Retta Reale Estesa e Intorni dell'Infinito

Prima di entrare nei dettagli, raccogliamo le idee che dovranno rimanere al termine della lezione:

la retta reale estesa si ottiene aggiungendo a $\mathbb R$ i due simboli $-\infty$ e $+\infty$ ;
i simboli $-\infty$ e $+\infty$ non sono numeri reali e non rappresentano numeri «molto grandi» in valore assoluto;
l'ordine dei numeri reali viene esteso ponendo $-\infty < x < +\infty$ per ogni $x\in\mathbb R$ ;
gli intorni fondamentali di $+\infty$ sono le semirette $(M,+\infty]$ , mentre quelli di $-\infty$ sono le semirette $[-\infty,M)$ ;
per restringere un intorno di $+\infty$ bisogna aumentare la soglia $M$ ; per restringere un intorno di $-\infty$ bisogna diminuirla;
quando si considerano soltanto numeri reali, appartenere a $(M,+\infty]$ equivale semplicemente a essere maggiore di $M$ , mentre appartenere a $[-\infty,M)$ equivale a essere minore di $M$ ;
un insieme che contiene numeri arbitrariamente grandi non è necessariamente un intorno di $+\infty$ : per esserlo deve contenere un'intera semiretta terminale;
i punti $+\infty$ e $-\infty$ permettono di descrivere due direzioni diverse e non devono essere sostituiti da un unico simbolo $\infty$ ;
la retta reale estesa può essere dotata di una metrica che trasforma i suoi due punti ideali negli estremi di un intervallo chiuso e limitato.

Prerequisiti

Si suppongono noti:

la retta reale e il suo ordinamento;
gli intervalli limitati e le semirette;
il valore assoluto;
le nozioni di maggiorante, minorante e insieme limitato;
la proprietà archimedea dei numeri reali;
le definizioni di palla e di intorno introdotte nella lezione P1;
le proprietà fondamentali degli intorni, in particolare la stabilità per sovrainsiemi e per intersezioni finite.

La costruzione metrica dell'ultima parte è un approfondimento. Per comprenderne l'idea è sufficiente conoscere la definizione di spazio metrico.

Obiettivi formativi

Al termine della lezione si dovrà essere in grado di:

definire la retta reale estesa $\overline{\mathbb R}$ ;
distinguere con precisione un numero reale dai simboli $+\infty$ e $-\infty$ ;
usare correttamente l'ordine in $\overline{\mathbb R}$ ;
interpretare gli intervalli che hanno un estremo infinito;
definire e riconoscere gli intorni di $+\infty$ e di $-\infty$ ;
tradurre l'appartenenza a un intorno dell'infinito in una disuguaglianza;
distinguere un vero intorno nella retta estesa dalla sua traccia sulla retta reale;
confrontare intorni dell'infinito e calcolarne intersezioni finite;
spiegare perché contenere punti arbitrariamente grandi non equivale a contenere un intorno di $+\infty$ ;
riconoscere quali manipolazioni con i simboli infiniti sono prive di significato;
comprendere, come approfondimento, una metrica naturale su $\overline{\mathbb R}$ .

Perché aggiungere due punti alla retta reale?

Tre modi diversi di essere illimitati

Consideriamo i tre insiemi

A=\{1,2,3,\ldots\},

B=\{-1,-2,-3,\ldots\}

C=A\cup B.

Tutti e tre sono illimitati, ma non nello stesso modo:

$A$ è illimitato superiormente, ma è limitato inferiormente;
$B$ è illimitato inferiormente, ma è limitato superiormente;
$C$ è illimitato sia superiormente sia inferiormente.

La sola parola «illimitato» non registra quindi la direzione nella quale l'insieme si estende. Per descrivere questa differenza introduciamo due punti ideali:

$+\infty$ rappresenta la direzione dei numeri reali sempre più grandi;
$-\infty$ rappresenta la direzione dei numeri reali sempre più piccoli.

È essenziale usare due simboli distinti. Un unico punto $\infty$ non permetterebbe di distinguere il comportamento verso destra da quello verso sinistra.

L'infinito non è un traguardo numerico

Quando diciamo che un numero reale $x$ diventa «grande», non intendiamo che si avvicini a un numero reale particolarmente lontano. Qualunque numero reale venga scelto, esistono sempre numeri ancora più grandi. Non c'è quindi, dentro $\mathbb R$ , un ultimo punto collocato alla fine della retta.

