Distanza, Palle e Intorni

Prima di entrare nei dettagli delle successioni, è utile avere davanti la mappa della lezione. Le idee che dovranno rimanere al termine dello studio sono le seguenti:

Una distanza non esprime genericamente che due punti sono «vicini», ma assegna loro un numero che misura quanto sono lontani;
gli assiomi di una metrica isolano le proprietà essenziali della distanza usuale e permettono di usare lo stesso linguaggio in ambienti diversi;
una palla $B(p,r)$ raccoglie tutti i punti che distano da $p$ meno di $r$ ;
un intorno di $p$ non deve coincidere con una palla: è sufficiente che contenga una palla centrata in $p$ ;
contenere il punto $p$ non basta, in generale, perché un insieme sia un intorno di $p$ ;
un insieme è limitato quando può essere racchiuso interamente in una palla;
la disuguaglianza triangolare è lo strumento che permette di confrontare distanze, costruire palle contenute in altre palle e cambiare il centro di una palla che contiene un insieme;
sulla retta reale le tre seguenti scritture descrivono la stessa situazione geometrica:

$|x-p| < r,\qquad x\in B(p,r),\qquad p-r < x < p+r$

Prerequisiti

Si suppongono noti:

il linguaggio elementare degli insiemi e delle funzioni;
il valore assoluto e le sue proprietà fondamentali;
gli intervalli della retta reale;
le coordinate cartesiane e la distanza euclidea nel piano;
la norma euclidea in $\mathbb R^k$ ;
per la sola parte relativa a $\mathbb C$ , il modulo di un numero complesso.

La parte sui numeri complessi può essere letta come anticipazione e ripresa quando $\mathbb C$ sarà stato introdotto sistematicamente.

Obiettivi formativi

Al termine della lezione si dovrà essere in grado di:

interpretare $|x-y|$ come distanza fra i numeri reali $x$ e $y$ ;
enunciare e usare gli assiomi di una metrica;
riconoscere le distanze usuali in $\mathbb R$ , $\mathbb R^k$ e $\mathbb C$ ;
descrivere una palla mediante una disuguaglianza;
distinguere una palla, un intorno e un insieme che contiene semplicemente il punto;
tradurre in formule l'espressione «abbastanza vicino a $p$ »;
riconoscere e dimostrare la limitatezza di un insieme;
usare correttamente la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza triangolare inversa.

Perché introdurre una distanza?

Quando si comincia a studiare l'Analisi Matematica, molte idee vengono espresse dapprima con parole tratte dall'esperienza geometrica: un numero è «vicino» a un altro, un punto si «avvicina» a una posizione fissata, una successione «rimane confinata» in una certa regione. Queste immagini sono preziose, ma da sole non sono ancora abbastanza precise per costruire definizioni e dimostrazioni.

In Analisi ricorrono continuamente frasi come:

$x$ è vicino a $p$ ;
$x$ è più vicino a $p$ di quanto lo sia $y$ ;
tutti i punti considerati rimangono entro una distanza prefissata;
i termini di una successione diventano arbitrariamente vicini a un certo numero.

Il significato di «vicino» non è assoluto. I numeri $3$ e $3.1$ possono apparire vicini se si lavora su una scala dell'ordine delle unità, ma non lo sono affatto se la tolleranza ammessa è $10^{-6}$ . Per trasformare l'intuizione in un'affermazione matematica occorrono quindi due ingredienti:

una funzione che misuri la distanza;
un numero positivo che stabilisca quanto vicini debbano essere i punti.

La nozione di spazio metrico separa con chiarezza questi due ingredienti. La funzione distanza stabilisce come misurare la lontananza; il raggio stabilisce invece quale grado di vicinanza vogliamo considerare. Grazie a questa distinzione potremo usare un unico linguaggio in $\mathbb R$ , nel piano, nello spazio, in $\mathbb C$ e, più avanti, in ambienti molto meno legati alla geometria ordinaria.

La distanza usuale sulla retta reale

Cominciamo dall'ambiente più familiare. Se due numeri reali vengono rappresentati come punti su una retta, la loro distanza è la lunghezza del segmento che li congiunge. Poiché una lunghezza non può essere negativa e non deve dipendere da quale dei due punti nominiamo per primo, il valore assoluto è esattamente lo strumento adatto.

Per $x,y\in\mathbb R$ , la distanza usuale fra $x$ e $y$ è

d(x,y)=|x-y|.

Geometricamente, $|x-y|$ è la lunghezza del segmento della retta reale che ha estremi $x$ e $y$ . L'ordine degli estremi non conta:

|x-y|=|y-x|.

Per esempio,

d(-2,5)=|-2-5|=7, \qquad d(5,-2)=|5-(-2)|=7.

La condizione « $x$ dista da $p$ meno di $r$ » si scrive

|x-p|&lt;r.

Se $r>0$ , questa disuguaglianza equivale a

-r&lt;x-p&lt;r,

e quindi a

p-r&lt;x&lt;p+r.

Pertanto

|x-p|&lt;r \iff x\in(p-r,p+r).

Vale la pena soffermarsi su questa equivalenza. La prima scrittura parla di distanza, la seconda di appartenenza a un intervallo. Non sono due condizioni diverse: sono due modi di leggere lo stesso fatto. Questa doppia lettura sarà uno dei passaggi fondamentali nella formulazione $\varepsilon$ - $N$ del limite.

La disuguaglianza triangolare

Per lavorare con una distanza non basta saperla calcolare. Serve anche un modo per confrontare un percorso diretto con un percorso che passa per un punto intermedio. È questo il contenuto della disuguaglianza triangolare, il cui nome richiama la ben nota proprietà dei lati di un triangolo.

Interpretazione geometrica. Per andare da $x$ a $y$ , il percorso diretto non è più lungo di un percorso che passa per un terzo punto $z$ .

Per ogni $x,y,z\in\mathbb R$ ,

|x-y|\le |x-z|+|z-y|.

Infatti,

x-y=(x-z)+(z-y),

e la tesi segue dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto:

|a+b|\le |a|+|b|.

L'uguaglianza può verificarsi, ma non è obbligatoria. Per esempio,

|0-5|=|0-2|+|2-5|=5,

mentre

|0-2|&lt;|0-5|+|5-2|.

La disuguaglianza triangolare inversa

La disuguaglianza triangolare ha una conseguenza meno immediata, ma altrettanto utile. Se due punti $x$ e $y$ sono vicini tra loro, allora le loro distanze dall'origine non possono essere molto diverse. In altre parole, spostare di poco un punto può modificare di poco la sua distanza dall'origine.

Disuguaglianza Triangolare Inversa

Proposizione. Per ogni $x,y\in\mathbb R$ ,

\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|.

Dimostrazione. Dalla disuguaglianza triangolare,

|x|=|(x-y)+y|\le |x-y|+|y|,

perciò

|x|-|y|\le |x-y|.

Scambiando $x$ e $y$ si ottiene

|y|-|x|\le |x-y|.

Le ultime due disuguaglianze equivalgono a

\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|. \qquad\Box

La disuguaglianza afferma che la differenza fra le distanze di $x$ e $y$ dall'origine non può superare la distanza fra $x$ e $y$ .

Definizione formale

Le proprietà appena osservate sulla retta reale non dipendono davvero dall'ordine dei numeri reali. Possiamo quindi astrarle e chiedere a una qualunque funzione $d$ di comportarsi come una distanza. È un passaggio importante: non stiamo abbandonando l'intuizione geometrica, ma stiamo individuando esattamente quali sue caratteristiche saranno utilizzate nelle dimostrazioni.

Metrica o Distanza

Sia $X\neq\varnothing$ .

Una metrica, o distanza, su $X$ è una funzione

d:X\times X\longrightarrow [0,+\infty)

tale che, per ogni $x,y,z\in X$ , valgano le proprietà seguenti:

separazione

$d(x,y)=0\iff x=y;$
simmetria

$d(x,y)=d(y,x);$
disuguaglianza triangolare

$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y).$

La coppia $(X,d)$ si chiama spazio metrico.

La non negatività è già incorporata nel codominio $[0,+\infty)$ . In una formulazione equivalente si assume $d:X\times X\to\mathbb R$ e si aggiunge esplicitamente

d(x,y)\ge 0.

È importante parlare della coppia $(X,d)$ , non soltanto dell'insieme $X$ . La distanza non è un accessorio implicito: fa parte della struttura. Lo stesso insieme può essere dotato di metriche diverse e, cambiando la metrica, possono cambiare le palle, gli intorni e perfino la limitatezza.

