Proprietà Elementari dei Gruppi

In questa lezione vedremo alcune proprietà fondamentali dei gruppi che derivano direttamente dalla loro definizione. Queste proprietà sono essenziali per comprendere il comportamento degli elementi all'interno di un gruppo e per dimostrare teoremi più complessi in algebra moderna.

Unicità dell'elemento neutro

Nella lezione precedente, abbiamo detto che dato un gruppo:

(G, \star)

deve esistere un elemento neutro, ossia un elemento $e \in G$ tale che per ogni $a \in G$ :

a \star e = e \star a = a

In altre parole, se viene utilizzato l'elemento neutro $e$ come operando dell'operazione binaria il risultato è sempre l'altro operando.

Quello che non abbiamo ancora stabilito è se esiste un solo elemento neutro oppure ce ne possono essere più d'uno.

Possiamo dimostrare, a partire dalla definizione stessa di gruppo, che se $(G, \star)$ è un gruppo allora l'elemento neutro è unico.

Definizione

L'elemento neutro di un gruppo è unico

Sia $(G, \star)$ un gruppo allora l'elemento neutro in esso contenuto è unico:

\exists ! e \in G \quad \text{tale che} \quad \forall a \in G \quad a \star e = e \star a = a

Proviamo a dimostrare questa affermazione.

Dimostrazione

Sia dato il gruppo:

(G, \star)

Supponiamo per assurdo che esistano due elementi neutri $e_1$ e $e_2$ tali che:

\forall a \in G

\begin{array}{l} a \star e_1 = e_1 \star a = a \\ a \star e_2 = e_2 \star a = a \end{array}

Poiché sono entrambi elementi neutri, possiamo scrivere:

e_1 \star e_2 = e_2

In quanto $e_1$ è un elemento neutro. Analogamente possiamo scrivere che:

e_1 \star e_2 = e_1

In quanto anche $e_2$ è un elemento neutro. Da ciò ne consegue che

e_1 = e_2

Quindi in ogni gruppo esiste esattamente un solo elemento neutro.

Unicità dell'inverso

Una seconda proprietà che deriva direttamente dalla definizione di gruppo è l'unicità dell'inverso:

Definizione

L'inverso di un elemento di un gruppo è unico

Sia $(G, \star)$ un gruppo allora l'inverso di un elemento $a \in G$ è unico:

\forall a \in G \quad \exists ! a^{-1} \in G \quad \text{tale che} \quad a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e

Anche questa affermazione può essere dimostrata a partire dalla definizione di gruppo utilizzando una dimostrazione per assurdo.

Dimostrazione

Sia dato il gruppo:

(G, \star)

Supponiamo per assurdo che esistano due elementi $a' \in G$ e $a'' \in G$ tali che entrambi siano l'inverso di $a \in G$ :

a' \star a = a \star a' = e

a'' \star a = a \star a'' = e

Consideriamo la seguente operazione:

a' \star a \star a''

Dal momento che $(G, \star)$ è un gruppo possiamo sfruttare l'associatività dell'operazione e scrivere:

\left( a' \star a \right) \star a'' =

Ma sappiamo che $a' \star a = e$ quindi possiamo scrivere:

e \star a'' = a''

Analogamente, sfruttando la proprietà associativa possiamo riscrivere l'operazione in questo modo:

a' \star \left( a \star a'' \right) =

Ma sappiamo che $a \star a'' = e$ quindi possiamo scrivere:

a' \star e = a'

Tuttavia le due operazioni che abbiamo appena svolto sono equivalenti, quindi:

\left( a' \star a \right) \star a'' = a' \star \left( a \star a'' \right)

Da ciò ne consegue che:

a'' = a'

Quindi in ogni gruppo esiste esattamente un solo inverso per ogni elemento.

Proprietà di cancellazione

Definizione

Proprietà di cancellazione

Sia $(G, \star)$ un gruppo e siano dati tre elementi $a, x, y \in G$ . Se vale che:

a \star x = a \star y

allora possiamo concludere che:

x = y

In altre parole, l'elemento $a$ può essere cancellato dall'uguaglianza.

