Analisi Nodale: Caso Base

Iniziamo il nostro studio dell'Analisi Nodale, una delle tecniche più importanti per l'analisi dei circuiti elettrici che sfrutta in maniera sistematica la LKC (Legge di Kirchhoff delle Correnti).

Attraverso di essa, le tensioni del circuito in esame diventano le incognite del sistema e le correnti che scorrono nei resistori vengono espresse in funzione di queste tensioni. Questo approccio permette di risolvere circuiti complessi in modo sistematico e organizzato.

In questa prima lezione, ci concentreremo sul caso base dell'analisi nodale, limitandoci a circuiti composti esclusivamente da Resistori e Generatori Indipendenti di Corrente. In seguito, vedremo come estendere il metodo a circuiti più complessi che includono anche Generatori Indipendenti di Tensione e Generatori Dipendenti.

Concetti Chiave

L'Analisi Nodale è una tecnica fondamentale per l'analisi dei circuiti elettrici che sfrutta la LKC.
Le Tensioni di Nodo diventano le incognite del sistema, permettendo di esprimere le correnti nei resistori in funzione di queste tensioni.
Il metodo è applicabile inizialmente a circuiti con Resistori e Generatori Indipendenti di Corrente.
La scelta di un Nodo di Riferimento è cruciale per semplificare l'analisi.
Il sistema di equazioni ottenuto ha una forma generale che può essere risolta per trovare le tensioni di nodo.

Analisi Nodale: Caso Base

Iniziamo il nostro studio delle tecniche di Analisi Nodale partendo da una prima formulazione parziale che restringe i circuiti studiati al caso di circuiti che contengono esclusivamente Generatori Indipendenti di Corrente e Resistori. Nelle prossime lezioni, invece, vedremo come estendere il metodo a circuiti più complessi, che contengono anche Generatori Indipendenti di Tensione e Generatori Dipendenti.

Per capire come funziona l'analisi nodale partiamo da un semplice circuito composto da quattro nodi. Il circuito è mostrato nella figura che segue:

**Figura 1:** Circuito di Esempio per l'Analisi Nodale

Se osserviamo bene la topologia del circuito notiamo che esso è composto da 3 nodi:

$n_1$ : è il nodo a cui sono collegati i due resistori da $2\,\Omega$ e il primo generatore di corrente;
$n_2$ : è il nodo a cui sono collegati il resistore da $2\,\Omega$ , il resistore di $4\,\Omega$ e il secondo generatore di corrente;
$n_3$ : è il nodo a cui sono collegati i morsetti di tutti i bipoli tranne il resistore in alto da $2\,\Omega$ .

Per semplicità, evidenziamo il nodo 3:

**Figura 2:** Circuito di Esempio: Nodo 3 evidenziato

Adesso, sfruttando la LKC (Legge di Kirchhoff delle Correnti) scriviamo le equazioni che riguardano i tre nodi, prendendo con il segno positivo le correnti uscenti:

\begin{array}{llllrr} \text{nodo 1} &amp; -2 &amp; +i_1 &amp; +i_2 &amp; = &amp; 0\\ \text{nodo 2} &amp; -i_1 &amp; +i_3 &amp; -3 &amp; = &amp; 0\\ \text{nodo 3} &amp; -i_2 &amp; -i_3 &amp; +5 &amp; = &amp; 0\\ \end{array}

Abbiamo ottenuto un sistema composto da tre equazioni e tre incognite. Purtroppo però, le equazioni che compongono questo sistema sono linearmente dipendenti, motivo per cui non possiamo risolvere il sistema così com'è.