Significato degli assiomi

**Tabella 1:** Assiomi della distanza.
Assioma	Significato
$d(x,y)=0\iff x=y$	Due punti distinti hanno distanza positiva.
$d(x,y)=d(y,x)$	La distanza da $x$ a $y$ coincide con quella da $y$ a $x$ .
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$	Passare per un punto intermedio non accorcia il percorso rispetto alla distanza diretta.

La sola condizione $d(x,x)=0$ non basta: occorre anche che $d(x,y)=0$ implichi $x=y$ .

Esempio fondamentale: $\mathbb R$

La definizione astratta deve anzitutto restituire l'esempio da cui siamo partiti. Verifichiamo quindi che il valore assoluto soddisfi davvero tutti gli assiomi richiesti.

Su $X=\mathbb R$ , poniamo

d(x,y)=|x-y|.

La separazione e la simmetria seguono dalle proprietà del valore assoluto; la disuguaglianza triangolare è quella dimostrata nel paragrafo precedente. Quindi

(\mathbb R,d),\qquad d(x,y)=|x-y|,

è uno spazio metrico.

Salvo indicazione contraria, quando parleremo della distanza in $\mathbb R$ intenderemo sempre questa distanza, detta distanza usuale o euclidea.

La distanza euclidea in $\mathbb R^k$

Nel piano e nello spazio la distanza usuale è ancora la lunghezza del segmento che congiunge due punti. Le coordinate permettono di calcolarla mediante il teorema di Pitagora. La stessa formula si estende senza difficoltà a un numero qualunque, purché finito, di coordinate.

Per

x=(x_1,\ldots,x_k),\qquad y=(y_1,\ldots,y_k),

si definisce

d_2(x,y)=\|x-y\|_2 = \sqrt{\sum_{j=1}^{k}(x_j-y_j)^2}.

Per $k=2$ e $k=3$ questa è la distanza della geometria euclidea. La disuguaglianza triangolare

\|x-y\|_2\le \|x-z\|_2+\|z-y\|_2

è la disuguaglianza di Minkowski per la norma euclidea, già stabilita nello studio degli spazi euclidei. È precisamente questa proprietà a rendere $d_2$ una metrica.

La distanza usuale in $\mathbb C$

Un numero complesso può essere rappresentato come un punto del piano. Non sorprende quindi che il suo modulo produca la stessa distanza euclidea appena descritta, scritta però nel linguaggio naturale dei numeri complessi.

z=x+iy,\qquad w=u+iv,

si pone

d(z,w)=|z-w|.

Poiché

|z-w| = \sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2},

questa è esattamente la distanza euclidea fra i punti $(x,y)$ e $(u,v)$ del piano.

Per esempio,

d(1+2i,-2+6i) = |(1+2i)-(-2+6i)| = |3-4i| =5.

Approfondimento: Lo stesso insieme può avere metriche diverse

La distanza euclidea è la più familiare, ma non è l'unica possibile. Le metriche seguenti mostrano che si può misurare la separazione fra due vettori con criteri diversi: sommando gli scarti delle coordinate oppure prendendo soltanto lo scarto massimo.

Su $\mathbb R^k$ si possono considerare, oltre a $d_2$ , le metriche

d_\infty(x,y) = \max_{1\le j\le k}|x_j-y_j|

d_1(x,y) = \sum_{j=1}^{k}|x_j-y_j|.

Verifichiamo, per esempio, la disuguaglianza triangolare per $d_\infty$ . Per ogni coordinata $j$ ,

|x_j-y_j| \le |x_j-z_j|+|z_j-y_j| \le d_\infty(x,z)+d_\infty(z,y).

Prendendo il massimo rispetto a $j$ , otteniamo

d_\infty(x,y) \le d_\infty(x,z)+d_\infty(z,y).

Per $d_1$ si procede sommando, coordinata per coordinata, le disuguaglianze

|x_j-y_j|\le |x_j-z_j|+|z_j-y_j|.

Le tre metriche $d_1,d_2,d_\infty$ assegnano in generale valori diversi alla stessa coppia di punti. Danno quindi tre modi diversi di misurare la vicinanza, pur essendo definite sullo stesso insieme.

Approfondimento: La Metrica Discreta

L'esempio seguente porta l'astrazione un passo più avanti. Non abbiamo bisogno di numeri, coordinate o segmenti: è sufficiente poter stabilire se due elementi sono uguali oppure diversi.

Su un qualunque insieme non vuoto $X$ , definiamo

d_{\mathrm{disc}}(x,y) = \begin{cases} 0,&amp;x=y,\\ 1,&amp;x\ne y. \end{cases}

Separazione e simmetria sono immediate. Se $x=y$ , la disuguaglianza triangolare è ovvia. Se $x\ne y$ , almeno una fra le relazioni $x\ne z$ e $z\ne y$ deve essere vera; pertanto

1=d_{\mathrm{disc}}(x,y) \le d_{\mathrm{disc}}(x,z)+d_{\mathrm{disc}}(z,y).

Quindi $d_{\mathrm{disc}}$ è una metrica.

Questo esempio mostra che la nozione di distanza non presuppone che gli elementi di $X$ siano numeri o punti geometrici.

Formule che non definiscono una metrica

Non basta che una formula «assomigli» a una distanza. Quando viene proposta una nuova funzione, gli assiomi devono essere verificati uno per uno. I due esempi seguenti mostrano due modi diversi in cui il tentativo può fallire.

Controesempio 1

Su $\mathbb R$ , la funzione

\rho(x,y)=|x-y|^2

non è una metrica. Infatti

\rho(0,2)=4,

mentre

\rho(0,1)+\rho(1,2)=1+1=2.

La disuguaglianza triangolare fallisce.

Controesempio 2

Su $\mathbb R$ , la funzione

\sigma(x,y)=|x^2-y^2|

non separa i punti, perché

\sigma(1,-1)=0

benché $1\ne-1$ .

Disuguaglianza triangolare inversa in uno spazio metrico

La disuguaglianza triangolare inversa non è una particolarità del valore assoluto. La sua dimostrazione usa soltanto gli assiomi metrici e rimane quindi valida in ogni spazio metrico. Questa è una prima dimostrazione concreta del vantaggio dell'astrazione: un unico argomento copre contemporaneamente tutti gli esempi precedenti.

Una distanza di uno spazio metrico soddisfa sempre la disuguaglianza triangolare

Teorema. In ogni spazio metrico $(X,d)$ , per ogni $x,y,z\in X$ ,

\bigl|d(x,z)-d(y,z)\bigr|\le d(x,y).

Dimostrazione. Dalla disuguaglianza triangolare,

d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z),

e quindi

d(x,z)-d(y,z)\le d(x,y).

Scambiando $x$ e $y$ si ottiene

d(y,z)-d(x,z)\le d(x,y).

Le due disuguaglianze insieme danno la tesi. $\Box$

Definizione

Una volta stabilito come misurare le distanze, possiamo formalizzare l'espressione «stare entro un certo raggio da un punto». Il centro indica il punto rispetto al quale misuriamo la distanza; il raggio indica la tolleranza ammessa.

Palle

Definizione. Siano $(X,d)$ uno spazio metrico, $p\in X$ e $r > 0$ . La palla aperta di centro $p$ e raggio $r$ è

B(p,r)=\{x\in X:d(p,x) &lt; r\}.

La palla chiusa di centro $p$ e raggio $r$ è

\overline B(p,r)=\{x\in X:d(p,x)\le r\}.

La sfera di centro $p$ e raggio $r$ è

S(p,r)=\{x\in X:d(p,x)=r\}.

In questa lezione la parola palla, senza ulteriori specificazioni, indicherà una palla aperta.

Le espressioni «aperta» e «chiusa» distinguono qui le disuguaglianze $<r$ e $\le r$ : nel primo caso i punti della sfera sono esclusi, nel secondo sono inclusi. Per ora non occorre sviluppare la teoria generale degli insiemi aperti e chiusi; sarà sufficiente saper leggere correttamente queste due condizioni.

Palle nella retta reale

Sulla retta reale le palle hanno una forma particolarmente semplice: sono intervalli centrati nel punto $p$ . La parola «centrato» significa che i due estremi si trovano alla stessa distanza da $p$ .

Nella metrica usuale di $\mathbb R$ ,

B(p,r) = \{x\in\mathbb R:|x-p|&lt;r\} = (p-r,p+r),

mentre

\overline B(p,r) = \{x\in\mathbb R:|x-p|\le r\} = [p-r,p+r].

Inoltre,

S(p,r)=\{p-r,p+r\}.

Esempio. La palla $B(3,2)$ è

$B(3,2) = \{x\in\mathbb R:|x-3|<2\} = (1,5).$

Il centro $3$ appartiene alla palla; i punti $1$ e $5$ non vi appartengono.