Il simbolo $+\infty$ serve a esprimere una direzione:

andare verso $+\infty$ significa superare ogni soglia reale fissata.

Simmetricamente:

andare verso $-\infty$ significa scendere al di sotto di ogni soglia reale fissata.

Queste frasi contengono già l'idea che guiderà la definizione degli intorni dell'infinito. Vicino a $+\infty$ non significherà essere a una piccola distanza euclidea da un numero, ma trovarsi sufficientemente a destra sulla retta. Vicino a $-\infty$ significherà invece trovarsi sufficientemente a sinistra.

La retta reale estesa

Definizione

Definizione. La retta reale estesa è l'insieme

$\overline{\mathbb R} = \mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}.$

I simboli $-\infty$ e $+\infty$ sono, per definizione, distinti fra loro e non appartengono a $\mathbb R$ . Pertanto

-\infty\notin\mathbb R, \qquad +\infty\notin\mathbb R

\overline{\mathbb R}\setminus\mathbb R = \{-\infty,+\infty\}.

L'aggettivo «estesa» indica precisamente che la retta reale è stata ampliata con due nuovi elementi. Si ha l'inclusione propria

\mathbb R\subsetneq\overline{\mathbb R}.

L'ordine nella retta estesa

L'ordine usuale di $\mathbb R$ viene prolungato dichiarando che

-\infty&lt;x&lt;+\infty \qquad \text{per ogni }x\in\mathbb R.

In particolare, $-\infty$ è il minimo di $\overline{\mathbb R}$ e $+\infty$ è il massimo:

\min\overline{\mathbb R}=-\infty, \qquad \max\overline{\mathbb R}=+\infty.

Questo non significa che $\mathbb R$ possieda un minimo o un massimo. Infatti i due estremi appartengono a $\overline{\mathbb R}$ , ma non a $\mathbb R$ .

Osservazione. In $\mathbb R$ non esiste un numero maggiore di tutti i numeri reali. In $\overline{\mathbb R}$ esiste invece un elemento maggiore di ogni numero reale, perché lo abbiamo aggiunto per definizione e lo abbiamo chiamato $+\infty$ .

Intervalli con estremi infiniti

Una volta esteso l'ordine, possiamo usare la notazione degli intervalli anche in $\overline{\mathbb R}$ . Se $a\in\mathbb R$ , poniamo

[-\infty,a) = \{-\infty\}\cup\{x\in\mathbb R:x&lt;a\},

[-\infty,a] = \{-\infty\}\cup\{x\in\mathbb R:x\le a\},

(a,+\infty] = \{x\in\mathbb R:x&gt;a\}\cup\{+\infty\}

[a,+\infty] = \{x\in\mathbb R:x\ge a\}\cup\{+\infty\}.

Le parentesi quadre accanto a $-\infty$ o a $+\infty$ indicano che il corrispondente punto della retta estesa appartiene all'intervallo. Per esempio,

+\infty\in(5,+\infty], \qquad +\infty\notin(5,+\infty).

Analogamente,

-\infty\in[-\infty,2), \qquad -\infty\notin(-\infty,2).

Si hanno inoltre le identità

[-\infty,+\infty]=\overline{\mathbb R}

(-\infty,+\infty)=\mathbb R.

La seconda formula merita attenzione: nell'intervallo $(-\infty,+\infty)$ entrambi i punti ideali sono esclusi, perciò rimangono esattamente i numeri reali.

Due notazioni simili, ma ambienti diversi

Nell'analisi elementare la scrittura

(a,+\infty)

indica normalmente la semiretta reale

\{x\in\mathbb R:x&gt;a\}.

In questo uso, $+\infty$ non è un elemento dell'intervallo: è soltanto un simbolo che indica che la semiretta non ha un estremo destro reale.

Nella retta estesa possiamo invece scrivere

(a,+\infty] = (a,+\infty)\cup\{+\infty\}.

Questa volta il punto $+\infty$ è incluso. La differenza fra parentesi tonda e parentesi quadra non è dunque decorativa: distingue la semiretta reale dal corrispondente intervallo della retta estesa che contiene il punto ideale.

Lo stesso vale a sinistra:

[-\infty,a) = \{-\infty\}\cup(-\infty,a).

Ordine sì, aritmetica no

In questa lezione useremo $-\infty$ e $+\infty$ soltanto come elementi ordinati e come centri di intorni. Non li tratteremo come numeri sui quali eseguire liberamente le operazioni aritmetiche.