Infatti, se proviamo a sommare le equazioni membro a membro, otteniamo l'identità $0=0$ :

Sommiamo la prima equazione alla seconda:

$\begin{array}{lllrr} -2 & +i_1 & +i_2 & = & 0\\ +i_2 & +i_3 & -5 & = & 0\\ -i_2 & -i_3 & +5 & = & 0\\ \end{array}$
Sommiamo, poi, la nuova seconda equazione alla terza:

$\begin{array}{llllrr} -2 & +i_1 & +i_2 & = & 0\\ +i_2 & +i_3 & -5 & = & 0\\ & & 0 & = & 0\\ \end{array}$

Del resto, se abbiamo $n$ nodi, applicando solo la LKC possiamo ottenere solo $n-1$ equazioni indipendenti. Quindi scartiamo la terza equazione:

\begin{array}{llllrr} \text{nodo 1} &amp; -2 &amp; +i_1 &amp; +i_2 &amp; = &amp; 0\\ \text{nodo 2} &amp; -i_1 &amp; +i_3 &amp; -3 &amp; = &amp; 0 \end{array}

Il problema, adesso, è che abbiamo solo due equazioni ma le incognite sono tre. Per risolvere questo sistema possiamo sfruttare la LKT (Legge di Kirchhoff delle Tensioni) per ridurre il numero di incognite da tre a due, rimuovendo un'incognita. Questa è la tecnica alla base del metodo dell'Analisi Nodale.

Prima, però, di mostrare direttamente il metodo, procediamo manualmente.

Consideriamo le tensioni presenti nel circuito, ma lo facciamo in modo particolare. Per prima cosa, scegliamo un nodo di riferimento, ossia un nodo rispetto al quale esprimiamo le altre tensioni. In questo caso scegliamo il nodo 3.

Poi, consideriamo le tensioni presenti tra gli altri nodi e quello di riferimento. A queste tensioni diamo il nome di Tensioni di Nodo. Per chiarire, guardiamo la figura in cui abbiamo evidenziato le tensioni di nodo:

**Figura 3:** Circuito di Esempio: Tensioni Nodali evidenziate

La tensione $v_1$ è la tensione di nodo del nodo 1, in quanto è la tensione tra il nodo 1 e il nodo di riferimento;
Allo stesso modo, $v_2$ è la tensione di nodo del nodo 2, in quanto è la tensione tra il nodo 2 e il nodo di riferimento;
La tensione $v_{12}$ , invece, non è una tensione di nodo, in quanto è la tensione tra due nodi che non sono di riferimento.

Se, sfruttando la LKT, esprimiamo le correnti in base a queste tensioni, otteniamo:

i_2 = \frac{v_1}{2\,\Omega}

i_3 = \frac{v_2}{4\,\Omega}

i_1 = \frac{v_{12}}{2\,\Omega}

Ma sappiamo che $v_{12} = v_1 - v_2$ , cioè la tensione tra nodo 1 e nodo 2 può essere espressa in termini delle altre tensioni di nodo. Per cui:

i_1 = \frac{v_1 - v_2}{2\,\Omega}

Quindi, abbiamo espresso tutte le correnti in base alle tensioni di nodo del circuito: $v_1$ e $v_2$ .

Adesso che abbiamo ottenuto due sole incognite, possiamo sostituire le espressioni trovate nelle due equazioni LKC dei nodi 1 e 2:

\begin{cases} -2 &amp; +i_1 &amp; +i_2 &amp; = &amp; 0\\ -i_1 &amp; +i_3 &amp; -3 &amp; = &amp; 0 \end{cases} \quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad \begin{cases} -2 &amp; +\frac{v_1 - v_2}{2\,\Omega} &amp; +\frac{v_1}{2\,\Omega} &amp; = &amp; 0\\ -\frac{v_1 - v_2}{2\,\Omega} &amp; +\frac{v_2}{4\,\Omega} &amp; -3 &amp; = &amp; 0 \end{cases}

Riscriviamo il sistema:

\begin{cases} v_1 &amp; -\frac{v_2}{2} &amp; = &amp; 2\\ -\frac{v_1}{2} &amp; +\frac{3 \cdot v_2}{4} &amp; = &amp; 3 \end{cases}

Adesso riscriviamo il sistema in forma matriciale:

\begin{bmatrix} 1 &amp; -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &amp; +\frac{3}{4} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}

A questo punto, possiamo risolvere il sistema applicando il metodo di Cramer.