Palle nel piano e in $\mathbb C$

Nel piano la stessa definizione produce la regione interna a una circonferenza. È utile insistere su questo punto, perché nel linguaggio comune si tende talvolta a confondere la circonferenza, che è il bordo, con il disco, che comprende anche i punti interni.

Nella metrica euclidea di $\mathbb R^2$ , se

p=(p_1,p_2),

allora

B(p,r) = \left\{ (x_1,x_2)\in\mathbb R^2: (x_1-p_1)^2+(x_2-p_2)^2&lt;r^2 \right\}.

Si tratta della regione interna alla circonferenza di centro $p$ e raggio $r$ , senza la circonferenza. In particolare, nel piano una palla non è la sola circonferenza.

In $\mathbb C$ ,

B(z_0,r)=\{z\in\mathbb C:|z-z_0|&lt;r\},

che è il disco aperto di centro $z_0$ e raggio $r$ .

Esempio. Scrivendo $z=x+iy$ , la palla

$B(1+i,\sqrt2)$

è descritta da

$|z-(1+i)|<\sqrt2 \iff (x-1)^2+(y-1)^2<2.$

Approfondimento: La forma dipende dalla metrica

La forma visibile di una palla non appartiene alla definizione: è una conseguenza della metrica scelta. Sullo stesso piano, metriche diverse producono dischi o quadrati. Ciò che resta invariato è la regola $d(p,x)<r$ .

Consideriamo $\mathbb R^2$ e una palla di centro $0=(0,0)$ .

**Tabella 2:** La parola «palla» indica quindi un insieme definito mediante una distanza; non implica che la figura debba essere rotonda nel senso euclideo.
Metrica	Condizione per $x=(x_1,x_2)\in B(0,r)$	Forma geometrica
$d_2$	$x_1^2+x_2^2<r^2$	disco euclideo
$d_\infty$	$\max{	x_1
$d_1$	$	x_1

Nella metrica discreta:

B(p,r) = \begin{cases} \{p\},&amp;0&lt;r\le 1,\\ X,&amp;r&gt;1. \end{cases}

In particolare, palle con raggi diversi possono coincidere.

Proprietà elementari delle palle

Prima di usare le palle per definire gli intorni, raccogliamo tre proprietà semplici ma decisive. Le prime due seguono direttamente dalla definizione; la terza richiede la disuguaglianza triangolare.

Siano $p\in X$ e $r,s>0$ .

Il centro appartiene sempre alla palla:

$p\in B(p,r),$

perché $d(p,p)=0<r$ .
Se $r\le s$ , allora

$B(p,r)\subseteq B(p,s).$
Ogni punto di una palla possiede una palla più piccola interamente contenuta nella prima.

La terza proprietà dice che, se un punto $q$ si trova all'interno di una palla, rimane un certo margine prima di raggiungerne il bordo. Quel margine può essere usato come raggio di una nuova palla centrata in $q$ .

Proposizione. Se $q\in B(p,r)$ , allora esiste $s>0$ tale che

$B(q,s)\subseteq B(p,r).$

Dimostrazione. Poiché $q\in B(p,r)$ ,

d(p,q)&lt;r.

Poniamo

s=r-d(p,q)&gt;0.

Se $x\in B(q,s)$ , allora $d(q,x)<s$ . Per la disuguaglianza triangolare,

d(p,x) \le d(p,q)+d(q,x) &lt; d(p,q)+s =r.

Quindi $x\in B(p,r)$ . $\Box$

Separare due punti distinti

Due punti distinti hanno distanza positiva. Possiamo quindi scegliere attorno a ciascuno di essi una palla abbastanza piccola da evitare sovrapposizioni. La dimostrazione seguente rende quantitativa questa intuizione.

Teorema di separazione. Se $p\ne q$ in uno spazio metrico, esistono due palle di uguale raggio, una centrata in $p$ e una centrata in $q$ , che non si intersecano.

Dimostrazione. Poiché $p\ne q$ ,

D=d(p,q)&gt;0.

Scegliamo $r=D/3$ . Se esistesse

x\in B(p,r)\cap B(q,r),

allora

D=d(p,q) \le d(p,x)+d(x,q) &lt;r+r =\frac{2D}{3},

che è impossibile. Dunque

B(p,r)\cap B(q,r)=\varnothing. \qquad\Box

Questa proprietà sarà alla base dell'unicità del limite.

Intorni

Dalla palla all'intorno

Una palla impone una forma molto precisa, determinata dal centro e dal raggio. Nelle definizioni di limite, però, vorremo esprimere una richiesta più flessibile: un insieme deve contenere tutti i punti sufficientemente vicini a $p$ , ma può anche contenere molti altri punti e avere una forma irregolare. Nasce così la nozione di intorno.

Definizione. Siano $(X,d)$ uno spazio metrico e $p\in X$ . Un insieme $U\subseteq X$ è un intorno di $p$ se esiste $r>0$ tale che

$B(p,r)\subseteq U.$

Una palla $B(p,r)$ è dunque un particolare intorno di $p$ ; può essere chiamata anche intorno circolare o intorno fondamentale.

In $\mathbb R$ , con la distanza usuale,

U\text{ è un intorno di }p \iff \exists r&gt;0:\ (p-r,p+r)\subseteq U. è

La forma complessiva di $U$ non conta. L'insieme può essere simmetrico oppure no, limitato oppure illimitato, aperto o chiuso a uno dei suoi estremi. Ciò che conta è la presenza, al suo interno, di almeno una zona completa attorno a $p$ .

Contenere il punto non basta

Qui compare una distinzione concettuale fondamentale. Dire $p\in U$ riguarda un solo punto; dire che $U$ è un intorno di $p$ richiede invece che vi sia un intero margine attorno a $p$ contenuto in $U$ .

Se $U$ è un intorno di $p$ , allora necessariamente $p\in U$ , perché

p\in B(p,r)\subseteq U.

Il converso, in generale, è falso.

Controesempio. L'insieme

$U=[0,1)$

contiene $0$ , ma non è un intorno di $0$ nella metrica usuale di $\mathbb R$ . Infatti, per ogni $r>0$ , il punto $-r/2$ appartiene a $B(0,r)=(-r,r)$ , ma non appartiene a $U$ . Nessuna palla centrata in $0$ è quindi contenuta in $U$ .

Al contrario,

V=[-1,1]

è un intorno di $0$ , perché, per esempio,

B(0,1/2)=(-1/2,1/2)\subseteq[-1,1].

Un intorno non deve dunque essere una palla e non deve avere tutti gli estremi esclusi. Deve semplicemente lasciare abbastanza spazio attorno al punto considerato.

Come verificare operativamente che un insieme è un intorno

La definizione suggerisce anche una procedura concreta. Non basta osservare un disegno e dichiarare che il punto «sembra interno»: bisogna esibire un raggio positivo che funzioni.

Tecnica operativa. Per dimostrare che $U$ è un intorno di $p$ :

si cerca un raggio $r>0$ ;

si prende un punto generico $x$ tale che $d(p,x)<r$ ;

si dimostra che $x\in U$ .

In simboli, occorre provare

\exists r&gt;0\ \forall x\in X: \bigl(d(p,x)&lt;r\implies x\in U\bigr).

Esempio svolto. Mostriamo che

$U=(-2,5]$

è un intorno di $p=1$ .

La distanza di $1$ dall'estremo sinistro è $3$ , mentre la distanza dall'estremo destro è $4$ . Scegliamo $r=3$ . Allora

$B(1,3)=(-2,4)\subseteq(-2,5]=U.$

Quindi $U$ è un intorno di $1$ .

Proprietà fondamentali degli intorni

Gli intorni si comportano bene rispetto all'ingrandimento e alle intersezioni finite. Queste proprietà saranno usate spesso senza essere ripetute ogni volta; conviene quindi comprenderne ora il meccanismo.

Proposizione. Siano $(X,d)$ uno spazio metrico e $p\in X$ .

Ogni intorno di $p$ contiene $p$ .

Se $U$ è un intorno di $p$ e $U\subseteq V\subseteq X$ , allora anche $V$ è un intorno di $p$ .

L'intersezione di un numero finito di intorni di $p$ è ancora un intorno di $p$ .

Dimostrazione.