Sono perfettamente significative, per esempio, le relazioni

-\infty&lt;3.5&lt;+\infty

\sup\mathbb R=+\infty \qquad \text{in }\overline{\mathbb R}.

Non hanno invece un valore assegnato, senza ulteriori convenzioni, espressioni come

+\infty-(+\infty), \qquad \frac{+\infty}{+\infty}, \qquad 0\cdot(+\infty).

Queste scritture compariranno più avanti come forme indeterminate. Il loro significato riguarderà il confronto fra grandezze variabili, non un calcolo aritmetico fra due numeri chiamati «infinito».

Anche la scrittura

\frac{1}{+\infty}=0

non è, in senso stretto, una divisione fra numeri reali. Può essere usata informalmente per ricordare un comportamento limite, ma non sostituisce una definizione.

Gli intorni dei punti reali nella retta estesa

Nella retta reale, un insieme $U\subseteq\mathbb R$ è un intorno del punto $\ell\in\mathbb R$ se contiene un intervallo aperto centrato in $\ell$ . Equivalentemente, deve esistere $\varepsilon>0$ tale che

(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)\subseteq U.

Il numero $\varepsilon$ misura quanto piccolo sia l'intervallo che siamo riusciti a inserire in $U$ . L'insieme $U$ può essere molto più grande dell'intervallo e può avere una forma più complessa: ciò che conta è che contenga almeno un intervallo centrato in $\ell$ .

La stessa definizione dentro $\overline{\mathbb R}$

Se consideriamo un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ , diciamo che $U$ è un intorno del punto reale $\ell$ quando esiste $\varepsilon>0$ tale che

(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)\subseteq U.

La presenza eventuale di $+\infty$ o di $-\infty$ dentro $U$ non cambia la verifica. Per essere un intorno di $\ell$ , l'insieme deve comunque contenere un piccolo intervallo reale attorno a $\ell$ .

Esempio. L'insieme

$U=(1.7,2.4]\cup\{+\infty\}$

è un intorno di $2$ . Infatti

$(1.9,2.1)\subseteq U.$

La presenza di $+\infty$ è irrilevante per questa conclusione.

Controesempio. L'insieme

$V=\{2,+\infty\}$

contiene il punto $2$ , ma non è un suo intorno. Qualunque intervallo aperto centrato in $2$ contiene numeri reali diversi da $2$ , che non appartengono a $V$ .

Questa parte della teoria non cambia rispetto a P1. La novità riguarda esclusivamente gli intorni dei due punti aggiunti.

Gli intorni di $+\infty$

L'idea geometrica

Essere vicini a $+\infty$ significa trovarsi abbastanza a destra sulla retta. Ma «abbastanza a destra» dipende dalla precisione richiesta. Una soglia come $10$ può bastare in un problema, mentre in un altro potrebbe essere necessario superare $10^6$ .

Una volta scelta una soglia reale $M$ , tutti i punti che si trovano oltre tale soglia formano l'intervallo

(M,+\infty].

Questo insieme contiene:

tutti i numeri reali $x$ tali che $x>M$ ;
il punto ideale $+\infty$ .

Al crescere di $M$ , l'intervallo si sposta verso destra e diventa più piccolo. È questo il comportamento che ci aspettiamo dagli intorni sempre più stretti di $+\infty$ .

Intorni fondamentali

Definizione. Per ogni $M\in\mathbb R$ , l'insieme

$I_M^+=(M,+\infty]$

è un intorno fondamentale di $+\infty$ .

La parola «fondamentale» indica che questi intervalli costituiscono i modelli più semplici di intorno. Un intorno generale può essere più grande e può contenere punti aggiuntivi.

Intorni generali

Definizione. Un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ è un intorno di $+\infty$ se esiste una soglia $M\in\mathbb R$ tale che

$(M,+\infty]\subseteq U.$

Questa definizione ha la stessa struttura della definizione di intorno di un punto reale:

vicino a un punto reale $\ell$ , l'insieme deve contenere un intervallo centrato in $\ell$ ;
vicino a $+\infty$ , l'insieme deve contenere un'intera semiretta terminale insieme al punto $+\infty$ .

Esempio 1. L'insieme

$U=(100,+\infty]$

è un intorno di $+\infty$ per definizione.

