Velocità Vettoriale Media

Concetti Chiave

  • La velocità media è definita come il rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:

    \vec{\mathbf{\overline{v}}} = \frac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t}

  • Essendo il rapporto tra un vettore e uno scalare, la velocità media è una grandezza vettoriale.

  • Il modulo della velocità vettoriale media rappresenta la velocità scalare media del punto materiale durante l'intervallo di tempo \Delta t e può essere calcolato come:

    \overline{v} = |\vec{\mathbf{\overline{v}}}|

Velocità Vettoriale Media

La velocità, da un punto di vista informale, può essere definita come quella grandezza fisica che esprime quanto rapidamente un corpo si sposta nello spazio. Più tale grandezza è elevata, più il corpo percorre distanze maggiori in un intervallo di tempo fissato.

Per dare la definizione di velocità, ci si riferisce alla sua misura indiretta, ossia al rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo.

Pertanto, possiamo calcolare la velocità una volta che conosciamo la legge oraria del moto. Intuitivamente, questo è ovvio dal momento che se conosciamo la legge oraria allora conosciamo punto per punto la posizione del corpo in ogni istante di tempo e quindi abbiamo tutte le informazioni del moto.

Quindi, consideriamo un punto materiale che si muove secondo una certa legge oraria:

\vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}}(t)

dove \vec{\mathbf{r}} è il vettore posizione del punto materiale e t è il tempo.

Se consideriamo due istanti di tempo t_1 e t_2 (con t_2 > t_1), possiamo definire la velocità vettoriale media del punto materiale nell'intervallo di tempo [t_1, t_2] come:

\vec{\mathbf{\overline{v}}} = \frac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t} = \frac{\vec{\mathbf{r}}(t_2) - \vec{\mathbf{r}}(t_1)}{t_2 - t_1}

Se osserviamo bene, la velocità media risulta dal rapporto tra un vettore, \Delta \vec{\mathbf{r}}, e uno scalare, \Delta t. Pertanto, la velocità media è una grandezza vettoriale a sua volta.

Possiamo scomporre la velocità media in tre componenti, una per ciascun asse del sistema di riferimento scelto:

\begin{cases} \overline{v}_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \\ \overline{v}_y = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1} \\ \overline{v}_z = \frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{z(t_2) - z(t_1)}{t_2 - t_1} \end{cases}

Le singole componenti rappresentano anche le velocità medie con cui le proiezioni del punto materiale si spostano lungo gli assi x, y e z rispettivamente.

Se prendiamo in considerazione una singola componente, ad esempio \overline{v}_x, notiamo che essa è consistente con la definizione di velocità media lungo l'asse x vista nel caso unidimensionale.

Un'importante osservazione da fare riguarda il fatto che la velocità media è un vettore che ha stessa direzione e verso della variazione del vettore posizione \Delta \vec{\mathbf{r}}, ossia del vettore spostamento.

Definizione

Velocità Vettoriale Media

La velocità vettoriale media di un punto materiale il cui spostamento durante l'intervallo di tempo \Delta t è descritto dal vettore \Delta \vec{\mathbf{r}}, è definita come:

\vec{\mathbf{\overline{v}}} = \frac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t}

Tale vettore ha origine nel punto in cui ha origine il vettore spostamento e ha la sua stessa direzione e verso.

Velocità Scalare Media

Il modulo della velocità vettoriale media rappresenta la velocità scalare media del punto materiale durante l'intervallo di tempo \Delta t e può essere calcolato come:

\overline{v} = \frac{|\Delta \vec{\mathbf{r}}|}{\Delta t}

Scomponendo il vettore spostamento in componenti, otteniamo:

\overline{v} = \frac{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}{\Delta t}

Da notare che la velocità scalare media è sempre una quantità positiva, in quanto il modulo di un vettore è sempre positivo.

Nel linguaggio comune, quando si parla di velocità, ci si riferisce quasi sempre alla velocità scalare media. Tuttavia, in fisica è importante fare distinzione tra velocità scalare e velocità vettoriale, in quanto la prima non tiene conto della direzione del moto, mentre la seconda sì.

Questa ambiguità non si presenta, ad esempio, in altre lingue come l'inglese, dove si usa il termine speed per indicare la velocità scalare e velocity per indicare la velocità vettoriale.

Definizione

Velocità Scalare Media

La velocità scalare media di un punto materiale il cui spostamento durante l'intervallo di tempo \Delta t è descritto dal vettore \Delta \vec{\mathbf{r}}, è definita come:

\overline{v} = \frac{|\Delta \vec{\mathbf{r}}|}{\Delta t} = |\vec{\mathbf{\overline{v}}}|

Questa è una quantità sempre maggiore o uguale di zero.

Esempi

Vediamo ora alcuni esempi di calcolo della velocità media.

Esempio

Esempio 1

Un punto materiale si muove nel piano secondo la legge oraria:

\begin{cases} x(t) & = & 2t & \text{m} \\ y(t) & = & 2t + 1 & \text{m} \end{cases}

Calcoliamo la velocità media del punto materiale nell'intervallo di tempo [0.0, 5.0] \,\text{s}.