È già stato osservato che $p\in B(p,r)\subseteq U$ .
Se $B(p,r)\subseteq U$ e $U\subseteq V$ , allora

$B(p,r)\subseteq V.$
Siano $U_1,\ldots,U_m$ intorni di $p$ . Per ogni $j$ esiste $r_j>0$ tale che

$B(p,r_j)\subseteq U_j.$

Poniamo

$r=\min\{r_1,\ldots,r_m\}>0.$

Allora, per ogni $j$ ,

$B(p,r)\subseteq B(p,r_j)\subseteq U_j,$

e quindi

$B(p,r)\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}U_j.$

L'intersezione è pertanto un intorno di $p$ . $\Box$

La parola finito è essenziale. Nell'intersezione di un numero finito di intorni possiamo scegliere il minimo dei raggi disponibili; con infiniti raggi, invece, il loro estremo inferiore può essere zero e non lasciare più alcun margine attorno al punto.

Controesempio. Nella metrica usuale di $\mathbb R$ , per ogni $n\ge 1$ l'insieme

$U_n=\left[-\frac1n,\frac1n\right]$

è un intorno di $0$ . Tuttavia

$\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n=\{0\},$

e $\{0\}$ non è un intorno di $0$ , perché non contiene alcun intervallo $(-r,r)$ con $r>0$ .

Nella metrica discreta, invece, $\{p\}=B(p,1)$ è un intorno di $p$ . Anche questa proprietà dipende quindi dalla metrica.

«Abbastanza vicino» in forma matematica

Possiamo ora dare un significato rigoroso a una frase che ricorrerà spesso. Quando diciamo che una proprietà vale «abbastanza vicino» a un punto, non intendiamo soltanto che essa vale nel punto, ma che continua a valere in un'intera zona attorno a esso.

Sia $P(x)$ una proprietà che può essere vera o falsa per $x\in X$ , e consideriamo l'insieme

A=\{x\in X:P(x)\text{ è vera}\}. è

Diremo che $P(x)$ è vera abbastanza vicino a $p$ se $A$ è un intorno di $p$ . Equivalentemente,

\exists r&gt;0\ \forall x\in X: \bigl(d(p,x)&lt;r\implies P(x)\bigr).

Questa espressione rende rigorosa l'idea di proprietà locale. Nelle lezioni sulle successioni la useremo in una forma dinamica: diremo che $a_n$ appartiene definitivamente a ogni intorno di $\ell$ . Significherà che, per quanto piccola sia la zona scelta attorno a $\ell$ , da un certo indice in poi tutti i termini della successione rimangono al suo interno.

Insiemi limitati

Definizione mediante una palla

Finora una palla è stata usata per descrivere ciò che accade vicino al suo centro. Possiamo anche utilizzarla come un contenitore. Un insieme è limitato quando tutti i suoi punti possono essere racchiusi insieme in una sola palla di raggio finito.

Definizione. Un sottoinsieme $A$ di uno spazio metrico $(X,d)$ si dice limitato se esistono un punto $p\in X$ e un numero $R>0$ tali che

$A\subseteq B(p,R).$

L'insieme vuoto è limitato, perché è contenuto in ogni palla.

L'avverbio uniformemente è importante: il medesimo raggio $R$ deve funzionare per ogni punto di $A$ . Non basta che ogni singolo punto abbia una distanza finita da $p$ , perché quella distanza potrebbe crescere senza alcun limite passando da un punto all'altro.

Il centro scelto non è essenziale

Nella definizione compare un centro $p$ , ma la limitatezza non dipende dalla sua scelta. Se una palla centrata in $p$ contiene l'insieme, possiamo trasferire il centro in un altro punto $q$ , purché aumentiamo il raggio della quantità necessaria. Ancora una volta, è la disuguaglianza triangolare a controllare l'operazione.

Proposizione. Se $A\subseteq B(p,R)$ , allora, per ogni $q\in X$ ,

$A\subseteq B\bigl(q,R+d(p,q)\bigr).$

Dimostrazione. Se $x\in A$ , allora $d(p,x)<R$ . Per la disuguaglianza triangolare,

d(q,x) \le d(q,p)+d(p,x) &lt; d(q,p)+R.

Quindi $x\in B(q,R+d(p,q))$ . $\Box$

Una volta provato che $A$ è contenuto in una palla, si può dunque cambiare il centro, aumentando eventualmente il raggio.

Limitatezza in $\mathbb R$ , $\mathbb R^k$ e $\mathbb C$

Negli ambienti più familiari la definizione metrica coincide con le nozioni già note. Sulla retta reale, essere contenuti in una palla significa essere compresi fra una barriera inferiore e una superiore. In uno spazio euclideo o nel piano complesso significa invece che le norme o i moduli rimangono uniformemente controllati.

Nella retta reale sono equivalenti le seguenti proprietà:

$A$ è limitato nella metrica usuale;
esiste $M>0$ tale che

$|x|\le M \qquad\text{per ogni }x\in A;$
$A$ è limitato sia superiormente sia inferiormente rispetto all'ordinamento di $\mathbb R$ .

La presenza di $\le M$ invece di $<M$ non crea differenze: se $|x|\le M$ , allora $|x|<M+1$ .

In $\mathbb R^k$ , con la metrica euclidea,

A\text{ è limitato} \iff \exists M&gt;0\ \forall x\in A:\ \|x\|_2\le M. è

In $\mathbb C$ ,

A\text{ è limitato} \iff \exists M&gt;0\ \forall z\in A:\ |z|\le M. è

Esempi.

$(0,1)$ è limitato, benché non contenga né il proprio estremo inferiore né il proprio estremo superiore.
$[0,+\infty)$ non è limitato.
Ogni palla è limitata.
Un insieme può essere infinito e limitato: per esempio

$\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\subseteq(0,2).$

La limitatezza non significa quindi né finitezza né esistenza di massimo e minimo. Essa dice soltanto che l'insieme non si estende arbitrariamente lontano rispetto alla distanza scelta.

Diametro

La definizione di limitatezza confronta tutti i punti con un centro esterno o interno all'insieme. Il diametro adotta un punto di vista diverso: confronta direttamente fra loro tutte le coppie di punti dell'insieme e registra la massima separazione possibile, intesa come estremo superiore.

Definizione. Se $A\neq\varnothing$ , il diametro di $A$ è

$\operatorname{diam}(A) = \sup\{d(x,y):x,y\in A\},$

dove il valore $+\infty$ è ammesso.

Proprio perché si tratta di un estremo superiore, tale distanza non deve necessariamente essere raggiunta da una coppia di punti. Il diametro può quindi essere perfettamente definito anche quando l'insieme non possiede due punti «più lontani» in senso stretto.

Teorema. Per ogni $A\neq\varnothing$ , sono equivalenti:

$A$ è contenuto in una palla;

$\operatorname{diam}(A)<+\infty$ .

Dimostrazione.

Supponiamo dapprima

A\subseteq B(p,R).

Per ogni $x,y\in A$ , la disuguaglianza triangolare dà

d(x,y) \le d(x,p)+d(p,y) &lt;2R.

Quindi

\operatorname{diam}(A)\le 2R&lt;+\infty.

Viceversa, supponiamo

D=\operatorname{diam}(A)&lt;+\infty.

Fissiamo $a\in A$ . Per ogni $x\in A$ ,

d(a,x)\le D&lt;D+1.

Pertanto

A\subseteq B(a,D+1),

e $A$ è limitato. $\Box$

Più in generale, se $A\subseteq\mathbb R$ è non vuoto e limitato, allora

\operatorname{diam}(A)=\sup A-\inf A.

Infatti, per ogni $x,y\in A$ ,

|x-y|\le \sup A-\inf A,

e quindi

\operatorname{diam}(A)\le\sup A-\inf A.

Viceversa, fissato $\varepsilon>0$ , per la definizione di estremo superiore e di estremo inferiore esistono $x_\varepsilon,y_\varepsilon\in A$ tali che

x_\varepsilon&gt;\sup A-\frac{\varepsilon}{2}, \qquad y_\varepsilon&lt;\inf A+\frac{\varepsilon}{2}.

Ne segue

|x_\varepsilon-y_\varepsilon| \ge x_\varepsilon-y_\varepsilon &gt; \sup A-\inf A-\varepsilon.

Poiché $\varepsilon$ è arbitrario,

\operatorname{diam}(A)\ge\sup A-\inf A,

e le due disuguaglianze provano l'uguaglianza.

In particolare, per un intervallo reale non degenere, aperto, chiuso o semiaperto,

\operatorname{diam}(I)=\sup I-\inf I.

Per esempio,

\operatorname{diam}((-2,3])=3-(-2)=5,

anche se il punto $-2$ non appartiene all'intervallo e nessuna coppia di punti dell'insieme ha distanza esattamente $5$ .

Insiemi finiti e unioni finite

Le proprietà seguenti formalizzano un'idea semplice: un numero finito di punti non può sfuggire arbitrariamente lontano, e riunire un numero finito di insiemi già controllati non distrugge la limitatezza.

Proposizione.