Esempio 2. Anche

$V=[-3,0]\cup(100,+\infty]$

è un intorno di $+\infty$ . La parte $[-3,0]$ non ha alcun ruolo nella verifica: è sufficiente che $V$ contenga $(100,+\infty]$ .

Esempio 3. L'insieme

$W=\overline{\mathbb R}\setminus\{0\}$

è un intorno di $+\infty$ , perché

$(1,+\infty]\subseteq W.$

Insiemi che non sono intorni di $+\infty$

Il fatto che un insieme contenga $+\infty$ è necessario, ma non sufficiente. Occorre che contenga anche tutti i numeri reali oltre una certa soglia.

L'insieme

\{+\infty\}

non è un intorno di $+\infty$ : nessuna semiretta $(M,+\infty]$ può essere contenuta in un insieme formato da un solo punto.

Anche

\mathbb N\cup\{+\infty\}

non è un intorno di $+\infty$ . L'insieme contiene numeri arbitrariamente grandi, ma non contiene una semiretta. Qualunque sia $M$ , possiamo scegliere un numero naturale $n>M$ e considerare il numero reale non naturale

n+\frac12,

che appartiene a $(M,+\infty]$ ma non a $\mathbb N\cup\{+\infty\}$ .

Infine,

(0,+\infty)

non è, come sottoinsieme di $\overline{\mathbb R}$ , un intorno di $+\infty$ , perché non contiene il proprio centro $+\infty$ . Esso è però la traccia reale dell'intorno $(0,+\infty]$ . Questa distinzione verrà chiarita nel paragrafo successivo.

L'appartenenza di un numero reale

Se $x\in\mathbb R$ , allora

x\in(M,+\infty] \iff x&gt;M.

Il punto $+\infty$ compare nella definizione dell'intorno, ma scompare quando verifichiamo l'appartenenza di un numero reale. Questa equivalenza è il ponte fra il linguaggio degli intorni e quello delle disuguaglianze.

Quando applicheremo la definizione a una successione di numeri reali, dire che un termine appartiene a $(M,+\infty]$ significherà semplicemente dire che quel termine è maggiore di $M$ .

La traccia reale di un intorno

Se $U$ è un intorno di $+\infty$ in $\overline{\mathbb R}$ , la sua traccia su $\mathbb R$ è

U\cap\mathbb R.

Poiché $U$ contiene un intervallo $(M,+\infty]$ , la sua traccia contiene la semiretta reale

(M,+\infty).

Viceversa, se un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ contiene $+\infty$ e la sua traccia reale contiene $(M,+\infty)$ , allora

(M,+\infty]\subseteq U,

perciò $U$ è un intorno di $+\infty$ .

Otteniamo così la caratterizzazione seguente.

Proposizione. Un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ è un intorno di $+\infty$ se e solo se:

$+\infty\in U$ ;

esiste $M\in\mathbb R$ tale che

$$ (M,+\infty)\subseteq U\cap\mathbb R. $$

In molti testi, quando si lavora esclusivamente con variabili o successioni a valori reali, la semiretta $(M,+\infty)$ viene chiamata per brevità «intorno di $+\infty$ ». Si tratta di un abuso di linguaggio efficace, purché si ricordi che:

il vero intorno nella retta estesa è $(M,+\infty]$ ;
$(M,+\infty)$ è la parte reale di quell'intorno.

Confrontare due intorni fondamentali

Siano $M_1,M_2\in\mathbb R$ . Se

M_1&lt;M_2,

allora

(M_2,+\infty]\subsetneq(M_1,+\infty].

La soglia più grande produce quindi l'intorno più piccolo. Per avvicinarsi maggiormente a $+\infty$ bisogna spostare la soglia verso destra.

Per esempio,

(1000,+\infty]\subset(100,+\infty]\subset(10,+\infty].

Intersezioni finite

L'intersezione di due intorni fondamentali di $+\infty$ è ancora un intorno fondamentale:

(M_1,+\infty]\cap(M_2,+\infty] = (\max\{M_1,M_2\},+\infty].

Più in generale,

\bigcap_{j=1}^{k}(M_j,+\infty] = \left(\max_{1\le j\le k}M_j,+\infty\right].

La presenza di un massimo è garantita perché le soglie sono in numero finito.

Le intersezioni infinite si comportano diversamente. Per esempio,

\bigcap_{m\in\mathbb N}(m,+\infty] = \{+\infty\}.