Calcoliamo, dapprima, la posizione del punto materiale al tempo t = 0.0 \,\text{s}. Tale posizione sarà indicata dal vettore posizione \vec{\mathbf{r}_1}:

\vec{\mathbf{r}_1} = \begin{cases} x(0) & = & 2 \cdot 0 & \text{m} \\ y(0) & = & 2 \cdot 0 + 1 & \text{m} \end{cases}
= 1 \cdot \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

Usando la notazione vettoriale, possiamo scrivere:

\vec{\mathbf{r}_1} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right] \,\text{m}

Ora calcoliamo la posizione del punto materiale al tempo t = 5.0 \,\text{s}. Tale posizione sarà indicata dal vettore posizione \vec{\mathbf{r}_2}:

\vec{\mathbf{r}_2} = \begin{cases} x(5) & = & 2 \cdot 5 & \text{m} \\ y(5) & = & 2 \cdot 5 + 1 & \text{m} \end{cases}
= 10 \cdot \hat{\mathbf{i}} + 11 \cdot \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

Usando la notazione vettoriale, possiamo scrivere:

\vec{\mathbf{r}_2} = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ 11 \end{array} \right] \,\text{m}

Il vettore spostamento del punto materiale durante l'intervallo di tempo [0.0, 5.0] \,\text{s} è dato da:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}_2} - \vec{\mathbf{r}_1}
= \left[ \begin{array}{c} 10 \\ 11 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right] \,\text{m}
= \left[ \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right] \,\text{m}

Il vettore spostamento è rappresentato nella figura sottostante:

Esempio 1: Vettore Spostamento
Figura 1: Esempio 1: Vettore Spostamento

Lo spostamento medio del punto materiale durante l'intervallo di tempo [0.0, 5.0] \,\text{s} è data da:

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = \sqrt{(10)^2 + (10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \approx 14.14 \,\text{m}

Quindi il punto materiale si è spostato di circa 14.14 \,\text{m} durante l'intervallo di tempo [0.0, 5.0] \,\text{s}.

La velocità media del punto materiale durante l'intervallo di tempo [0.0, 5.0] \,\text{s} è quindi:

\vec{\mathbf{\overline{v}}} = \frac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t} = \frac{\left[ \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right]}{5.0 - 0.0} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right] \,\text{m/s}

La velocità media è rappresentata nella figura sottostante:

Esempio 1: Velocità Vettoriale Media
Figura 2: Esempio 1: Velocità Vettoriale Media

La velocità scalare media del punto materiale durante l'intervallo di tempo [0.0, 5.0] \,\text{s} è:

\overline{v} = |\vec{\mathbf{\overline{v}}}| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83 \,\text{m/s}
Esempio

Esempio 2

Un punto materiale si muove nel piano secondo la legge oraria:

\begin{cases} x(t) & = & 2t^2 & \text{m} \\ y(t) & = & 3t^3 + 1 & \text{m} \end{cases}

Calcoliamo la velocità media del punto materiale nell'intervallo di tempo [1.0, 3.0] \,\text{s}.

Calcoliamo, dapprima, la posizione del punto materiale al tempo t = 1.0 \,\text{s}. Tale posizione sarà indicata dal vettore posizione \vec{\mathbf{r}_1}:

\vec{\mathbf{r}_1} = \begin{cases} x(1) & = & 2 \cdot 1^2 & \text{m} \\ y(1) & = & 3 \cdot 1^3 + 1 & \text{m} \end{cases}
= \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right] \,\text{m}

Ora calcoliamo la posizione del punto materiale al tempo t = 3.0 \,\text{s}. Tale posizione sarà indicata dal vettore posizione \vec{\mathbf{r}_2}:

\vec{\mathbf{r}_2} = \begin{cases} x(3) & = & 2 \cdot 3^2 & \text{m} \\ y(3) & = & 3 \cdot 3^3 + 1 & \text{m} \end{cases}
= \left[ \begin{array}{c} 18 \\ 82 \end{array} \right] \,\text{m}

Il vettore spostamento del punto materiale durante l'intervallo di tempo [1.0, 3.0] \,\text{s} è dato da:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}_2} - \vec{\mathbf{r}_1}
= \left[ \begin{array}{c} 18 \\ 82 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right] \,\text{m}
= \left[ \begin{array}{c} 16 \\ 78 \end{array} \right] \,\text{m}

Di seguito è riportato in figura il vettore spostamento:

Esempio 2: Vettore Spostamento
Figura 3: Esempio 2: Vettore Spostamento

La distanza media percorsa dal punto materiale durante l'intervallo di tempo [1.0, 3.0] \,\text{s} è data da:

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = \sqrt{(16)^2 + (78)^2} = \sqrt{256 + 6084} = \sqrt{6336} \approx 79.6 \,\text{m}

Quindi il punto materiale si è spostato di circa 79.6 \,\text{m} durante l'intervallo di tempo [1.0, 3.0] \,\text{s}.

