Intorni

Una volta che abbiamo definito uno spazio metrico come un insieme dotato di una funzione di distanza, possiamo iniziare a esplorare le proprietà di questo spazio.

Per poterlo fare, è utile introdurre il concetto di intorno di un punto in uno spazio metrico. Un intorno di un punto è un insieme di punti che sono *vicini a quel punto secondo la metrica definita nello spazio.

In questa lezione vediamo la definizione di intorno e alcune proprietà fondamentali.

Definizione di Intorno

Definito il concetto di distanza tra due punti di un insieme, il concetto più naturale che ne deriva è quello di intorno o cerchio di raggio r.

Pensandoci bene, infatti, fissato un punto risulta naturale pensare all'insieme dei punti che distano da esso entro un certo raggio r. Da questa intuizione si può arrivare alla definizione formale di intorno.

Definizione

Intorno di un punto

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico.

Sia $p \in X$ un punto di $X$ e sia $r > 0$ un numero reale. Si chiama Intorno Circolare (o semplicemente intorno) di $p$ di raggio $r$ l'insieme:

B(p, r) = \{ x \in X \mid d(p,x) &lt; r \}

E il punto $p$ è detto centro dell'intorno.

Da notare che indichiamo un intorno con la lettera maiuscola $B$ da Ball, in inglese palla, proprio per richiamare l'idea di un insieme di punti che si trovano all'interno di una palla di raggio $r$ centrata nel punto $p$ .

Esempi di Intorni

Vediamo alcuni esempi di intorni.

Se $X = \mathbb{R}$ e $d(x,y) = |x-y|$ , ossia se consideriamo l'insieme dei numeri reali con la metrica euclidea, allora l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è:

$B(p, r) = \{ x \in \mathbb{R} : |p-x| < r \}$

Ma poiché la disuguaglianza $|p-x| < r$ è equivalente a $p - r < x < p + r$ , ne deriva che l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è l'intervallo aperto:

$B(p, r) = (p - r, p + r)$
Se $X = \mathbb{R}^2$ e $d(x,y)$ è la metrica euclidea, allora:

$B(p, r) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : d(p, (x,y)) < r \}$

In questo caso, l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è il cerchio di raggio $r$ centrato nel punto $p$ privato però della circonferenza ossia del bordo.
Analogamente, se $X = \mathbb{R}^3$ e $d(x,y)$ è la metrica euclidea, allora:

$B(p, r) = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : d(p, (x,y,z)) < r \}$

In questo caso, l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è la sfera di raggio $r$ centrata nel punto $p$ privata però della superficie.
In generale, se $X = \mathbb{R}^n$ e $d(x,y)$ è la metrica euclidea, allora l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è l'iperpalla di raggio $r$ centrata nel punto $p$ privata però della superficie, ossia la generalizzazione del cerchio e della sfera a dimensione $n$ .
Se $X = \mathbb{R}^2$ e $d(x,y)$ è la metrica di chebyshev, allora l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è il quadrato di lato $2r$ centrato nel punto $p$ privato dei lati. Ad esempio, l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $(0,0)$ è:

In questo caso, $B(\underline{0}, r)$ è quella porzione di piano delimitata dalle rette:

$x = r, \quad x = -r, \quad y = r, \quad y = -r$

come mostrato in figura:

Figura 1: Intorno di raggio r dell'origine con metrica del massimo
Allo stesso modo, se $X = \mathbb{R}^2$ e $d(x,y)$ è la metrica di Manhattan, allora l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è il rombo di diagonale $2r$ centrato nel punto $p$ privato dei lati. Ad esempio, l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $(0,0)$ è:

$B(\underline{0}, r) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| < r \}$

come mostrato in figura:

Figura 2: Intorno di raggio r dell'origine con metrica di Manhattan
Nel caso degli spazi metrici discreti, l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è l'insieme costituito dal punto stesso se $r \leq 1$ e lo spazio totale se $r > 1$ . Ad esempio, l'intorno circolare di raggio $r$ del punto $p$ è:

$B(p, r) = \begin{cases} \{ p \} & \text{se } r \leq 1 \\ X & \text{se } r > 1 \end{cases}$

Proprietà degli Intorni

In generale, dalla definizione di intorno circolare possiamo dedurre che, fissato un punto $p$ e due raggi $r_1$ e $r_2$ con $0 < r_1 < r_2$ , l'intorno di raggio $r_1$ è contenuto in quello di raggio $r_2$ . Per cui vale che:

B(p, r_1) \subseteq B(p, r_2)

Da notare che non abbiamo usato l'inclusione stretta, ma l'inclusione semplice. Questo perché, in generale, in uno spazio metrico qualunque due intorni di raggio diverso possono coincidere. L'inclusione stretta vale, ad esempio, per gli spazi con la metrica euclidea, ma non vale in generale.

Ad esempio, per gli spazi metrici discreti, al variare del raggio, esistono solo due intorni di un punto:

lo spazio totale;
L'insieme costituito dal punto stesso: $B(p, 0) = \{ p \}$ .

In questo caso, quindi, al variare del raggio due intorni possono coincidere.

Una proprietà importante degli intorni che vale in generale è la proprietà di separazione degli intorni o proprietà di Hausdroff:

Definizione

Proprietà di separazione degli intorni (proprietà di Hausdorff)

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Siano $p$ e $q$ due punti distinti di $X$ :

p, q \in X, \quad p \neq q

Allora esiste un raggio $r > 0$ tale che:

B(p, r) \cap B(q, r) = \emptyset

In altre parole, in uno spazio metrico, presi due punti distinti, possiamo sempre trovare degli intorni circolari di ognuno di essi tali che non si intersechino.

Proviamo a dimostrare questa proprietà.

Dimostrazione

Dimostrazione della proprietà di separazione degli intorni

Sia $d(p, q)$ la distanza tra i punti $p$ e $q$ . Poiché $p$ e $q$ sono distinti, abbiamo che:

d(p, q) &gt; 0

Adesso scegliamo come raggio $r$ un terzo della distanza tra i due punti:

r = \frac{d(p, q)}{3}

Quindi prendiamo un punto $s$ appartenente all'intorno circolare di $p$ di raggio $r$ :

s \in B(p, r)

Adesso, consideriamo la distanza tra $p$ e $q$ :

d(p, q) = 3 \cdot r

Ma sappiamo che:

d(p, q) \leq d(p, s) + d(s, q)

Quindi, possiamo scrivere:

3r \leq d(p, s) + d(s, q)

Inoltre, sappiamo che:

d(p, s) &lt; r

quindi:

3r \leq r + d(s, q)

Da cui otteniamo:

d(s, q) \geq 2r

Da cui segue che:

s \notin B(q, r)

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto un concetto importantissimo in analisi matematica, quello di intorno circolare di un punto in uno spazio metrico. Abbiamo visto che:

Un intorno circolare di un punto è l'insieme dei punti che distano da esso entro un certo raggio $r$ ;
A seconda della metrica definita nello spazio, l'intorno circolare di un punto può essere rappresentato in modi diversi;
In generale, al variare del raggio, due intorni possono coincidere;
In uno spazio metrico, presi due punti distinti, possiamo sempre trovare degli intorni circolari di ognuno di essi tali che non si intersechino. Questa proprietà è nota come proprietà di separazione degli intorni o proprietà di Hausdorff.

A partire dal concetto di intorno circolare, possiamo definire altri concetti fondamentali in analisi matematica, come quello di punto interno, punto esterno e punto di frontiera. Questi concetti saranno trattati nella prossima lezione.