Posizione e Spostamento nello Spazio

Concetti Chiave

La posizione di un corpo materiale è definita rispetto a un sistema di riferimento ed è descritta da un vettore posizione:

$\vec{\mathbf{r}} = x\hat{\mathbf{i}} + y \hat{\mathbf{j}} + z \hat{\mathbf{k}}$
Il vettore posizione, nel caso a tre dimensioni, è definito da tre coordinate $(x,y,z)$ rispetto a un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale $Oxyz$ .
Lo spostamento di un corpo materiale è definito come la differenza tra il vettore posizione finale e il vettore posizione iniziale:

$\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}}_2 - \vec{\mathbf{r}}_1$

Vettore Posizione

Per poter essere in grado di descrivere il moto di un punto materiale nello spazio, dobbiamo prima essere in grado di descrivere la sua posizione.

Fissiamo, dapprima, un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale, definito da tre assi ortogonali tra loro, che indichiamo con $Oxyz$ e che ha origine nel punto $O$ :

**Figura 1:** Sistema di Riferimento nello Spazio

Consideriamo un punto materiale che si trova in un punto $P$ dello spazio. Questo punto $P$ ha le coordinate $x$ , $y$ e $z$ rispetto al sistema di riferimento $Oxyz$ . La posizione del punto $P$ è quindi definita dalle sue coordinate $(x,y,z)$ :

**Figura 2:** Punto materiale P nel sistema di riferimento

Il vettore posizione del punto materiale in questione è quel vettore che ha origine nell'origine del sistema di riferimento $O$ e punta verso il punto $P$ . Il vettore posizione è quindi definito come:

\vec{\mathbf{r}} = x\hat{\mathbf{i}} + y \hat{\mathbf{j}} + z \hat{\mathbf{k}}

In questo caso abbiamo scomposto il vettore posizione utilizzando i versori $\hat{\mathbf{i}}$ , $\hat{\mathbf{j}}$ e $\hat{\mathbf{k}}$ , che sono i versori degli assi $x$ , $y$ e $z$ rispettivamente.

Per chiarire il tutto basta osservare la figura sottostante:

Definizione

Vettore Posizione

Dato un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale $Oxyz$ e un punto $P$ con coordinate $(x,y,z)$ , il vettore posizione del punto $P$ è definito come:

\vec{\mathbf{r}} = x\hat{\mathbf{i}} + y \hat{\mathbf{j}} + z \hat{\mathbf{k}}

Spostamento

Quando un punto materiale si muove nello spazio, il suo vettore posizione cambia in modo tale che esso abbia sempre origine nell'origine del sistema di riferimento $O$ e punta verso il punto $P$ .

Se consideriamo un intervallo di tempo $\Delta t$ , all'inizio di questo intervallo il punto materiale si trova nella posizione $P_1$ , individuata dal vettore posizione $\vec{\mathbf{r}}_1$ , e alla fine dell'intervallo di tempo $\Delta t$ si trova nella posizione $P_2$ , individuata dal vettore posizione $\vec{\mathbf{r}}_2$ .

Il cambiamento di posizione durante tale intervallo, o meglio, lo spostamento del punto materiale è definito come la differenza tra il vettore posizione finale e il vettore posizione iniziale. Per cui, possiamo scrivere:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}}_2 - \vec{\mathbf{r}}_1

Questa differenza è anch'essa un vettore, che ha origine nel punto $P_1$ e punta verso il punto $P_2$ . Il vettore $\Delta \vec{\mathbf{r}}$ è quindi definito come:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = (x_2 - x_1) \hat{\mathbf{i}} + (y_2 - y_1) \hat{\mathbf{j}} + (z_2 - z_1) \hat{\mathbf{k}}

In pratica, le componenti del vettore spostamento sono date dalle differenze tra le componenti del vettore posizione finale e quelle del vettore posizione iniziale. L'importante differenza tra il vettore posizione e il vettore spostamento è che il primo ha origine nell'origine del sistema di riferimento, mentre il secondo ha origine nel punto $P_1$ e punta verso il punto $P_2$ . Il tutto è illustrato nella figura sottostante:

Definizione

Vettore Spostamento

Dato un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale $Oxyz$ e due punti $P_1$ e $P_2$ con coordinate $(x_1,y_1,z_1)$ e $(x_2,y_2,z_2)$ , il vettore spostamento del punto materiale che si muove da $P_1$ a $P_2$ è definito come:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = (x_2 - x_1) \hat{\mathbf{i}} + (y_2 - y_1) \hat{\mathbf{j}} + (z_2 - z_1) \hat{\mathbf{k}}

Tale vettore ha origine nel punto $P_1$ e punta verso il punto $P_2$ .