Ogni sottoinsieme finito di uno spazio metrico è limitato.

L'unione di un numero finito di insiemi limitati è limitata.

Aggiungere o togliere un numero finito di punti a un insieme limitato conserva la limitatezza.

Dimostrazione.

Sia

F=\{x_1,\ldots,x_m\}\neq\varnothing.

Fissato $p=x_1$ , il numero

R=1+\max_{1\le j\le m}d(p,x_j)

è positivo e soddisfa $F\subseteq B(p,R)$ . Quindi $F$ è limitato.

Consideriamo ora due insiemi limitati $A$ e $C$ , con

A\subseteq B(p,R), \qquad C\subseteq B(q,S).

Per $x\in C$ ,

d(p,x) \le d(p,q)+d(q,x) &lt; d(p,q)+S.

Scelto

T&gt; \max\{R,d(p,q)+S\},

si ha

A\cup C\subseteq B(p,T).

L'unione di due insiemi limitati è dunque limitata; per induzione lo stesso vale per ogni unione finita. La terza affermazione segue applicando la seconda al dato insieme e a un insieme finito. $\Box$

Questo risultato sarà utile quando dimostreremo che una successione convergente è limitata. La definizione di limite controllerà una coda della successione; gli eventuali termini rimasti fuori saranno soltanto un numero finito e potranno essere aggiunti senza perdere la limitatezza.

La limitatezza dipende dalla metrica

È naturale pensare alla retta reale come a un insieme illimitato, ma questa affermazione sottintende la distanza usuale. Se cambiamo la metrica, può cambiare anche la risposta alla domanda «l'insieme è limitato?».

Nella metrica usuale, $\mathbb R$ non è limitato. Se però su $\mathbb R$ consideriamo la metrica discreta, allora, fissato un qualunque $p\in\mathbb R$ ,

\mathbb R=B_{\mathrm{disc}}(p,2).

Lo stesso insieme è quindi illimitato rispetto a una metrica e limitato rispetto a un'altra. L'espressione « $A$ è limitato» deve sempre essere riferita, almeno implicitamente, alla distanza scelta.

Esempi svolti di difficoltà crescente

Esempio 1 — Da una disuguaglianza a una palla

Determinare l'insieme

A=\{x\in\mathbb R:|2x-6|&lt;4\}.

Si raccoglie il fattore $2$ :

|2x-6|=2|x-3|.

Quindi

2|x-3|&lt;4 \iff |x-3|&lt;2.

Pertanto

A=B(3,2)=(1,5).

Esempio 2 — Un insieme che è intorno di alcuni punti ma non di altri

Sia

U=[0,4).

$U$ è un intorno di $2$ , perché

$B(2,1)=(1,3)\subseteq U.$
$U$ è un intorno di $1/2$ , perché, per esempio,

$B\left(\frac12,\frac14\right) = \left(\frac14,\frac34\right) \subseteq U.$
$U$ non è un intorno di $0$ , benché $0\in U$ , perché ogni palla $B(0,r)$ contiene numeri negativi.
$U$ non è un intorno di $4$ , perché $4\notin U$ .

La proprietà di essere un intorno riguarda sempre una coppia: l'insieme $U$ e il punto considerato.

Esempio 3 — Una palla per la metrica $d_\infty$

In $\mathbb R^2$ , con

d_\infty(x,y)=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\},

descriviamo $B((1,-1),2)$ .

Il punto $(x_1,x_2)$ appartiene alla palla se e solo se

\max\{|x_1-1|,|x_2+1|\}&lt;2.

Ciò equivale al sistema

|x_1-1|&lt;2, \qquad |x_2+1|&lt;2,

ossia

-1&lt;x_1&lt;3, \qquad -3&lt;x_2&lt;1.

Quindi

B((1,-1),2)=(-1,3)\times(-3,1),

un quadrato senza lati.

Esempio 4 — Limitatezza e diametro

Consideriamo

A=(-2,3]\cup\{10\}\subseteq\mathbb R.

L'insieme è contenuto, per esempio, nella palla

B(4,7)=(-3,11),

e quindi è limitato.

Inoltre,

\inf A=-2, \qquad \sup A=10,

perciò

\operatorname{diam}(A)=10-(-2)=12.

Il diametro non è raggiunto: servirebbero simultaneamente i punti $-2$ e $10$ , ma $-2\notin A$ .

Esempio 5 — Una verifica completa degli assiomi

Sia $f:\mathbb R\to\mathbb R$ una funzione iniettiva e definiamo

d_f(x,y)=|f(x)-f(y)|.

Mostriamo che $d_f$ è una metrica.

$d_f(x,y)\ge0$ , perché è un valore assoluto.
$d_f(x,y)=0$ se e solo se $f(x)=f(y)$ ; poiché $f$ è iniettiva, ciò equivale a $x=y$ .
$d_f(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d_f(y,x)$ .
Per ogni $z\in\mathbb R$ ,

$\begin{aligned} d_f(x,y) &= |f(x)-f(y)|\\ &= |(f(x)-f(z))+(f(z)-f(y))|\\ &\le |f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|\\ &= d_f(x,z)+d_f(z,y). \end{aligned}$

Tutti gli assiomi sono verificati.

L'iniettività è indispensabile: se $f$ non fosse iniettiva, potrebbero esistere $x\ne y$ con $f(x)=f(y)$ , e quindi con $d_f(x,y)=0$ .

Distinzioni concettuali da conservare

**Tabella 3:** Distinzioni da tenere a mente.
Oggetto	Dati necessari	Definizione
distanza fra $x$ e $y$	due punti	$d(x,y)$
palla di centro $p$ e raggio $r$	un punto e un raggio	$B(p,r)=\{x:d(p,x)<r\}$
intorno di $p$	un punto e un insieme	$U$ contiene almeno una palla $B(p,r)$
insieme limitato	un insieme	$A$ è contenuto in almeno una palla
diametro di $A$	un insieme non vuoto	$\sup\{d(x,y):x,y\in A\}$

Una palla è un particolare insieme; un intorno è qualunque insieme che contenga una palla opportuna; un insieme limitato, invece, è contenuto in una palla. Le direzioni delle inclusioni sono opposte:

B(p,r)\subseteq U \qquad\text{per un intorno }U\text{ di }p,

mentre

A\subseteq B(p,R) \qquad\text{per un insieme limitato }A.

Errori frequenti

Confondere $|x-y|$ con $|x|-|y|$ . In generale

$|x-y|\ne |x|-|y|.$

Vale soltanto

$\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|.$
Verificare soltanto $d(x,x)=0$ . L'assioma richiede

$d(x,y)=0\iff x=y.$
Dimenticare la disuguaglianza triangolare. Non ogni funzione non negativa e simmetrica è una metrica; l'esempio $|x-y|^2$ lo mostra.
Usare un raggio nullo. Nelle definizioni di palla e di intorno si richiede sempre $r>0$ .
Pensare che una palla nel piano sia la sola circonferenza. La palla aperta euclidea contiene tutti i punti interni e non contiene la circonferenza.
Credere che ogni insieme contenente $p$ sia un intorno di $p$ . Occorre che l'insieme contenga un'intera palla centrata in $p$ .
Pensare che un intorno debba essere simmetrico o debba coincidere con una palla. È sufficiente che contenga una palla.
Confondere le inclusioni delle definizioni. Un intorno contiene una palla; un insieme limitato è contenuto in una palla.
Identificare “limitato” con “finito”. Esistono insiemi infiniti limitati.
Deducere da “limitato” l'esistenza di massimo e minimo. L'intervallo $(0,1)$ è limitato, ma non ha né massimo né minimo.
Dimenticare la metrica scelta. Palle, intorni e limitatezza possono cambiare quando cambia la distanza.

Esercizi svolti

Gli esercizi sono organizzati in tre livelli. Nei primi si consolidano le traduzioni fra formule e oggetti geometrici; nei successivi si usano direttamente le definizioni; gli ultimi propongono alcune estensioni che preparano lo studio più generale degli spazi metrici.

Livello A — Comprensione e calcolo

Esercizio 1

Calcolare, nella metrica usuale di $\mathbb R$ ,

d(-3,4),\qquad d(\sqrt2,-\sqrt2),\qquad d(a,-a).

Svolgimento.

Nella metrica usuale vale $d(x,y)=|x-y|$ . Pertanto

d(-3,4)=|-3-4|=|-7|=7.

Nel secondo caso,

d(\sqrt2,-\sqrt2) = |\sqrt2-(-\sqrt2)| = |2\sqrt2| = 2\sqrt2.

Infine,

d(a,-a)=|a-(-a)|=|2a|=2|a|.

