Introduzione ai Gruppi in Algebra

Definizione di Gruppo

Partiamo dalla definizione della prima struttura algebrica che andremo a studiare: i gruppi

Definizione

Gruppo

Un Gruppo è una struttura algebrica che consiste in un insieme $G$ e un'operazione binaria su di esso definita, indicata con $\star$ , che soddisfa le seguenti proprietà:

Chiusura:

$\forall a,b \in G \quad \Rightarrow a \star b \in G$

I risultati dell'operazione binaria su due elementi di un gruppo sono sempre elementi del gruppo stesso.
Associatività:

$\forall a,b,c \in G \Rightarrow (a \star b) \star c = a \star (b \star c)$

L'ordine in cui si esegue l'operazione binaria su tre elementi di un gruppo non influisce sul risultato.
Elemento neutro:

$\exists e \in G: \forall a \in G, a \star e = e \star a = a$

Usando l'elemento neutro come operando nell'operazione binaria si ottiene, come risultato, l'altro operando.
Elemento inverso:

$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G: a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$

Applicando l'operazione binaria su un elemento e sul suo inverso si ottiene come risultato l'elemento neutro.

L'elemento inverso di un elemento $a$ viene indicato tipicamente con la notazione $a^{-1}$ .

Un gruppo si indica con la notazione:

(G, \star )

dove $G$ è l'insieme su cui è definita l'operazione binaria $\star$ .

Alcuni testi preferiscono la notazione:

\langle G, \star \rangle

Un gruppo viene indicato con la notazione $(G, \star )$ , dove $G$ è l'insieme su cui è definita l'operazione binaria $\star$ . Questa notazione nasce dal fatto che sull'insieme $G$ potrebbero essere definite più operazioni binarie, e quindi è necessario specificare quale operazione binaria si sta considerando.

In generale, quando non c'è possibilità di confusione sull'operazione del gruppo, viene indicato il gruppo semplicemente con l'insieme $G$ .

Proviamo, adesso, ad esaminare alcuni esempi di gruppi.

Esempi di Gruppi

Gli esempi più semplici di gruppi che possiamo analizzare sono quelli numerici. Prendiamo l'esempio dell'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ :

\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Se a questo insieme aggiungiamo l'operazione di addizione $+$ , otteniamo a tutti gli effetti un gruppo. Infatti, l'operazione di addizione sui numeri interi soddisfa tutte le proprietà necessarie. Proviamo a verificare le proprietà richieste per un gruppo:

Chiusura:

$\forall a,b \in \mathbb{Z} \quad \Rightarrow a+b \in \mathbb{Z}$

L'addizione di due numeri interi restituisce sempre un numero intero. Quindi l'addizione è chiusa rispetto all'insieme dei numeri interi.
Associatività:

$\forall a,b,c \in \mathbb{Z} \Rightarrow (a+b)+c = a+(b+c)$

L'ordine in cui si esegue l'addizione di tre numeri interi non influisce sul risultato.
Elemento neutro:

$\exists 0 \in \mathbb{Z}: \forall a \in \mathbb{Z}, a+0 = 0+a = a$

L'elemento neutro dell'addizione è lo zero: $0$ .
Elemento inverso:

$\forall a \in \mathbb{Z}, \exists -a \in \mathbb{Z}: a+(-a) = (-a)+a = 0$

L'elemento inverso dell'addizione è l'opposto.

Possiamo quindi dire che $(\mathbb{Z}, +)$ è un gruppo e, più specificatamente, prende il nome di gruppo additivo dei numeri interi:

Definizione

Gruppo Additivo dei Numeri Interi

Il Gruppo Additivo dei Numeri Interi è il gruppo:

(\mathbb{Z}, +)

Analogamente ai numeri interi, possiamo facilmente verificare che l'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ , l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ e l'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$ sono gruppi rispetto all'operazione di addizione:

$(\mathbb{Q}, +)$ è il gruppo additivo dei numeri razionali;
$(\mathbb{R}, +)$ è il gruppo additivo dei numeri reali;
$(\mathbb{C}, +)$ è il gruppo additivo dei numeri complessi.

