac{v_1 - v_2}{2} + \frac{v_1 - v_3}{4}

C'è un problema adesso. Abbiamo tre incognite, le tensioni nodali v_1, v_2 e v_3, ma le equazioni sono solo due. Per poter trovare la terza equazione dobbiamo usare necessariamente la LKV applicandola ad una delle maglie a cui è collegato il supernodo/generatore di tensione. Ridisegniamo il circuito in questo modo:

Caso 2 - Maglia per la terza equazione
Figura 4: Caso 2 - Maglia per la terza equazione

Adesso consideriamo la maglia M evidenziata in figura e applichiamo la LKT a questa maglia ottenendo l'equazione mancante per il nostro sistema:

-v_2 + 5 + v_3 = 0

A questo punto si tratta di mettere insieme le tre equazioni e ottenere il sistema finale:

\begin{array}{ccc} \frac{v_1 - v2}{2} + \frac{v_1 - v_3}{4} & = & \frac{v_2}{8} + \frac{v_3}{6} \\ \frac{v_1 - v_2}{2} + \frac{v_1 - v_3}{4} & = & 2 \\ -v_2 + v_3 & = & -5 \end{array}
\begin{array}{ccccc} 18v_1 & -15v_2 & -10v_3 & = & 0 \\ 3v_1 & -2v_2 & -v_3 & = & 8 \\ & -v_2 & +v_3 & = & -5 \end{array}

In forma matriciale, il sistema diventa:

\begin{bmatrix} 18 & -15 & -10 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & +1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 8\\ -5 \end{bmatrix}

Risolvendo il sistema, otteniamo:

\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10.7143\\ 9.7143\\ 4.7143 \end{bmatrix}

Come si può osservare, un supernodo ha una serie di proprietà:

Definizione

Proprietà di un Supernodo

Un supernodo ha le seguenti proprietà:

  1. Il generatore di tensione all'interno del supernodo fornisce un'equazione di vincolo che lega le tensioni nodali e permette di trovarne il valore;
  2. Un supernodo non ha una tensione propria;
  3. Per poter risolvere un circuito in cui è presente un supernodo è necessario applicare sia la legge di Kirchhoff delle Correnti (LKC) che la legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT).

Esempio: Supernodo composto da un generatore e un resistore in parallelo

Abbiamo detto che un supernodo è composto da un generatore di tensione e da tutti gli elementi in parallelo con esso. Vediamo un esempio per chiarire questo concetto.

Consideriamo il circuito mostrato nella figura che segue:

Caso 2: Circuito con Supernodo Complesso
Figura 5: Caso 2: Circuito con Supernodo Complesso

In questo circuito abbiamo tre nodi di cui ne abbiamo scelto uno di riferimento. Come si può vedere tra il nodo n_1 e il nodo n_2 vi è un generatore di tensione indipendente. Quest'ultimo però è in parallelo ad un resistore R_3, per cui dobbiamo considerare il generatore di tensione e il resistore come un unico supernodo come mostra la figura che segue:

Caso 2: Circuito con Supernodo Complesso Evidenziato
Figura 6: Caso 2: Circuito con Supernodo Complesso Evidenziato

A questo punto, per prima cosa applichiamo la LKC al supernodo:

i_{I_1} = i_1 + i_2 + 7
2 = i_1 + i_2 + 7

Bisogna notare un dettaglio importante: la corrente i_3 che attraversa il resistore R_3 non influisce sulla LKC del supernodo, in quanto il resistore è in parallelo con il generatore di tensione ed è una corrente interna al supernodo. Quindi, può essere ignorata in questa fase.

Quindi, esprimiamo le correnti in funzione delle tensioni nodali:

2 = \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + 7
2 = G_1 \cdot v_1 + G_2 \cdot v_2 + 7
G_1 \cdot v_1 + G_2 \cdot v_2 = -5

Abbiamo ottenuto la prima equazione del sistema. La seconda equazione può essere ricavata applicando la LKT al supernodo. Consideriamo la maglia M evidenziata in figura:

Circuito con Supernodo Complesso: Maglia per la seconda equazione
Figura 7: Circuito con Supernodo Complesso: Maglia per la seconda equazione

Applicando la LKT a questa maglia otteniamo:

-v_1 - 2 + v_2 = 0
-v_1 + v_2 = 2

A questo punto, abbiamo due equazioni e due incognite. Il sistema finale è:

\begin{bmatrix} G_1 & G_2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix}

Risolvendo il sistema con il metodo di Cramer, otteniamo:

v_1 = \frac{ \begin{array}{|cc|} -5 & \frac{1}{4} \\ 2 & 1 \end{array} }{ \begin{array}{|cc|} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -1 & 1 \end{array} } = \frac{ -\frac{11}{2} }{ \frac{3}{4} } = \frac{-22}{3} = -7.3333\,\text{V}
v_2 = \frac{ \begin{array}{|cc|} \frac{1}{2} & -5 \\ -1 & 2 \end{array} }{ \begin{array}{|cc|} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -1 & 1 \end{array} } = \frac{ -4 }{ \frac{3}{4} } = \frac{-16}{3} = -5.3333\,\text{V}

Come si può osservare, il resistore R_3 non ha influenzato affatto il risultato finale, in quanto esso è in parallelo con il generatore di tensione e quindi non influisce sulla LKC del supernodo.

Adesso che conosciamo le tensioni nodali, possiamo calcolare il resto delle grandezze del circuito:

i_1 = \frac{v_1}{R_1} = \frac{-7.3333}{2} = -3.6666\,\text{A}
i_2 = \frac{v_2}{R_2} = \frac{-5.3333}{4} = -1.3333\,\text{A}
i_3 = \frac{v_1 - v_2}{R_3} = \frac{-7.3333 + 5.3333}{10} = -0.2\,\text{A}

Per quanto riguarda la corrente che scorre nel generatore di tensione, possiamo usare la LKC applicata al nodo 1:

i_{I_1} = i_1 + i_V + i_3
2 = -3.6666 + i_V -0.2
i_V = 2 + 3.6666 + 0.2 = 5.8666\,\text{A}

Riepilogo dell'Analisi Nodale

Ricapitolando, il metodo dell'Analisi Nodale in presenza di generatori di tensione può essere riassunto nei seguenti passi:

Definizione

Analisi Nodale in Presenza di Generatori di Tensione

  1. Si identificano i nodi del circuito;
  2. Si sceglie un nodo di riferimento;
  3. Si evidenziano gli eventuali supernodi relativi ai generatori di tensione non connessi al nodo di riferimento;
  4. Si applica la LKC ai nodi e ai supernodi escludendo il nodo di riferimento e i nodi connessi al riferimento tramite uno o più generatori di tensione;
  5. Si applica la LKT alle maglie che contengono i supernodi;
  6. Si esprimono le correnti nei resistori in funzione delle tensioni nodali;
  7. Si aggiungono i vincoli imposti dai generatori di tensione collegati tra il nodo di riferimento e gli altri nodi;
  8. Si risolve il sistema di equazioni ottenuto, ricavando le tensioni di nodo.