L'ultima espressione deve contenere il valore assoluto: se $a<0$ , infatti, $2a$ sarebbe negativo e non potrebbe rappresentare una distanza.

Esercizio 2

Scrivere come intervalli

B(2,5),\qquad \overline B(-1,3),\qquad B\left(0,\frac12\right).

Svolgimento.

Sulla retta reale valgono

B(p,r)=(p-r,p+r)

\overline B(p,r)=[p-r,p+r].

Applicando le formule si ottiene

B(2,5)=(2-5,2+5)=(-3,7),

\overline B(-1,3)=[-1-3,-1+3]=[-4,2],

B\left(0,\frac12\right) = \left(-\frac12,\frac12\right).

Nel secondo intervallo gli estremi sono inclusi perché la palla è chiusa.

Esercizio 3

Scrivere nella forma $|x-p|<r$ gli intervalli

-4&lt;x&lt;6, \qquad 2&lt;x&lt;3.

Svolgimento.

Per ricavare centro e raggio di un intervallo $(a,b)$ , si calcolano rispettivamente il punto medio e la semilunghezza:

p=\frac{a+b}{2}, \qquad r=\frac{b-a}{2}.

Per $(-4,6)$ si ha

p=\frac{-4+6}{2}=1, \qquad r=\frac{6-(-4)}{2}=5.

Quindi

-4&lt;x&lt;6 \iff |x-1|&lt;5.

Per $(2,3)$ , invece,

p=\frac{2+3}{2}=\frac52, \qquad r=\frac{3-2}{2}=\frac12.

Pertanto

2&lt;x&lt;3 \iff \left|x-\frac52\right|&lt;\frac12.

Esercizio 4

Stabilire quali fra i seguenti insiemi sono intorni di $0$ nella metrica usuale di $\mathbb R$ :

(-1,2),\quad [0,2),\quad [-1,1],\quad \{0\},\quad (-1,0]\cup[0,1).

Svolgimento.

Un insieme è un intorno di $0$ se contiene un intervallo $(-r,r)$ per qualche $r>0$ .

L'insieme $(-1,2)$ è un intorno di $0$ , perché

$B\left(0,\frac12\right) = \left(-\frac12,\frac12\right) \subseteq(-1,2).$
L'insieme $[0,2)$ non è un intorno di $0$ . Ogni palla $(-r,r)$ contiene numeri negativi, che non appartengono a $[0,2)$ .
L'insieme $[-1,1]$ è un intorno di $0$ , perché, per esempio,

$B\left(0,\frac12\right)\subseteq[-1,1].$
Il singoletto $\{0\}$ non è un intorno di $0$ nella metrica usuale: nessun intervallo $(-r,r)$ , con $r>0$ , è contenuto in $\{0\}$ .
Si osservi infine che

$(-1,0]\cup[0,1)=(-1,1).$

Questo insieme è quindi un intorno di $0$ , perché contiene, ad esempio, $B(0,1/2)$ .

Gli intorni richiesti sono dunque $(-1,2)$ , $[-1,1]$ e $(-1,0]\cup[0,1)$ .

Esercizio 5

Stabilire quali dei seguenti insiemi sono limitati:

(0,1),\quad \mathbb Z,\quad \left\{\frac{n}{n+1}:n\ge1\right\},\quad (-\infty,3],\quad \{(-1)^n:n\ge1\}.

Svolgimento.

Esaminiamo gli insiemi uno per volta.

L'intervallo $(0,1)$ è limitato, perché

$(0,1)\subseteq B(0,2)=(-2,2).$
L'insieme $\mathbb Z$ non è limitato. Qualunque sia $R>0$ , esiste un intero $m>R$ ; dunque $m\notin B(0,R)$ . Poiché cambiare centro non modifica la limitatezza, nessuna palla può contenere tutti gli interi.
Per ogni $n\ge1$ ,

$0<\frac{n}{n+1}<1.$

Quindi

$\left\{\frac{n}{n+1}:n\ge1\right\}\subseteq(0,1)$

ed è limitato.
L'intervallo $(-\infty,3]$ non è limitato inferiormente e quindi non è limitato. Fissati arbitrariamente $p\in\mathbb R$ e $R>0$ , scegliamo

$x<\min\{3,p-R\}.$

Allora $x\in(-\infty,3]$ e, poiché $x<p-R$ ,

$|x-p|=p-x>R.$

Nessuna palla di centro $p$ e raggio $R$ può quindi contenere l'intero intervallo.
Poiché $(-1)^n$ assume soltanto i valori $-1$ e $1$ ,

$\{(-1)^n:n\ge1\}=\{-1,1\},$

che è un insieme finito e quindi limitato.

Esercizio 6

Nel piano complesso, descrivere geometricamente l'insieme

\{z\in\mathbb C:|z-(2-i)|\le3\}.

Svolgimento.

Scriviamo $z=x+iy$ . Allora

z-(2-i)=(x-2)+i(y+1),

e quindi

|z-(2-i)| = \sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}.

La condizione assegnata equivale a

(x-2)^2+(y+1)^2\le9.

Si tratta del disco chiuso di centro $(2,-1)$ e raggio $3$ . La circonferenza di bordo è compresa, perché nella disequazione compare il segno $\le$ .

Livello B — Uso delle definizioni

Esercizio 7

Stabilire quali delle seguenti funzioni definiscono una metrica su $\mathbb R$ , motivando ogni risposta:

d_1(x,y)=3|x-y|,

d_2(x,y)=|x-y|+1,

d_3(x,y)=|\arctan x-\arctan y|,

d_4(x,y)=|x^3-y^3|.

Svolgimento.

La funzione $d_1$ è una metrica. Non negatività, separazione e simmetria seguono da quelle del valore assoluto. Inoltre

\begin{aligned} d_1(x,y) &amp;=3|x-y|\\ &amp;\le3|x-z|+3|z-y|\\ &amp;=d_1(x,z)+d_1(z,y). \end{aligned}

La funzione $d_2$ non è una metrica, perché

d_2(x,x)=|x-x|+1=1\ne0.

La funzione $d_3$ è una metrica. Infatti è della forma

d_f(x,y)=|f(x)-f(y)|

con $f(x)=\arctan x$ . La funzione arcotangente è iniettiva, quindi $d_3(x,y)=0$ implica $x=y$ ; simmetria e disuguaglianza triangolare discendono dal valore assoluto.

Anche $d_4$ è una metrica. La funzione $f(x)=x^3$ è strettamente crescente e dunque iniettiva. Si può applicare lo stesso argomento usato per $d_3$ .

In conclusione, $d_1$ , $d_3$ e $d_4$ sono metriche; $d_2$ non lo è.

Esercizio 8

Dimostrare che, per ogni $r>0$ e per ogni $\varepsilon>0$ ,

B(p,r)\subseteq\overline B(p,r) \subseteq B(p,r+\varepsilon).

Svolgimento.

Se $x\in B(p,r)$ , allora $d(p,x)<r$ . A maggior ragione $d(p,x)\le r$ , quindi $x\in\overline B(p,r)$ . Questo prova la prima inclusione.

Se invece $x\in\overline B(p,r)$ , allora

d(p,x)\le r&lt;r+\varepsilon.

Ne segue $x\in B(p,r+\varepsilon)$ , e quindi è dimostrata anche la seconda inclusione. Il termine $\varepsilon>0$ serve a trasformare la disuguaglianza non stretta $d(p,x)\le r$ in quella stretta richiesta dalla palla aperta.

Esercizio 9

In $\mathbb R^2$ , descrivere mediante disequazioni le palle di centro $(1,2)$ e raggio $3$ per le metriche $d_1$ , $d_2$ e $d_\infty$ .

Svolgimento.

Poniamo $x=(x_1,x_2)$ e $p=(1,2)$ .

Per la metrica $d_1$ , la condizione è

d_1(x,p)=|x_1-1|+|x_2-2|&lt;3.

La palla è l'interno di un quadrato con diagonali parallele agli assi.

Per la metrica euclidea $d_2$ , si ha

d_2(x,p) = \sqrt{(x_1-1)^2+(x_2-2)^2}&lt;3.

Poiché entrambi i membri sono non negativi, si può elevare al quadrato:

(x_1-1)^2+(x_2-2)^2&lt;9.

Questa palla è un disco euclideo aperto.

Per la metrica $d_\infty$ , infine,

\max\{|x_1-1|,|x_2-2|\}&lt;3.

La condizione sul massimo equivale alle due condizioni simultanee

|x_1-1|&lt;3, \qquad |x_2-2|&lt;3.

Pertanto

-2&lt;x_1&lt;4, \qquad -1&lt;x_2&lt;5.

La palla è il quadrato aperto

(-2,4)\times(-1,5).