Consideriamo, invece, l'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ rispetto all'operazione di moltiplicazione $\cdot$ . In questo caso, l'insieme dei numeri interi non è un gruppo, in quanto non è soddisfatta la proprietà dell'elemento inverso. Infatti, l'elemento inverso della moltiplicazione è il reciproco, ma il reciproco di un numero intero non è necessariamente un numero intero:

(\mathbb{Z}, \cdot) \text{ non è un gruppo} è

Consideriamo, invece, l'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ da cui, però, eliminiamo lo zero. Chiamiamo questo nuovo insieme $\mathbb{Q}^*$ :

\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \backslash \{0\}

Questo insieme, se considerato rispetto alla moltiplicazione, è a tutti gli effetti un gruppo. Infatti, l'operazione di moltiplicazione sui numeri razionali diversi da zero soddisfa tutte le proprietà necessarie per essere un gruppo:

Chiusura:

$\forall a,b \in \mathbb{Q}^* \quad \Rightarrow a\cdot b \in \mathbb{Q}^*$

La moltiplicazione di due numeri razionali diversi da zero restituisce sempre un numero razionale diverso da zero.
Associatività:

$\forall a,b,c \in \mathbb{Q}^* \Rightarrow (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$

L'ordine in cui si esegue la moltiplicazione di tre numeri razionali diversi da zero non influisce sul risultato.
Elemento neutro:

$\exists 1 \in \mathbb{Q}^*: \forall a \in \mathbb{Q}^*, a\cdot 1 = 1\cdot a = a$

L'elemento neutro della moltiplicazione è l'unità: $1$ .
Elemento inverso:

$\forall a \in \mathbb{Q}^*, \exists \frac{1}{a} \in \mathbb{Q}^*: a\cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a}\cdot a = 1$

L'elemento inverso della moltiplicazione è il reciproco.

Abbiamo dovuto eliminare lo zero dall'insieme $\mathbb{Q}$ proprio per dover rispettare la proprietà dell'elemento inverso. Infatti, lo zero non ha un reciproco. Possiamo quindi dire che $(\mathbb{Q}^*, \cdot)$ è un gruppo.

Gruppi Abeliani

Osservando bene la definizione di gruppo che abbiamo dato sopra, possiamo notare che abbiamo imposto la condizione di associatività, ma non abbiamo imposto la condizione di commutatività. Questo significa che, in generale l'operazione binaria di un gruppo può essere non commutativa.

Quando l'operazione binaria di un gruppo è commutativa, il gruppo prende il nome di gruppo abeliano. Questo nome deriva dal nome del matematico norvegese Niels Henrik Abel che studiò in modo approfondito le proprietà dei gruppi commutativi.

Definizione

Gruppo Abeliano o Gruppo Commutativo

Un Gruppo Abeliano è un gruppo $(G, \star )$ in cui l'operazione binaria $\star$ è commutativa:

\forall a,b \in G \Rightarrow a \star b = b \star a

Un esempio di gruppo abeliano è il gruppo additivo dei numeri interi $(\mathbb{Z}, +)$ , in quanto l'addizione è un'operazione commutativa. Analogamente, anche $(\mathbb{Q}, +)$ , $(\mathbb{R}, +)$ e $(\mathbb{C}, +)$ sono gruppi abeliani.

Analogamente, i gruppi $(\mathbb{Z}, \cdot)$ e $(\mathbb{Q}^*, \cdot)$ sono anch'essi gruppi abeliani, in quanto la moltiplicazione è un'operazione commutativa.

Un esempio di gruppo non abeliano è il gruppo delle matrici quadrate non singolari rispetto all'operazione di moltiplicazione. Prendiamo l'insieme delle matrici quadrate di ordine $2$ con coefficienti reali:

M_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} a &amp; b \\ c &amp; d \end{pmatrix} \ \middle|\ a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\}

Di questo insieme, consideriamo il sottoinsieme composto dalle sole matrici non singolari, ossia quelle con determinante diverso da zero:

GL_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} a &amp; b \\ c &amp; d \end{pmatrix} \ \middle|\ a,b,c,d \in \mathbb{R},\ ad-bc \neq 0 \right\}

L'insieme $GL_2(\mathbb{R})$ , rispetto all'operazione di moltiplicazione, forma un gruppo. Infatti sono rispettate tutte le proprietà di un gruppo:

Chiusura:

La moltiplicazione di due matrici quadrate di ordine $2$ con coefficienti reali restituisce sempre una matrice quadrata di ordine $2$ con coefficienti reali.

Possiamo verificare facilmente che:

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$

Il risultato è sempre una matrice quadrata di ordine $2$ con coefficienti reali.
Associatività:

La moltiplicazione di tre matrici quadrate di ordine $2$ con coefficienti reali è associativa.

Anche questa proprietà si può verificare facilmente. Prendiamo le tre matrici:

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix}$

Si può verificare facilmente che le seguenti scritture sono uguali tra di loro:

$(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)$
Elemento neutro:

L'elemento neutro della moltiplicazione è la matrice identità:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Infatti, per ogni matrice $A$ appartenente a $GL_2(\mathbb{R})$ :

$A\cdot I = I\cdot A = A$
Elemento inverso:

L'elemento inverso della moltiplicazione è la matrice inversa.