La velocità media del punto materiale durante l'intervallo di tempo [1.0, 3.0] \,\text{s} è quindi:

\vec{\mathbf{\overline{v}}} = \frac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t} = \frac{\left[ \begin{array}{c} 16 \\ 78 \end{array} \right]}{3.0 - 1.0} = \left[ \begin{array}{c} 8 \\ 39 \end{array} \right] \,\text{m/s}

Di seguito è riportata in figura la velocità media:

Esempio 2: Velocità Vettoriale Media
Figura 4: Esempio 2: Velocità Vettoriale Media

La velocità scalare media del punto materiale durante l'intervallo di tempo [1.0, 3.0] \,\text{s} è:

\overline{v} = |\vec{\mathbf{\overline{v}}}| = \sqrt{(8)^2 + (39)^2} = \sqrt{64 + 1521} = \sqrt{1585} \approx 39.8 \,\text{m/s}
Esempio

Esempio 3

Supponiamo di avere un robot che si muove orizzontalmente, quindi su di un piano, e che si muove seguendo una traiettoria descritta dalla seguente legge oraria:

\begin{cases} x(t) & = & 2.0 - 0.25 \cdot t^2 & \text{m} \\ y(t) & = & 1.0 \cdot t + 0.025 \cdot t^3 & \text{m} \end{cases}

Vogliamo calcolare la velocità media del robot durante l'intervallo di tempo [0.0, 2.0] \,\text{s}.

Per prima cosa, calcoliamo la posizione del robot al tempo t = 0.0 \,\text{s}. Tale posizione sarà indicata dal vettore posizione \vec{\mathbf{r}_1}:

\vec{\mathbf{r}_1} = x(0) \hat{\mathbf{i}} + y(0) \hat{\mathbf{j}}
= \left(2.0 \hat{\mathbf{i}} + 0.0 \hat{\mathbf{j}}\right) \,\text{m} = \left(2.0 \hat{\mathbf{i}}\right) \,\text{m}

Ora calcoliamo la posizione del robot al tempo t = 2.0 \,\text{s}. Tale posizione sarà indicata dal vettore posizione \vec{\mathbf{r}_2}:

\vec{\mathbf{r}_2} = x(2) \hat{\mathbf{i}} + y(2) \hat{\mathbf{j}}
= \left(2.0 - 0.25 \cdot 2^2\right) \hat{\mathbf{i}} + \left(1.0 \cdot 2 + 0.025 \cdot 2^3\right) \hat{\mathbf{j}}
= \left(2.0 - 1.0\right) \hat{\mathbf{i}} + \left(2.0 + 0.2\right) \hat{\mathbf{j}}
= \left(1.0 \hat{\mathbf{i}} + 2.2 \hat{\mathbf{j}}\right) \,\text{m}

Il vettore spostamento del robot durante l'intervallo di tempo [0.0, 2.0] \,\text{s} è dato da:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}_2} - \vec{\mathbf{r}_1}
= -1.0 \hat{\mathbf{i}} + 2.2 \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

La distanza media percorsa dal robot durante l'intervallo di tempo [0.0, 2.0] \,\text{s} è data da:

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = \sqrt{(-1.0)^2 + (2.2)^2} = \sqrt{1.0 + 4.84} = \sqrt{5.84} \approx 2.42 \,\text{m}

Quindi il robot si è spostato di circa 2.42 \,\text{m} durante l'intervallo di tempo [0.0, 2.0] \,\text{s}.

La velocità media del robot durante l'intervallo di tempo [0.0, 2.0] \,\text{s} è quindi:

\vec{\mathbf{\overline{v}}} = \frac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t} = \frac{-1.0 \hat{\mathbf{i}} + 2.2 \hat{\mathbf{j}}}{2.0 - 0.0}
= -0.5 \hat{\mathbf{i}} + 1.1 \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m/s}

Il modulo della velocità media del robot durante l'intervallo di tempo [0.0, 2.0] \,\text{s} è:

\overline{v} = |\vec{\mathbf{\overline{v}}}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (1.1)^2} = \sqrt{0.25 + 1.21} = \sqrt{1.46} \approx 1.21 \,\text{m/s}

Graficamente il vettore spostamento è rappresentato nella figura sottostante:

Esempio 3: Vettore di Spostamento tra l'istante t = 0 e l'istante t = 2
Figura 5: Esempio 3: Vettore di Spostamento tra l'istante t = 0 e l'istante t = 2

Analogamente la velocità vettoriale media è rappresentata nella figura sottostante:

Esempio 3: Velocità vettoriale media tra l'istante t = 0 e l'istante t = 2
Figura 6: Esempio 3: Velocità vettoriale media tra l'istante t = 0 e l'istante t = 2

Come si può osservare, il vettore velocità media ha la stessa direzione e verso del vettore spostamento.