Il singoletto $\{+\infty\}$ non è un intorno di $+\infty$ . Dunque un'intersezione infinita di intorni non è necessariamente un intorno.

Gli intorni di $-\infty$

L'idea geometrica

La costruzione è simmetrica. Essere vicini a $-\infty$ significa trovarsi abbastanza a sinistra sulla retta, cioè al di sotto di una soglia reale.

Fissato $M\in\mathbb R$ , l'intervallo

[-\infty,M)

contiene:

il punto ideale $-\infty$ ;
tutti i numeri reali $x$ tali che $x<M$ .

Intorni fondamentali e intorni generali

Definizione. Per ogni $M\in\mathbb R$ , l'insieme

$I_M^-=[-\infty,M)$

è un intorno fondamentale di $-\infty$ .

Definizione. Un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ è un intorno di $-\infty$ se esiste $M\in\mathbb R$ tale che

$[-\infty,M)\subseteq U.$

Esempio 1. L'insieme

$U=[-\infty,-50)$

è un intorno fondamentale di $-\infty$ .

Esempio 2. Anche

$V=[-\infty,-50)\cup[2,4]$

è un intorno di $-\infty$ .

Controesempio. L'insieme

$\{-\infty\}\cup\{-1,-2,-3,\ldots\}$

non è un intorno di $-\infty$ . Contiene numeri arbitrariamente piccoli, ma non contiene tutti i numeri reali al di sotto di una soglia.

L'appartenenza di un numero reale

Se $x\in\mathbb R$ , allora

x\in[-\infty,M) \iff x&lt;M.

Pertanto il linguaggio degli intorni si traduce ancora una volta in una disuguaglianza. Il verso è ora opposto rispetto al caso di $+\infty$ .

La traccia reale

Un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ è un intorno di $-\infty$ se e solo se:

$-\infty\in U$ ;
esiste $M\in\mathbb R$ tale che

$(-\infty,M)\subseteq U\cap\mathbb R.$

La semiretta reale $(-\infty,M)$ è la traccia su $\mathbb R$ dell'intorno fondamentale $[-\infty,M)$ .

Confrontare due intorni fondamentali

M_1&lt;M_2,

allora

[-\infty,M_1)\subsetneq[-\infty,M_2).

Nel caso di $-\infty$ , la soglia più piccola produce l'intorno più piccolo. Per avvicinarsi maggiormente a $-\infty$ bisogna dunque spostare la soglia verso sinistra.

Per esempio,

[-\infty,-1000) \subset [-\infty,-100) \subset [-\infty,-10).

Intersezioni finite

Per due soglie reali si ha

[-\infty,M_1)\cap[-\infty,M_2) = [-\infty,\min\{M_1,M_2\}).

Più in generale,

\bigcap_{j=1}^{k}[-\infty,M_j) = \left[-\infty,\min_{1\le j\le k}M_j\right).

Un'intersezione infinita può invece ridursi al solo punto ideale:

\bigcap_{m\in\mathbb N}[-\infty,-m) = \{-\infty\}.

Poiché $\{-\infty\}$ non contiene alcuna semiretta terminale, non è un intorno di $-\infty$ .

Un unico linguaggio per punti finiti e infiniti

La tabella fondamentale

Le tre situazioni possono essere raccolte in un unico schema.

**Tabella 1:** Tabella Fondamentale degli Intorni nella Retta Reale Estesa
Centro	Intorno fondamentale	Condizione per un numero reale $x$	Come restringere l'intorno
$\ell\in\mathbb R$	$(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)$ , con $\varepsilon>0$	$	x-\ell
$+\infty$	$(M,+\infty]$ , con $M\in\mathbb R$	$x>M$	aumentare $M$
$-\infty$	$[-\infty,M)$ , con $M\in\mathbb R$	$x<M$	diminuire $M$

Questa tabella è il cuore della lezione. Nei tre casi cambia la forma dell'intorno fondamentale, ma rimane invariata la struttura logica:

un insieme è un intorno del punto se contiene almeno un intorno fondamentale di quel punto.

Per un punto reale controlliamo la distanza mediante $\varepsilon$ . Per $+\infty$ e $-\infty$ controlliamo invece la posizione mediante una soglia $M$ .

Proprietà comuni degli intorni

Le proprietà introdotte in P1 continuano a valere anche per i due punti infiniti.

Proposizione. Sia $p\in\overline{\mathbb R}$ .

Ogni intorno di $p$ contiene $p$ .