Esercizio 10

Dimostrare direttamente che

d_1(x,y)=\sum_{j=1}^{k}|x_j-y_j|

è una metrica su $\mathbb R^k$ .

Svolgimento.

Siano $x,y,z\in\mathbb R^k$ .

La non negatività è immediata, perché $d_1(x,y)$ è una somma di termini non negativi.

Se $x=y$ , tutte le differenze $x_j-y_j$ sono nulle e quindi $d_1(x,y)=0$ . Viceversa, se $d_1(x,y)=0$ , una somma di termini non negativi può essere nulla soltanto se ogni termine è nullo:

|x_j-y_j|=0 \qquad\text{per ogni }j.

Ne segue $x_j=y_j$ per ogni $j$ , cioè $x=y$ .

La simmetria deriva da

|x_j-y_j|=|y_j-x_j|

per ogni coordinata.

Infine, applicando la disuguaglianza triangolare del valore assoluto a ciascuna coordinata,

|x_j-y_j| \le |x_j-z_j|+|z_j-y_j|.

Sommando per $j=1,\ldots,k$ , otteniamo

\begin{aligned} d_1(x,y) &amp;= \sum_{j=1}^{k}|x_j-y_j|\\ &amp;\le \sum_{j=1}^{k}|x_j-z_j| + \sum_{j=1}^{k}|z_j-y_j|\\ &amp;= d_1(x,z)+d_1(z,y). \end{aligned}

Sono quindi verificati tutti gli assiomi di una metrica.

Esercizio 11

Siano $U$ e $V$ due intorni di $p$ . Dimostrare dalla definizione che $U\cap V$ è ancora un intorno di $p$ . Costruire poi una successione di intorni di $0$ la cui intersezione non sia un intorno di $0$ .

Svolgimento.

Poiché $U$ è un intorno di $p$ , esiste $r_U>0$ tale che

B(p,r_U)\subseteq U.

Analogamente, esiste $r_V>0$ tale che

B(p,r_V)\subseteq V.

Scegliamo

r=\min\{r_U,r_V\}&gt;0.

Allora

B(p,r)\subseteq B(p,r_U)\subseteq U

B(p,r)\subseteq B(p,r_V)\subseteq V.

Di conseguenza

B(p,r)\subseteq U\cap V,

e $U\cap V$ è un intorno di $p$ .

Per mostrare che il risultato non si estende automaticamente alle intersezioni infinite, consideriamo

U_n=\left[-\frac1n,\frac1n\right], \qquad n\ge1.

Ogni $U_n$ è un intorno di $0$ , perché contiene, per esempio,

B\left(0,\frac{1}{2n}\right).

Tuttavia,

\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n=\{0\}.

Il singoletto $\{0\}$ non contiene alcuna palla $B(0,r)$ con $r>0$ ; pertanto non è un intorno di $0$ .

Esercizio 12

Siano $a<b$ . Calcolare

\operatorname{diam}([a,b]), \qquad \operatorname{diam}((a,b)), \qquad \operatorname{diam}(\{1,4,9\}).

Svolgimento.

Nell'intervallo chiuso $[a,b]$ , per ogni $x,y\in[a,b]$ vale

|x-y|\le b-a.

La distanza $b-a$ è effettivamente raggiunta dalla coppia $a,b$ . Quindi

\operatorname{diam}([a,b])=b-a.

Per l'intervallo aperto $(a,b)$ vale ancora $|x-y|<b-a$ , ma possiamo scegliere punti arbitrariamente vicini ad $a$ e a $b$ . Per ogni $\varepsilon>0$ , se $\varepsilon$ è sufficientemente piccolo, i punti

x=a+\frac{\varepsilon}{2}, \qquad y=b-\frac{\varepsilon}{2}

appartengono a $(a,b)$ e soddisfano

|y-x|=b-a-\varepsilon.

Le distanze si avvicinano dunque quanto si vuole a $b-a$ , anche se non lo raggiungono. Pertanto

\operatorname{diam}((a,b))=b-a.

Nel terzo caso si confrontano le distanze fra le tre coppie:

|4-1|=3,\qquad |9-4|=5,\qquad |9-1|=8.

La massima è $8$ , dunque

\operatorname{diam}(\{1,4,9\})=8.

Esercizio 13

Dimostrare che ogni sottoinsieme di un insieme limitato è limitato.

Svolgimento.

Sia $A$ limitato e sia $C\subseteq A$ . Per definizione esistono $p\in X$ e $R>0$ tali che

A\subseteq B(p,R).

Componendo le inclusioni,

C\subseteq A\subseteq B(p,R).

La stessa palla che contiene $A$ contiene quindi anche $C$ . Per definizione, $C$ è limitato. Il caso $C=\varnothing$ è compreso, perché l'insieme vuoto è contenuto in ogni palla.

Esercizio 14

Siano $a<b$ . Dimostrare che aprire o chiudere gli estremi di un intervallo limitato non ne modifica il diametro.

Svolgimento.

Consideriamo uno qualunque degli intervalli

[a,b],\qquad (a,b),\qquad [a,b),\qquad (a,b].

In tutti i casi, se $x$ e $y$ appartengono all'intervallo, allora

a\le x\le b, \qquad a\le y\le b,

e quindi

|x-y|\le b-a.

Ne segue che il diametro non può superare $b-a$ .

D'altra parte, per ogni $\varepsilon>0$ sufficientemente piccolo possiamo scegliere due punti dell'intervallo, uno a distanza minore di $\varepsilon/2$ da $a$ e l'altro a distanza minore di $\varepsilon/2$ da $b$ . La loro distanza è maggiore di

b-a-\varepsilon.

Pertanto $b-a$ è l'estremo superiore delle distanze in tutti e quattro i casi:

\operatorname{diam}(I)=b-a.

Chiudere gli estremi può far sì che il diametro venga raggiunto; non ne cambia però il valore.

Livello C — Approfondimento

Esercizio 15

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $Y\subseteq X$ , con $Y\ne\varnothing$ . Dimostrare che la restrizione

d_Y=d|_{Y\times Y}

è una metrica su $Y$ . Essa si chiama metrica indotta.

Svolgimento.

La funzione $d_Y$ assegna a due punti di $Y$ la stessa distanza che essi hanno nello spazio $X$ . Poiché gli assiomi di $d$ valgono per tutti i punti di $X$ , valgono in particolare per i punti di $Y$ .

Più esplicitamente, per ogni $x,y,z\in Y$ :

d_Y(x,y)=d(x,y)\ge0;

d_Y(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y;

d_Y(x,y)=d(x,y)=d(y,x)=d_Y(y,x);

\begin{aligned} d_Y(x,y) &amp;=d(x,y)\\ &amp;\le d(x,z)+d(z,y)\\ &amp;=d_Y(x,z)+d_Y(z,y). \end{aligned}

Quindi $d_Y$ è una metrica su $Y$ .

Esercizio 16

Se $p\in Y\subseteq X$ , mostrare che la palla di centro $p$ e raggio $r$ nel sottospazio $Y$ è

B_Y(p,r)=B_X(p,r)\cap Y.

Svolgimento.

Per definizione della palla nel sottospazio,

B_Y(p,r) = \{y\in Y:d_Y(p,y)&lt;r\}.

Poiché $d_Y$ è la restrizione di $d$ , per $y\in Y$ vale $d_Y(p,y)=d(p,y)$ . Pertanto

\begin{aligned} B_Y(p,r) &amp;= \{y\in Y:d(p,y)&lt;r\}\\ &amp;= \{x\in X:d(p,x)&lt;r\}\cap Y\\ &amp;= B_X(p,r)\cap Y. \end{aligned}

La palla del sottospazio è quindi la parte della palla ambientale che rimane dentro $Y$ .

Esercizio 17

In uno spazio metrico discreto, determinare tutte le possibili palle e descrivere tutti gli intorni di un punto $p$ .

Svolgimento.

Nella metrica discreta,

d_{\mathrm{disc}}(p,x) = \begin{cases} 0,&amp;x=p,\\ 1,&amp;x\ne p. \end{cases}

Se $0<r\le1$ , la condizione $d_{\mathrm{disc}}(p,x)<r$ è soddisfatta soltanto da $x=p$ . Dunque

B(p,r)=\{p\} \qquad\text{se }0&lt;r\le1.

Se $r>1$ , anche i punti diversi da $p$ , che hanno distanza $1$ , entrano nella palla. Quindi

B(p,r)=X \qquad\text{se }r&gt;1.

Un insieme $U\subseteq X$ è un intorno di $p$ se contiene una palla centrata in $p$ . Poiché $B(p,1)=\{p\}$ , ciò avviene esattamente quando $p\in U$ . Nella metrica discreta, dunque, ogni insieme che contiene $p$ è un suo intorno.

