Definizione di Spazio Metrico

Gli Spazi Metrici sono una delle strutture fondamentali della matematica moderna e, soprattutto, della Topologia.

La definizione di spazio metrico è la generalizzazione della nozione di distanza tra punti in uno spazio euclideo. In un certo senso, gli spazi metrici sono una generalizzazione degli spazi euclidei, in cui la distanza tra i punti è definita in modo più astratto.

In questa lezione ci concentreremo sulla definizione formale di spazio metrico e sui suoi principali esempi.

Definizione di Spazio Metrico

Per avere uno spazio metrico abbiamo bisogno di due ingredienti:

Un insieme $X \neq \varnothing$ , non vuoto, di elementi che chiameremo punti;
Una funzione $d: X \times X \to \mathbb{R}$ che associa a ogni coppia di punti $(x,y)$ in $X$ un numero reale $d(x,y)$ , che chiamiamo distanza tra i punti $x$ e $y$ .

In poche parole, affinché un certo insieme $X$ possa essere considerato uno spazio metrico, dobbiamo essere in grado di dire quanto sono lontani e vicini due punti $x$ e $y$ in $X$ attraverso, appunto, la funzione $d$ .

Ovviamente, non possiamo definire la distanza in modo arbitrario. La funzione $d$ deve soddisfare alcune proprietà fondamentali, che sono le seguenti:

Non negatività:

$\forall x,y \in X, \quad d(x,y) \geq 0$

Questa proprietà afferma che la distanza tra due punti è sempre maggiore o uguale a zero. In altre parole, non possiamo avere una distanza negativa.
Identità:

$\forall x,y \in X, \quad d(x,y) = 0 \iff x = y$

Questa proprietà afferma che la distanza tra due punti è zero se e solo se i due punti sono uguali. In altre parole, se due punti sono diversi, la loro distanza deve essere positiva.
Simmetria:

$\forall x,y \in X, \quad d(x,y) = d(y,x)$

Questa proprietà afferma che la distanza tra due punti è la stessa indipendentemente dall'ordine in cui consideriamo i punti. In altre parole, la distanza da $x$ a $y$ è uguale alla distanza da $y$ a $x$ .
Disuguaglianza triangolare:

$\forall x,y,z \in X, \quad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

Questa proprietà afferma che la distanza tra due punti $x$ e $z$ è sempre minore o uguale alla somma delle distanze tra $x$ e $y$ e tra $y$ e $z$ . In altre parole, non possiamo accorciare la distanza tra due punti passando per un terzo punto. Questa proprietà è simile alla disuguaglianza triangolare che conosciamo dalla geometria euclidea.

La funzione $d$ che soddisfa queste quattro proprietà è chiamata metrica. Un insieme $X$ dotato di una metrica $d$ è chiamato spazio metrico e si indica con la notazione $(X,d)$ .

La metrica Euclidea

La metrica più comune è la metrica euclidea che rappresenta la comune distanza tra due punti in uno spazio euclideo. Essa viene adoperata in $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^3$ e in generale in $\mathbb{R}^n$ .

Partiamo consideriamo l'insieme $X = \mathbb{R}$ dei numeri reali.

Tale insieme può essere rappresentato geometricamente come una retta per la quale dobbiamo stabilire:

Un punto origine $O$ che corrisponde al numero $0$ ;
Un'unità di misura $U$ che corrisponde al numero $1$ .
Un verso di percorrenza, ad esempio da sinistra a destra. In tal modo i punti a sinistra di $O$ sono negativi e quelli a destra sono positivi.

Facendo così risulta che ad ogni punto $x$ della retta corrisponde un numero reale $x$ e ad ogni numero reale $x$ corrisponde un punto della retta.

Osservando l'insieme $\mathbb{R}$ da questo punto di vista geometrico, intuitivamente possiamo dire che due numeri reali $x$ e $y$ distano tra loro di una quantità pari alla misura del segmento di retta che li unisce. Ma questa misura è pari alla differenza tra i due numeri in valore assoluto, cioè $|x-y|$ .