Per cui, la prima tensione $v_1$ vale:

v_1 = \frac{ \begin{array}{|cc|} 2 &amp; -\frac{1}{2} \\ 3 &amp; \frac{3}{4} \end{array} }{ \begin{array}{|cc|} 1 &amp; -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &amp; \frac{3}{4} \end{array} }

v_1 = \frac{ 2 \cdot \frac{3}{4} - (-\frac{1}{2} \cdot 3) }{ \frac{3}{4} - (-\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2}) }

v_1 = \frac{ 3 } { \frac{1}{2} } = 6\,\text{V}

Mentre la seconda tensione $v_2$ vale:

v_2 = \frac{ \begin{array}{|cc|} 1 &amp; 2 \\ -\frac{1}{2} &amp; 3 \end{array} }{ \begin{array}{|cc|} 1 &amp; -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &amp; \frac{3}{4} \end{array} }

v_2 = \frac{ 3 + 1 }{ \frac{3}{4} - \frac{1}{4} }

v_2 = \frac{ 4 } { \frac{1}{2} } = 8 \, \text{V}

Dal momento che conosciamo sia $v_1$ che $v_2$ , possiamo calcolare anche la tensione $v_{12}$ :

v_{12} = v_1 - v_2 = 6 - 8 = -2\,\text{V}

E, di conseguenza, calcolare anche le tre correnti $i_1$ , $i_2$ e $i_3$ :

i_1 = \frac{v_{12}}{2\,\Omega} = -1 \,\text{A}

i_2 = \frac{v_1}{2\,\Omega} = 3\,\text{A}

i_3 = \frac{v_2}{4\,\Omega} = 2\,\text{A}

In altre parole, conoscendo il valore delle Tensioni di Nodo siamo stati in grado di calcolare tutte le altre variabili in gioco. Motivo per cui, le tensioni di nodo rappresentano le Variabili principali del sistema (e del circuito) ed è possibile risalire da esse a tutte le tensioni e a tutte le correnti.

Il procedimento che abbiamo seguito finora è una versione base dell'Analisi Nodale.

Analisi Nodale: Versione Base

Proviamo, adesso, a delineare il procedimento o algoritmo che abbiamo usato per risolvere il circuito e che può essere generalizzato:

Definizione

Analisi Nodale applicata a Circuiti con Generatori Indipendenti di Corrente e Resistori

L'Analisi Nodale applicata a circuiti composti esclusivamente da Generatori Indipendenti di Corrente e Resistori è un procedimento riassumibile nei seguenti passi:

Si sceglie un Nodo di Riferimento;
Si applica la LKC (Legge di Kirchhoff delle Correnti) a tutti i nodi, escluso il nodo di riferimento;
Si esprimono le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo con la legge di Ohm;
Si risolve il sistema lineare ottenuto.

Nota

Versione Base dell'Analisi Nodale

La versione di Analisi Nodale vista finora è una versione base. Infatti, tale versione non si può applicare nel caso in cui siano presenti Generatori Dipendenti e/o Generatori di Tensione. Studieremo la versione completa nelle prossime lezioni.

Adesso, però, rimane da affrontare un punto importante: come svolgiamo il punto 3 dell'algoritmo, ossia come esprimiamo le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo nel caso generale?

Correnti nei Resistori in funzione delle Tensioni di Nodo

Approfondiamo il passo 3 dell'algoritmo.

Quando vogliamo esprimere la corrente che attraversa un resistore del nostro circuito in base alle tensioni di nodo si possono verificare due casi.