Esercizio 18

Mostrare che $\mathbb R$ , dotato della metrica

d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|,

è uno spazio metrico limitato. Confrontare il risultato con la metrica usuale.

Svolgimento.

Abbiamo già osservato che questa funzione è una metrica, perché l'arcotangente è iniettiva. Per studiare la limitatezza ricordiamo che

-\frac{\pi}{2}&lt;\arctan x&lt;\frac{\pi}{2} \qquad\text{per ogni }x\in\mathbb R.

Fissiamo il centro $0$ . Poiché $\arctan 0=0$ ,

d(0,x)=|\arctan x|&lt;\frac{\pi}{2}

per ogni $x\in\mathbb R$ . Ne segue

\mathbb R=B_d\left(0,\frac{\pi}{2}\right),

e quindi l'intero spazio è limitato rispetto a questa metrica.

Con la metrica usuale, invece, $d_{\mathrm{eucl}}(0,x)=|x|$ può diventare arbitrariamente grande, quindi $\mathbb R$ non è limitato. L'esempio mostra in modo netto che la limitatezza non appartiene al solo insieme: dipende dalla metrica scelta.

Esercizio 19

Sia $A\ne\varnothing$ . Dimostrare che

\operatorname{diam}(A)=0 \iff A\text{ contiene un solo punto}.

Svolgimento.

Supponiamo dapprima che $A=\{a\}$ . L'unica coppia di punti di $A$ è $(a,a)$ , e

d(a,a)=0.

Pertanto $\operatorname{diam}(A)=0$ .

Viceversa, supponiamo che $\operatorname{diam}(A)=0$ . Per ogni $x,y\in A$ ,

0\le d(x,y)\le\operatorname{diam}(A)=0.

Quindi $d(x,y)=0$ , e l'assioma di separazione implica $x=y$ . Tutti gli elementi di $A$ coincidono. Poiché $A$ è non vuoto, esso contiene esattamente un punto.

Esercizio 20

Siano $A,C\ne\varnothing$ due insiemi limitati. Fissati $a\in A$ e $c\in C$ , dimostrare che

\operatorname{diam}(A\cup C) \le \operatorname{diam}(A) + \operatorname{diam}(C) + d(a,c).

Spiegare perché questa stima implica nuovamente che $A\cup C$ è limitato.

Svolgimento.

Indichiamo con

D_A=\operatorname{diam}(A), \qquad D_C=\operatorname{diam}(C).

Consideriamo due punti qualunque $x,y\in A\cup C$ .

Se $x,y\in A$ , allora

d(x,y)\le D_A \le D_A+D_C+d(a,c).

Lo stesso ragionamento vale se $x,y\in C$ .

Rimane il caso in cui i due punti appartengano a insiemi diversi. Supponiamo $x\in A$ e $y\in C$ . Inserendo i punti fissati $a$ e $c$ , la disuguaglianza triangolare dà

\begin{aligned} d(x,y) &amp;\le d(x,a)+d(a,c)+d(c,y)\\ &amp;\le D_A+d(a,c)+D_C. \end{aligned}

La stessa stima si ottiene scambiando $x$ e $y$ . Essa vale dunque per ogni coppia di punti di $A\cup C$ . Passando all'estremo superiore,

\operatorname{diam}(A\cup C) \le D_A+D_C+d(a,c).

Il membro destro è finito, perché $A$ e $C$ sono limitati e $d(a,c)$ è un numero reale finito. Ne segue che

\operatorname{diam}(A\cup C)&lt;+\infty,

e l'equivalenza fra diametro finito e limitatezza mostra che $A\cup C$ è limitato.

Testi di riferimento

Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, §3.2, pp. 47–51; §3.3, pp. 51–54; §3.5, pp. 62–64.
Giuseppe De Marco, Analisi Uno, §6.3, p. 195; §6.6, pp. 196–197; §§8.2–8.3, pp. 219–221.

Sintesi finale

Siamo partiti da una parola intuitiva, «vicino», e l'abbiamo trasformata in un linguaggio matematico preciso. In uno spazio metrico $(X,d)$ , la funzione $d$ associa a ogni coppia di punti la loro distanza e soddisfa separazione, simmetria e disuguaglianza triangolare. Quest'ultima è il vero motore operativo della teoria: permette di confrontare percorsi, di costruire palle più piccole dentro palle già date e di controllare un insieme anche quando si cambia il centro della palla che lo contiene.

Le distanze fondamentali incontrate nella lezione sono

d(x,y)=|x-y| \qquad (x,y\in\mathbb R),

d_2(x,y) = \sqrt{\sum_{j=1}^{k}(x_j-y_j)^2} \qquad (x,y\in\mathbb R^k),

d(z,w)=|z-w| \qquad (z,w\in\mathbb C).

Fissati un centro $p$ e un raggio $r>0$ , la palla aperta

B(p,r)=\{x\in X:d(p,x)&lt;r\}

raccoglie tutti i punti che sono più vicini a $p$ di quanto stabilito dal raggio. Un intorno di $p$ è invece un qualunque insieme $U$ che contenga almeno una di queste palle:

U\text{ è un intorno di }p \iff \exists r&gt;0:\ B(p,r)\subseteq U. è

La direzione dell'inclusione è importante. Nel caso degli intorni è la palla a essere contenuta nell'insieme; nel caso della limitatezza accade il contrario:

A\text{ è limitato} \iff \exists p\in X\ \exists R&gt;0:\ A\subseteq B(p,R). è

Per un insieme non vuoto, questa condizione equivale ad avere diametro finito:

A\text{ è limitato} \iff \operatorname{diam}(A)&lt;+\infty. è

Sulla retta reale tutte le idee della lezione si ricompongono nella catena

x\in B(p,r) \iff |x-p|&lt;r \iff p-r&lt;x&lt;p+r.

Questa equivalenza è il ponte verso lo studio delle successioni. Quando scriveremo che i termini $a_n$ diventano arbitrariamente vicini a un numero $\ell$ , potremo leggere la stessa affermazione in tre modi: come controllo della distanza $|a_n-\ell|$ , come appartenenza a una palla centrata in $\ell$ , oppure come permanenza in un intervallo sempre più piccolo attorno a $\ell$ .

Distanza, Palle e Intorni

Prerequisiti

Obiettivi formativi

Perché introdurre una distanza?

La distanza usuale sulla retta reale

Il valore assoluto come distanza

La disuguaglianza triangolare

La disuguaglianza triangolare inversa

Spazi metrici

Definizione formale

Significato degli assiomi

Esempio fondamentale: \mathbb R

La distanza euclidea in \mathbb R^k

La distanza usuale in \mathbb C

Approfondimento: Lo stesso insieme può avere metriche diverse

Approfondimento: La Metrica Discreta

Formule che non definiscono una metrica

Disuguaglianza triangolare inversa in uno spazio metrico

Palle

Definizione

Palle nella retta reale

Palle nel piano e in \mathbb C

Approfondimento: La forma dipende dalla metrica

Proprietà elementari delle palle

Separare due punti distinti

Intorni

Dalla palla all'intorno

Contenere il punto non basta

Come verificare operativamente che un insieme è un intorno

Proprietà fondamentali degli intorni

«Abbastanza vicino» in forma matematica

Insiemi limitati

Definizione mediante una palla

Il centro scelto non è essenziale

Limitatezza in \mathbb R, \mathbb R^k e \mathbb C

Diametro

Insiemi finiti e unioni finite

La limitatezza dipende dalla metrica

Esempi svolti di difficoltà crescente

Esempio 1 — Da una disuguaglianza a una palla

Esempio 2 — Un insieme che è intorno di alcuni punti ma non di altri

Esempio 3 — Una palla per la metrica d_\infty

Esempio 4 — Limitatezza e diametro

Esempio 5 — Una verifica completa degli assiomi

Distinzioni concettuali da conservare

Errori frequenti

Esercizi svolti

Livello A — Comprensione e calcolo

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Livello B — Uso delle definizioni

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Esercizio 13

Esercizio 14

Livello C — Approfondimento

Esercizio 15

Esercizio 16

Esercizio 17

Esercizio 18

Esercizio 19

Esercizio 20

Testi di riferimento

Sintesi finale

Esempio fondamentale: $\mathbb R$

La distanza euclidea in $\mathbb R^k$

La distanza usuale in $\mathbb C$

Palle nel piano e in $\mathbb C$

Limitatezza in $\mathbb R$ , $\mathbb R^k$ e $\mathbb C$

Esempio 3 — Una palla per la metrica $d_\infty$