Gruppi Finiti

Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto la definizione di Gruppo in algebra e abbiamo dimostrato le proprietà elementari.

Grande importanza nelle applicazioni scientifiche e tecnologiche rivestono i Gruppi Finiti, ossia quei gruppi il cui insieme è composto da un insieme finito di elementi.

In questa lezione ci concentreremo sul concetto di gruppo finito, ordine di un gruppo e come rappresentarli in forma tabellare.

Gruppi Finiti

Partiamo dalla definizione di gruppo finito:

Una semplice classe di gruppi finiti è quella dei gruppi additivi di interi modulo . In questa lezione ne vedremo un introduzione informale rimandando la trattazione formale a lezioni successive.

Per comprendere meglio, prendiamo ad esempio il gruppo additivo di interi modulo . Questo gruppo è composto da sei elementi:

Su di esso definiamo l'operazione binaria di somma modulo . Per capire come funziona guardiamo la figura che segue:

In questa figura abbiamo disposto i sei elementi del gruppo negli spicchi di un cerchio. Per effettuare la somma modulo 6 di due numeri e basta partire dallo spicchio che contiene e muoversi in senso orario di spicchi. Il risultato della somma è il numero contenuto nello spicchio in cui ci si ferma.

Ad esempio, se proviamo a sommare e otteniamo :

Possiamo verificare che questo insieme con l'operazione binaria di somma modulo soddisfa tutte le proprietà di un gruppo.

• Chiusura: la somma di due numeri interi modulo è ancora un numero intero modulo ;
• Associatività: da semplici considerazioni geometriche possiamo verificare che la somma modulo è associativa;
• Elemento Neutro: l'elemento neutro è ;
• Elemento Inverso: per ogni numero esiste un numero che sommato ad esso ci porta in posizione .

L'insieme con l'operazione binaria di somma modulo così definita prende il nome di gruppo additivo di interi modulo e si indica con la notazione .

In generale possiamo definire un gruppo di interi modulo come:

Il numero di elementi che compone un gruppo finito è una proprietà molto importante e prende il nome di ordine di un gruppo:

Tabella di Cayley o Tabella Moltiplicativa

Quando abbiamo a che fare con un gruppo finito risulta spesso conveniente rappresentare l'operazione binaria in forma tabellare, in modo da poter visualizzare in maniera più chiara le proprietà del gruppo.

Ad esempio, consideriamo il gruppo finito con e il cui insieme è .

La Tabella di Cayley o Tabella Moltiplicativa di un gruppo finito è una tabella quadrata di dimensione in cui le righe e le colonne sono etichettate con gli elementi del gruppo e le celle contengono il risultato dell'operazione binaria :

Questa tabella prende il nome dal matematico britannico Arthur Cayley che la introdusse nel 1854.

In generale:

Ritornando all'esempio introdotto sopra del gruppo additivo di interi modulo , la Tabella di Cayley di è la seguente:

Da questa tabella possiamo evincere alcune proprietà molto interessanti.

• Per prima cosa si può osservare che l'elemento è effettivamente l'elemento neutro in quanto la somma di con qualsiasi altro numero ci restituisce lo stesso numero. Questo è evidenziato dalla riga e dalla colonna etichettate con ;
• Inoltre, possiamo osservare che ogni elemento ha un elemento inverso. Per trovare l'elemento inverso di un numero basta cercare nella riga etichettata con la colonna etichettata con e viceversa. Ad esempio, l'inverso di è stesso, l'inverso di è , l'inverso di è e così via.

In generale, la Tabella di Cayley di un gruppo finito ci permette di visualizzare in maniera molto chiara le proprietà del gruppo e di individuare facilmente l'elemento neutro e l'inverso di ogni elemento.

Inoltre, è facilmente dimostrabile che se il gruppo in questione è abeliano, ossia se l'operazione binaria è commutativa, allora la Tabella di Cayley è simmetrica rispetto alla diagonale principale.

Ritornando all'esempio di , possiamo osservare che la Tabella di Cayley è simmetrica rispetto alla diagonale principale:

In rosso è evidenziata la diagonale principale. Come si può vedere la tabella è simmetrica rispetto a questa diagonale. In questo modo abbiamo dimostrato che è un gruppo abeliano senza dover verificare esplicitamente la commutatività dell'operazione binaria.

Esempio

Consideriamo un esempio di gruppo finito non communtativo.

Prendiamo il gruppo composto dalle seguenti matrici:

Ora, adoperando la moltiplicazione di matrici come operazione binaria, otteniamo un gruppo finito di ordine .

Proviamo a costruire la Tabella di Cayley per questo gruppo:

Per prima cosa, sappiamo dall'algebra lineare che la moltiplicazione di matrici è associativa, quindi si tratta di un gruppo. Tuttavia, possiamo notare che la tabella non è simmetrica rispetto alla diagonale principale, il che implica che questo gruppo non è abeliano.

Inoltre, si nota facilmente che rappresenta l'elemento neutro, in quanto la moltiplicazione di qualsiasi matrice con restituisce la matrice stessa. Inoltre, ogni matrice ha un inverso, che può essere trovato cercando nella riga corrispondente alla matrice l'elemento neutro .

Quindi, abbiamo dimostrato che questo insieme di matrici con l'operazione di moltiplicazione forma un gruppo finito di ordine .

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto il concetto di gruppo finito, definendo l'ordine di un gruppo e presentando la Tabella di Cayley come strumento per rappresentare le operazioni binarie in modo chiaro e visivo.

Abbiamo visto come la Tabella di Cayley possa essere utilizzata per verificare le proprietà di un gruppo, come la presenza dell'elemento neutro e degli inversi, e come possa essere utile per identificare se un gruppo è abeliano o meno.

Inoltre, abbiamo presentato un esempio di gruppo finito non commutativo, dimostrando come la Tabella di Cayley possa essere utilizzata per verificare le proprietà del gruppo.

In conclusione, i gruppi finiti sono un concetto fondamentale in algebra moderna e la loro comprensione è essenziale per lo studio di strutture algebriche più complesse.

Nella prossima lezione, approfondiremo ulteriormente il concetto di gruppo e studieremo i sottogruppi, che sono gruppi contenuti all'interno di un altro gruppo. Questo ci permetterà di esplorare le relazioni tra i gruppi e le loro strutture interne.