Dobbiamo utilizzare il valore assoluto perché dobbiamo garantire che la distanza sia sempre positiva (proprietà 1).

Quindi, possiamo definire la metrica $d$ come:

d(x,y) = |x-y| \quad \forall x,y \in \mathbb{R}

In questo caso, lo spazio metrico è $(\mathbb{R}, d)$ .

Le quattro proprietà della metrica sono soddisfatte:

Non negatività: $d(x,y) = |x-y| \geq 0$ ;
Identità: $d(x,y) = 0 \iff x = y$ ;
Simmetria: $d(x,y) = |x-y| = |y-x| = d(y,x)$ ;
Disuguaglianza triangolare: $d(x,z) = |x-z| \leq |x-y| + |y-z| = d(x,y) + d(y,z)$ .

La quarta proprietà deriva direttamente dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto.

Analogamente, anche gli insiemi $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ possono essere considerati spazi metrici. Anzi, qualsiasi insieme $\mathbb{R}^n$ può essere considerato uno spazio metrico, definendo la metrica come:

d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \ldots + (x_n-y_n)^2} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^n

Ad esempio, se consideriamo il piano $\mathbb{R}^2$ , la funzione di distanza non rappresenta altro che la distanza euclidea tra i punti $x$ e $y$ .

Soffermiamoci un attimo su quest'ultimo esempio e dimostriamo che la funzione di distanza definita sopra soddisfa le quattro proprietà della metrica.

Non negatività: $d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \geq 0$ ;

Questo è vero perché:
- i termini sotto radice sono sempre non negativi e sono sommati tra loro;
- la radice quadrata di un numero non negativo è anch'essa non negativa.
Identità: $d(x,y) = 0 \iff x = y$ ;

Questa proprietà è vera perché la radice quadrata di un numero è zero se e solo se il numero stesso è zero. Quindi, $d(x,y) = 0$ implica che $x_1 = y_1$ e $x_2 = y_2$ , cioè $x = y$ .
Simmetria: $d(x,y) = d(y,x)$ ;

Questa proprietà è vera perché la somma e il prodotto di due numeri reali sono commutativi. Quindi, $d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} = \sqrt{(y_1-x_1)^2 + (y_2-x_2)^2} = d(y,x)$ .
Disuguaglianza triangolare: $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ ;

Questa proprietà deriva dalla disuguaglianza triangolare del piano euclideo.

La metrica euclidea rappresenta quindi una delle metriche più comuni e intuitive che possiamo definire in $\mathbb{R}^n$ e viene spesso chiamata metrica naturale.

Definizione

Metrica Euclidea

Dato uno spazio $\mathbb{R}^n$ , la metrica euclidea è definita come:

d(x,y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^n

In generale, quando non specificato diversamente, supponiamo sempre che in $\mathbb{R}^n$ la metrica sia quella euclidea.

Nella figura sottostante possiamo vedere un esempio di distanza euclidea tra due punti $x_1$ e $x_2$ in $\mathbb{R}^2$ :

**Figura 1:** Esempio di Distanza Euclidea nel Piano

Analogamente, nella figura sottostante possiamo vedere un esempio di distanza euclidea tra due punti $x_1$ e $x_2$ in $\mathbb{R}^3$ :

**Figura 2:** Esempio di Distanza Euclidea nello spazio

Utilizzando la metrica euclidea, considerando il luogo dei punti che distano da un punto $x_0$ di una certa quantità $r$ , otteniamo, ad esempio, un cerchio di raggio $r$ centrato in $x_0$ in $\mathbb{R}^2$ e una sfera di raggio $r$ centrata in $x_0$ in $\mathbb{R}^3$ :

**Figura 3:** Esempio di Luogo dei Punti che distano 1 nel Piano con la Distanza Euclidea: Cerchio

Metrica di Chebyshev

Uno spazio può avere più di una metrica definita su di esso e, in particolar modo, possiamo definire metriche diverse da quelle euclidee.