Il resistore è connesso direttamente tra il nodo e il nodo di riferimento:

La situazione è mostrata nella figura che segue:

Figura 4: Corrente in un Resistore connesso al nodo di riferimento

In questo caso esprimere la corrente che scorre nel resistore è semplice ed è data dall'espressione:

$i_k = \pm \frac{v_j}{R_k}$

dove $R_k$ è la resistenza del k-esimo resistore mentre $v_j$ è la tensione di nodo del nodo j-esimo.

Il segno dipende ovviamente dal verso della corrente:
- Se la corrente esce dal nodo $j$ , attraversa il resistore ed entra nel nodo di riferimento la corrente va presa con segno positivo;
- Se la corrente esce dal nodo di riferimento ed entra nel nodo $j$ allora la corrente va presa con il segno negativo.
Anziché usare la resistenza $R_k$ , si può anche adoperare la conduttanza $G_k$ , per cui la formula diventa:

$i_k = \pm v_j \cdot G_k$
Il resistore è connesso tra due nodi che non sono di riferimento:

La situazione è mostrata nella figura che segue:

Figura 5: Corrente in un Resistore non connesso al nodo di riferimento

In questo caso abbiamo un resistore connesso tra i nodi $n_a$ e $n_b$ . Per esprimere la corrente che scorre nel resistore in funzione delle tensioni di nodo, dobbiamo considerare la tensione tra i due nodi, ossia $v_a - v_b$ .

Allora in tal caso l'espressione della corrente diventa:

$i_k = \frac{v_a - v_b}{R_k} = (v_a - v_b) \cdot G_k$

Quando scriviamo questa espressione, il verso della corrente è sempre quello che va dal nodo che consideriamo come nodo con tensione positiva verso il nodo che consideriamo come nodo con tensione negativa (ma non è detto che $v_a$ sia maggiore di $v_b$ ).

Nodo di Riferimento o Massa

Quando si applica l'analisi nodale, è necessario scegliere un nodo di riferimento. Non esistono vincoli su quale nodo debba essere scelto come nodo di riferimento, ma è buona norma scegliere un nodo che sia collegato a un numero maggiore di resistori. In questo modo si semplifica l'espressione delle correnti che attraversano i resistori.

Tale nodo di riferimento viene spesso chiamato Nodo 0 o, in maniera impropria, Massa o Terra. Infatti, il nodo di riferimento viene considerato come un nodo a potenziale zero, per cui le tensioni di nodo sono espresse rispetto a questo nodo.

Negli schemi elettrici, il nodo di riferimento viene spesso rappresentato con un simbolo particolare, come mostrato nella figura che segue:

Figura 6: Simbolo della Massa

Inoltre, negli schemi professionali, si evita di disegnare i rami del circuito che collegano il nodo di riferimento agli altri nodi, ma banalmente si ripete il simbolo del nodo di riferimento per indicare che i nodi sono collegati tra loro. In questo modo si semplifica la lettura dello schema.

Ad esempio, riprendendo il circuito di esempio con il nodo di riferimento, otteniamo:

**Figura 7:** Circuito di Esempio con la replicazione del Nodo di Riferimento

Forma Generale

Quando si applica l'analisi nodale si ottiene un sistema di equazioni lineari che ha la forma seguente:

\begin{bmatrix} G_{11} &amp; G_{12} &amp; \cdots &amp; G_{1n} \\ G_{21} &amp; G_{22} &amp; \cdots &amp; G_{2n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ G_{n1} &amp; G_{n2} &amp; \cdots &amp; G_{nn} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ \vdots \\ i_n \end{bmatrix}

In questo sistema $n$ è il numero di nodi del circuito, escluso il nodo di riferimento, e i termini $G_{ij}$ rappresentano delle conduttanze che si misurano in Sìemens (S).

che può essere riscritta in forma compatta come:

\mathcal{G} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{i}

In questo caso $\mathcal{G}$ prende il nome di matrice delle conduttanze di nodo e $\mathbf{v}$ è il vettore delle tensioni di nodo, ossia il vettore delle incognite del sistema.