Un'importante proprietà del vettore spostamento è che esso ci fornisce informazioni sulla distanza percorsa dal punto materiale durante il suo moto. Infatti, il modulo del vettore spostamento è dato da:

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Il modulo del vettore spostamento rappresenta la distanza media percorsa dal punto materiale durante l'intervallo di tempo $\Delta t$ . In altre parole, il modulo del vettore spostamento è la lunghezza del segmento che unisce i punti $P_1$ e $P_2$ .

Esempio

Mettiamo insieme i concetti appena visti e consideriamo un esempio pratico.

Supponiamo di avere un robot con ruote che si muove, per semplicità, in un piano. Su questo piano abbiamo un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale $Oxy$ e il robot si muove seguendo una traiettoria descritta dalle seguenti equazioni parametriche:

\begin{align*} x(t) &amp; = &amp; -0.31 \cdot t^2 + 7.2 \cdot t + 28 \quad \text{m}\\ y(t) &amp; = &amp; 0.22 \cdot t^2 - 9.1 \cdot t + 30 \quad \text{m} \end{align*}

Come si può osservare, le equazioni sono espresse in funzione del tempo $t$ e quindi possiamo calcolare la posizione del robot in qualsiasi istante di tempo. Il vettore posizione del robot è quindi dato da:

\vec{\mathbf{r}}(t) = x(t) \hat{\mathbf{i}} + y(t) \hat{\mathbf{j}}

Per cui, anche il vettore posizione del robot è una funzione del tempo.

Quindi, proviamo a calcolare la posizione del robot all'istante $t = 0.0$ s e all'istante $t = 15.0$ s.

Per il primo istante di tempo, otteniamo:

\begin{align*} x(0.0) &amp; = &amp; -0.31 \cdot (0.0)^2 + 7.2 \cdot (0.0) + 28 = 28 \quad \text{m}\\ y(0.0) &amp; = &amp; 0.22 \cdot (0.0)^2 - 9.1 \cdot (0.0) + 30 = 30 \quad \text{m} \end{align*}

Quindi, la posizione del robot all'istante $t = 0.0$ s è data dalle coordinate $(28,30)$ e il vettore posizione è:

\vec{\mathbf{r}}_1 = 28 \hat{\mathbf{i}} + 30 \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

Adesso, proviamo a calcolare la posizione del robot all'istante $t = 15.0$ s:

\begin{align*} x(15.0) &amp; = &amp; -0.31 \cdot (15.0)^2 + 7.2 \cdot (15.0) + 28 = 66.25 \quad \text{m}\\ y(15.0) &amp; = &amp; 0.22 \cdot (15.0)^2 - 9.1 \cdot (15.0) + 30 = -57.0 \quad \text{m} \end{align*}

Quindi, la posizione del robot all'istante $t = 15.0$ s è data dalle coordinate $(66.25,-57.0)$ e il vettore posizione è:

\vec{\mathbf{r}}_2 = 66.25 \hat{\mathbf{i}} - 57.0 \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

Ora, calcoliamo il vettore spostamento del robot durante l'intervallo di tempo $\Delta t = 15.0$ s:

\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}}_2 - \vec{\mathbf{r}}_1

\Delta \vec{\mathbf{r}} = (66.25 - 28) \hat{\mathbf{i}} + (-57.0 - 30) \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

\Delta \vec{\mathbf{r}} = 38.25 \hat{\mathbf{i}} - 87.0 \hat{\mathbf{j}} \quad \text{m}

Rappresentando graficamente il tutto, otteniamo:

**Figura 5:** Problema di Esempio: Vettori posizione e Vettore Spostamento

Proviamo ora a calcolare il modulo del vettore spostamento:

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = \sqrt{38.25^2 + (-87)^2}

|\Delta \vec{\mathbf{r}}| = 95.03 \quad \text{m}

In altre parole, il robot ha percorso una distanza media di $95.03$ m durante l'intervallo di tempo $\Delta t = 15.0$ s.

Avendo disponibili le equazioni parametriche del moto del robot, possiamo disegnarne la traiettoria, ossia l'insieme dei punti $P$ che il robot ha occupato durante il suo moto. Nella pratica, si tratta di tracciare, al variare di $t$ , il punto $P$ che ha coordinate $(x(t),y(t))$ .

Il risultato è mostrato nella figura sottostante:

**Figura 6:** Problema di Esempio: Traiettoria del Robot

Nella figura si può osservare che il robot ha percorso una traiettoria dove sono marcate le posizioni a diversi istanti di tempo.

Sebbene lo spostamento del robot da $0 \, \text{s}$ a $15 \, \text{s}$ sia di $95.03 \, \text{m}$ , la traiettoria percorsa dal robot è molto più lunga. Per questo si parla di distanza media. Torneremo su questo argomento quando parleremo di velocità e accelerazione.