Ritorniamo al caso di $\mathbb{R}^2$ e consideriamo la metrica:

d_\infty (\underline{x},\underline{y}) = \max\{|x_1-y_1|, |x_2-y_2|\} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^2

Questa metrica è chiamata metrica del massimo o metrica di Chebyshev. Essa misura la distanza tra due punti come il massimo della differenza in valore assoluto tra le loro coordinate.

Possiamo dimostrare che questa metrica soddisfa le quattro proprietà della metrica:

Non negatività: $d_\infty(x,y) = \max\{|x_1-y_1|, |x_2-y_2|\} \geq 0$ ;

Questo è vero perché il massimo di due numeri non negativi è anch'esso non negativo.
Identità: $d_\infty(x,y) = 0 \iff x = y$ ;

Questa proprietà è vera perché il massimo di due numeri è zero se e solo se entrambi i numeri sono zero. Quindi, $d_\infty(x,y) = 0$ implica che $|x_1-y_1| = 0$ e $|x_2-y_2| = 0$ , cioè $x = y$ .
Simmetria: $d_\infty(x,y) = d_\infty(y,x)$ ;

Questa proprietà è vera perché il valore assoluto è simmetrico. Quindi, $d_\infty(x,y) = \max\{|x_1-y_1|, |x_2-y_2|\} = \max\{|y_1-x_1|, |y_2-x_2|\} = d_\infty(y,x)$ .
Disuguaglianza triangolare: $d_\infty(x,z) \leq d_\infty(x,y) + d_\infty(y,z)$ ;

Per ogni $k \in \{1,2\}$ , abbiamo:

$|x_k-z_k| \leq |x_k-y_k| + |y_k-z_k|$

Questo deriva dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto. Passando al massimo, otteniamo:

$\max_k\{|x_k-z_k|\} \leq \max_k\{|x_k-y_k|\} + \max_k\{|y_k-z_k|\} = d_\infty(x,y) + d_\infty(y,z)$

Quindi, la disuguaglianza triangolare è soddisfatta.

La metrica del massimo può essere estesa anche a $\mathbb{R}^n$ come segue:

d_\infty(x,y) = \max\{|x_1-y_1|, |x_2-y_2|, \ldots, |x_n-y_n|\} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^n

Intuitivamente, questa metrica misura la distanza tra due punti come la massima differenza in valore assoluto tra le loro coordinate.

Adoperando la metrica del massimo, considerando il luogo dei punti che distano da un punto $x_0$ di una certa quantità $r$ , otteniamo, ad esempio, un quadrato di lato $2r$ centrato in $x_0$ in $\mathbb{R}^2$ :

**Figura 4:** Esempio di Luogo dei Punti che distano 1 nel Piano con la Distanza del Massimo

Metrica di Manhattan

Possiamo definire un'altra metrica in $\mathbb{R}^2$ chiamata metrica di Manhattan o metrica del taxi:

d_1(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^2

Questa metrica misura la distanza tra due punti come la somma delle differenze in valore assoluto tra le loro coordinate.

Possiamo dimostrare che questa metrica soddisfa le quattro proprietà della metrica:

Non negatività: $d_1(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| \geq 0$ ;

Questo è vero perché la somma di due numeri non negativi è anch'essa non negativa.
Identità: $d_1(x,y) = 0 \iff x = y$ ;

Questa proprietà è vera perché la somma di due numeri è zero se e solo se entrambi i numeri sono zero. Quindi, $d_1(x,y) = 0$ implica che $|x_1-y_1| = 0$ e $|x_2-y_2| = 0$ , cioè $x = y$ .
Simmetria: $d_1(x,y) = d_1(y,x)$ ;

Questa proprietà è vera perché il valore assoluto è simmetrico. Quindi, $d_1(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| = |y_1-x_1| + |y_2-x_2| = d_1(y,x)$ .
Disuguaglianza triangolare: $d_1(x,z) \leq d_1(x,y) + d_1(y,z)$ ;

Per ogni $k \in \{1,2\}$ , abbiamo:

$|x_k-z_k| \leq |x_k-y_k| + |y_k-z_k|$

Questo deriva dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto. Passando alla somma, otteniamo:

$|x_1-z_1| + |x_2-z_2| \leq |x_1-y_1| + |y_1-z_1| + |x_2-y_2| + |y_2-z_2| = d_1(x,y) + d_1(y,z)$

Quindi, la disuguaglianza triangolare è soddisfatta.