Dimostrazione

Per dimostrare la proprietà di cancellazione applichiamo l'operazione all'elemento $x$ e all'elemento neutro $e$ . Deve valere che:

x = e \star x

Ma sappiamo anche che l'elemento $e$ è uguale a:

a^{-1} \star a = e

Per cui possiamo scrivere:

x = e \star x = \left( a^{-1} \star a \right) \star x

Sfruttando la proprietà associativa possiamo scrivere:

x = a^{-1} \star \left( a \star x \right)

Ma sappiamo anche per ipotesi che:

a \star x = a \star y

Quindi possiamo scrivere:

x = a^{-1} \star \left( a \star y \right)

Sfruttando nuovamente la proprietà associativa possiamo scrivere:

x = \left( a^{-1} \star a \right) \star y

Ma, dato che $a^{-1} \star a = e$ , possiamo scrivere:

x = e \star y = y

Quindi abbiamo dimostrato che se vale che:

a \star x = a \star y

allora possiamo concludere che:

x = y

Nota

Attenzione all'ordine dell'operazione nella proprietà di cancellazione

Abbiamo dimostrato che se esistono tre elementi $a, x, y \in G$ tali che:

a \star x = a \star y

allora possiamo concludere che:

x = y

Tuttavia non vale in generale ciò che segue:

x \star a = y \star a \;\not\!\!\!\implies x = y

Infatti non è detto che l'operazione sia commutativa, quindi l'ordine degli operandi può fare la differenza.

Ogni elemento è l'inverso del proprio inverso

Un'altro fondamentale lemma che possiamo dimostrare a partire dalla definizione di gruppo è il seguente:

Definizione

Ogni elemento è l'inverso del proprio inverso

Sia $(G, \star)$ un gruppo allora per ogni $a \in G$ vale che:

\left( a^{-1} \right)^{-1} = a

Dimostrazione

Essendo $\left( a^{-1} \right)^{-1}$ l'inverso di $a^{-1}$ , per definizione di inverso deve valere che:

a^{-1} \star \left( a^{-1} \right)^{-1} = e

Ma sappiamo anche che l'inverso di $a$ è $a^{-1}$ , quindi possiamo scrivere anche:

a^{-1} \star a = e

Quindi le due espressioni sono uguali e possiamo scrivere:

a^{-1} \star \left( a^{-1} \right)^{-1} = a^{-1} \star a

Sfruttando la proprietà di cancellazione possiamo scrivere:

\left( a^{-1} \right)^{-1} = a

Quindi in ogni gruppo, per ogni elemento, vale che il suo inverso è l'inverso del proprio inverso.

L'inverso del prodotto è il prodotto degli inversi in ordine inverso

L'ultima fondamentale proprietà che possiamo ricavare a partire dalla definizione di gruppo è la seguente:

Definizione

L'inverso del prodotto è il prodotto degli inversi in ordine inverso

Sia $(G, \star)$ un gruppo e siano dati due elementi $a, b \in G$ . Allora vale che:

\left( a \star b \right)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}

Dimostrazione

Per dimostrare la proprietà di sopra consideriamo dapprima il membro a destra dell'uguaglianza:

b^{-1} \star a^{-1}

Moltiplichiamolo per $a \star b$ :

\left( a \star b \right) \star \left( b^{-1} \star a^{-1} \right)

Sfruttando la proprietà associativa possiamo scrivere:

a \star \left( \left(b \star b^{-1}\right) \star a^{-1} \right)

Da cui otteniamo:

= a \star \left( e \star a^{-1} \right)

Sfruttando la proprietà dell'elemento neutro possiamo scrivere:

= a \star a^{-1} = e

Prendendo invece il membro a sinistra dell'uguaglianza:

\left( a \star b \right)^{-1}

Per definizione di inverso deve valere che:

\left( a \star b \right) \star \left( a \star b \right)^{-1} = e

Ma sappiamo anche che:

\left( a \star b \right) \star \left( b^{-1} \star a^{-1} \right) = e

Per cui:

\left( a \star b \right) \star \left( a \star b \right)^{-1} = \left( a \star b \right) \star \left( b^{-1} \star a^{-1} \right)

Sfruttando la proprietà di cancellazione possiamo scrivere:

\left( a \star b \right)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}

Quindi in ogni gruppo, per ogni coppia di elementi, vale che l'inverso del prodotto è il prodotto degli inversi in ordine inverso.

Nota

Attenzione all'ordine dell'operazione nell'ultima proprietà

Abbiamo dimostrato che per ogni coppia di elementi $a, b \in G$ vale che:

\left( a \star b \right)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}

In generale, a destra dell'uguaglianza, non possiamo invertire l'ordine dell'operazione:

b^{-1} \star a^{-1} \neq a^{-1} \star b^{-1}

Infatti non è detto che l'operazione sia commutativa, quindi l'ordine degli operandi è importante.

Viceversa, se si tratta di un gruppo abeliano, allora l'operazione è commutativa e quindi possiamo scrivere:

b^{-1} \star a^{-1} = a^{-1} \star b^{-1}