Avendo imposto che l'insieme $GL_2(\mathbb{R})$ sia composto dalle sole matrici non singolari, possiamo garantire che ogni matrice $A$ appartenente a $GL_2(\mathbb{R})$ ha una matrice inversa $A^{-1}$ tale che:

$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I$

Quindi possiamo affermare che l'insieme $GL_2(\mathbb{R})$ , rispetto all'operazione di moltiplicazione, forma un gruppo e prende il nome di Gruppo Lineare Generale di Matrici Quadrate di Ordine 2 (da cui la sigla $GL_2(\mathbb{R})$ ).

Tuttavia, il gruppo $GL_2(\mathbb{R})$ non è abeliano. Infatti, la moltiplicazione di due matrici quadrate non è commutativa. Prendiamo due matrici $A$ e $B$ appartenenti a $GL_2(\mathbb{R})$ :

A = \begin{pmatrix} a &amp; b \\ c &amp; d \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} e &amp; f \\ g &amp; h \end{pmatrix}

Si può verificare facilmente che:

A\cdot B \neq B\cdot A

Infatti:

A\cdot B = \begin{pmatrix} ae+bg &amp; af+bh \\ ce+dg &amp; cf+dh \end{pmatrix}

B\cdot A = \begin{pmatrix} ae+cf &amp; af+bh \\ ce+dg &amp; cf+dh \end{pmatrix}

Come si può vedere i due risultati sono diversi tra di loro.

Definizione

L'insieme $GL_2(\mathbb{R})$ non è un gruppo abeliano

L'insieme $GL_2(\mathbb{R})$ delle matrici quadrate non singolari di ordine $2$ con coefficienti reali, rispetto all'operazione di moltiplicazione, forma un gruppo, ma non è un gruppo abeliano in quanto la moltiplicazione di due matrici quadrate non è commutativa.

In generale si può dimostrare che tutti i Gruppi Lineari Generali di Matrici Quadrate di Ordine $n$ sono gruppi non abeliani per ogni $n>1$ .

Notazione

Nello studio dei Gruppi, spesso, l'operazione binaria viene chiamata prodotto anche se non necessariamente abbiamo a che fare con numeri oppure con la vera operazione di prodotto tra di essi.

É bene ricordare che l'insieme di un Gruppo può essere composto da qualsiasi tipo di oggetti, non necessariamente numeri. Ad esempio, possiamo avere gruppi formati da funzioni, matrici, polinomi, o altri oggetti matematici.

In ogni caso, quando andiamo a scrivere l'operazione tra due o più elementi di un gruppo, risulta scomodo usare la notazione $\star$ (o il simbolo di prodotto $\cdot$ ) ogni volta. Per questo motivo, spesso al posto di

a \star b

si scrive semplicemente:

ab

Detto questo, introduciamo il concetto di potenza di un elemento di un gruppo. La potenza di un elemento $a$ di un gruppo $(G, \star)$ viene indicata con la notazione:

a^n = \underbrace{a \star a \star \ldots \star a}_{\text{$n$ volte}}

dove $n$ è un numero intero. In altre parole, la potenza di un elemento di un gruppo è il risultato dell'operazione binaria applicata su se stesso $n$ volte.

In alcuni casi essa corrisponde effettivamente alla potenza algebrica, ma non è sempre così. Ad esempio, nel caso del gruppo $(Q^*, \cdot)$ , la potenza di un elemento $a$ è il risultato della moltiplicazione di $a$ per se stesso $n$ volte:

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

Se invece consideriamo il gruppo $(\mathbb{Z}, +)$ , la potenza di un elemento $a$ è il risultato della somma di $a$ per se stesso $n$ volte:

a^n = n \cdot a

Per mantenere la notazione coerente, consideriamo anche le potenze con esponente negativo. In questo caso, la potenza di un elemento $a$ con esponente negativo $-n$ viene definita come la potenza dell'inverso di $a$ :

a^{-n} =\left( a^{-1} \right)^n

Infine, se un elemento $a$ viene elevato alla potenza zero:

a^0 = e

dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo.

Ricapitolando:

Definizione

Potenza di un Elemento di un Gruppo

La potenza di un elemento $a$ di un gruppo $(G, \star)$ viene indicata con la notazione:

a^n = \underbrace{a \star a \star \ldots \star a}_{\text{$n$ volte}}

dove $n$ è un numero intero. In particolare:

Se $n > 0$ , allora $a^n$ è il risultato dell'operazione binaria applicata su $a$ per se stesso $n$ volte.
Se $n = 0$ , allora $a^0 = e$ , dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo.
Se $n < 0$ , allora $a^n = (a^{-1})^{-n}$ , dove $a^{-1}$ è l'inverso di $a$ .

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Definizione di Gruppo

Esempi di Gruppi

Gruppi Abeliani

Esempio di gruppo non abeliano

Notazione