La metrica di Manhattan può essere estesa anche a $\mathbb{R}^n$ come segue:

d_1(x,y) = \sum_{k=1}^n |x_k-y_k| \quad \forall x,y \in \mathbb{R}^n

Il nome curioso di questa metrica deriva dal fatto che essa rappresenta la distanza che un taxi deve percorrere per arrivare da un punto all'altro in una città con strade disposte a griglia, come Manhattan a New York, come mostrato nella figura sottostante:

Nella figura i rettangoli neri rappresentano i palazzi. Un taxi che vuole andare da un punto $A$ a un punto $B$ deve percorrere la distanza $d_1(A,B)$ , che è la somma delle distanze orizzontali e verticali tra i due punti.

Adoperando la metrica di Manhattan, considerando il luogo dei punti che distano da un punto $x_0$ di una certa quantità $r$ , otteniamo, ad esempio, un rombo di diagonale $2r$ centrato in $x_0$ in $\mathbb{R}^2$ :

**Figura 6:** Esempio di Luogo dei Punti che distano 1 nel Piano con la Distanza di Manhattan

Metrica Circolare

Un altro esempio di metrica non euclidea è la metrica circolare. Questa metrica è definita su un sottoinsieme $X$ del piano $\mathbb{R}^2$ che rappresenta una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine.

Prendiamo lo spazio metrico $(\mathbb{R}^2,d)$ dove $d$ è la metrica euclidea. Consideriamo il sottoinsieme $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$ , cioè l'insieme dei punti che distano da $(0,0)$ di 1. Questo insieme rappresenta un cerchio di raggio 1 centrato nell'origine.

Se consideriamo due punti qualsiasi della circonferenza $p$ e $q$ , essi suddividono la circonferenza in due archi come mostrato nella figura sottostante:

**Figura 7:** Metrica Circolare nel Piano

Il primo arco ha una lunghezza pari a $\ell(p,q)$ in radianti;
Il secondo arco ha una lunghezza pari a $2\pi - \ell(p, q)$ sempre in radianti.

A questo punto definiamo la distanza tra i due punti $p$ e $q$ come la lunghezza dell'arco più corto, cioè:

d(p,q) = \min\{\ell(p,q), 2\pi - \ell(p,q)\}

Questa distanza è chiamata distanza angolare o distanza circolare ed è differente dalla distanza euclidea tra i punti $p$ e $q$ .

Possiamo dimostrare che questa metrica soddisfa le quattro proprietà della metrica:

Non negatività: $d(p,q) = \min\{\ell(p,q), 2\pi - \ell(p,q)\} \geq 0$ ;

Questo è vero perché la lunghezza di un arco è sempre non negativa.
Identità: $d(p,q) = 0 \iff p = q$ ;

Questa proprietà è vera perché la lunghezza di un arco è zero se e solo se i due punti sono uguali. Quindi, $d(p,q) = 0$ implica che $\ell(p,q) = 0$ , cioè $p = q$ .
Simmetria: $d(p,q) = d(q,p)$ ;

Questa proprietà è vera perché la lunghezza di un arco è simmetrica. Quindi:

$d(p,q) = \min\{\ell(p,q), 2\pi - \ell(p,q)\} = \min\{\ell(q,p), 2\pi - \ell(q,p)\} = d(q,p)$
Disuguaglianza triangolare: $d(p,r) \leq d(p,q) + d(q,r)$ ;

Questa proprietà è vera perché la lunghezza di un arco è sempre minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due archi.

Sottospazi Metrici

Siano $(X,d)$ uno spazio metrico e $Y \subseteq X$ un sottoinsieme non vuoto di $X$ .

Possiamo definire una metrica $d_Y$ su $Y$ come segue:

d_Y(y', y'') = d(y',y'') \quad \forall y',y'' \in Y

Ossia $d_Y$ è la restrizione della metrica $d$ a $Y$ .

In questo caso, lo spazio $(Y,d_Y)$ è ancora uno spazio metrico e si chiama sottospazio metrico di $(X,d)$ . La metrica $d_Y$ è chiamata metrica indotta o metrica ereditata da $X$ .

Ritornando all'esempio della metrica circolare, bisogna notare che la metrica circolare non è una metrica indotta dalla metrica euclidea. Infatti, vale che:

d_C(p,q) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} &lt; d(p,q)

dove $d_C$ è la metrica euclidea ristretta alla circonferenza $C$ e $d$ è la metrica circolare.

Per rendersene conto, intuitivamente, basta osservare la figura sottostante:

**Figura 8:** Differenza tra Metrica indotta dalla Metrica Euclidea e Metrica Circolare

Spazi Metrici Discreti

Concludiamo questa lezione introduttiva, parlando di un altro esempio di spazio metrico, che è lo spazio metrico discreto.

Sia $X$ un insieme non vuoto e definiamo la metrica $d$ come:

d(x,y) = \begin{cases} 0 &amp; \text{se } x = y \\ 1 &amp; \text{se } x \neq y \end{cases} \quad \forall x,y \in X

In pratica, questa metrica assegna la distanza 0 a due punti uguali e 1 a due punti diversi qualunque.

Le prime tre proprietà della metrica sono soddisfatte ed è facile dimostrare che anche la disuguaglianza triangolare è soddisfatta.

Infatti, supponiamo di avere tre punti $x,y,z \in X$ non necessariamente distinti.

Allora, se $x = y$ , abbiamo:

d(x,y) = 0 \leq d(x,z) + d(y,z)

Se $x \neq y$ , abbiamo che deve valere che o $x \neq z$ oppure $y \neq z$ . Per cui:

d(x,y) = 1 \leq d(x,z) + d(y,z)

Questa metrica prende il nome di metrica discreta e lo spazio metrico da essa generato, $(X,d)$ , è chiamato spazio metrico discreto.

In Sintesi

Questa lezione ci ha permesso di introdurre la definizione di spazio metrico che ci permette di generalizzare la nozione di distanza tra punti in uno spazio euclideo.

In particolare abbiamo visto che:

La definizione di spazio metrico richiede un insieme non vuoto di punti e una funzione che associa a ogni coppia di punti una distanza, ossia un valore reale;
La funzione di distanza deve soddisfare quattro proprietà fondamentali:
1. Non negatività: una distanza è sempre maggiore o uguale a zero;
2. Identità: la distanza tra due punti è zero se e solo se i due punti sono uguali;
3. Simmetria: la distanza tra due punti è la stessa indipendentemente dall'ordine in cui consideriamo i punti;
4. Disuguaglianza triangolare: la distanza tra due punti è sempre minore o uguale alla somma delle distanze tra i punti intermedi.
La metrica euclidea è la metrica più comune e rappresenta la distanza tra due punti in uno spazio euclideo;
La metrica del massimo e la metrica di Manhattan sono esempi di metriche non euclidee;
La metrica circolare è un esempio di metrica definita su un sottoinsieme del piano euclideo;
Gli spazi metrici discreti sono spazi metrici in cui la distanza tra due punti è 0 se i punti sono uguali e 1 se i punti sono diversi.

A partire dalla prossima lezione, inizieremo a studiare un particolare tipo di sotto insieme di uno spazio metrico, chiamato intorno. Gli intorni sono fondamentali per definire la nozione di limite e continuità in analisi matematica.