Se $U$ è un intorno di $p$ e $U\subseteq V\subseteq\overline{\mathbb R}$ , allora anche $V$ è un intorno di $p$ .

L'intersezione di un numero finito di intorni di $p$ è ancora un intorno di $p$ .

Dimostrazione. Per $p\in\mathbb R$ le proprietà sono state dimostrate in P1. Consideriamo $p=+\infty$ .

Se $U$ è un intorno di $+\infty$ , esiste $M$ tale che

(M,+\infty]\subseteq U.

Poiché $+\infty\in(M,+\infty]$ , si ha $+\infty\in U$ . Se inoltre $U\subseteq V$ , la stessa semiretta è contenuta anche in $V$ , perciò $V$ è un intorno.

Siano ora $U_1,\ldots,U_k$ intorni di $+\infty$ . Per ogni $j$ esiste $M_j\in\mathbb R$ tale che

(M_j,+\infty]\subseteq U_j.

Ponendo

M=\max\{M_1,\ldots,M_k\},

si ottiene

(M,+\infty] \subseteq \bigcap_{j=1}^{k}U_j.

Quindi l'intersezione è un intorno di $+\infty$ .

Per $p=-\infty$ la dimostrazione è analoga: nell'ultima parte si sceglie

M=\min\{M_1,\ldots,M_k\}. \qquad\Box

Proprietà vere vicino a un punto infinito

In P1 abbiamo descritto una proprietà vera vicino a un punto reale mediante un intorno di quel punto. Ora consideriamo una proprietà $P(x)$ definita per $x\in\mathbb R$ . Diciamo che $P(x)$ è vera vicino a $+\infty$ quando esiste $M\in\mathbb R$ tale che

x&gt;M \implies P(x)

per ogni $x\in\mathbb R$ . In altri termini, l'insieme reale nel quale la proprietà è verificata deve contenere la traccia $(M,+\infty)$ di un intorno di $+\infty$ .

Analogamente, $P(x)$ è vera vicino a $-\infty$ quando esiste $M\in\mathbb R$ tale che

x&lt;M \implies P(x)

per ogni $x\in\mathbb R$ .

Per esempio, la proprietà

x&gt;0

è vera vicino a $+\infty$ , perché tutti i numeri reali della traccia $(0,+\infty)$ la soddisfano.

La stessa proprietà non è vera vicino a $-\infty$ : nessuna semiretta $(-\infty,M)$ è contenuta nell'insieme dei numeri positivi.

La proprietà

|x|&gt;100

è invece vera sia vicino a $+\infty$ sia vicino a $-\infty$ , perché vale rispettivamente per

x&gt;100

e per

x&lt;-100.

Infine, la proprietà « $x$ è un numero intero» non è vera vicino a nessuno dei due punti infiniti. Gli interi si estendono arbitrariamente a destra e a sinistra, ma non riempiono alcuna semiretta reale.

Separare due punti distinti

Una proprietà importante della retta estesa è che due suoi punti distinti possono essere racchiusi in intorni disgiunti. Questo risultato preparerà la dimostrazione dell'unicità del limite.

Teorema. Se $p,q\in\overline{\mathbb R}$ e $p\ne q$ , esistono un intorno $U$ di $p$ e un intorno $V$ di $q$ tali che

$U\cap V=\varnothing.$

Dimostrazione. Distinguiamo i casi possibili.

Se $p,q\in\mathbb R$ , scegliamo

r=\frac{|p-q|}{3}&gt;0

e poniamo

U=(p-r,p+r), \qquad V=(q-r,q+r).

Se esistesse $x\in U\cap V$ , dalla disuguaglianza triangolare seguirebbe

|p-q| \le |p-x|+|x-q| &lt; 2r = \frac{2}{3}|p-q|,

che è impossibile. Dunque $U\cap V=\varnothing$ .

Se $p\in\mathbb R$ e $q=+\infty$ , possiamo scegliere

U=(p-1,p+1), \qquad V=(p+1,+\infty].

Il primo intervallo contiene soltanto numeri minori di $p+1$ , mentre il secondo contiene soltanto numeri maggiori di $p+1$ e il punto $+\infty$ . Pertanto sono disgiunti.

Se $p\in\mathbb R$ e $q=-\infty$ , scegliamo

U=(p-1,p+1), \qquad V=[-\infty,p-1).

Anche in questo caso gli intorni sono disgiunti.

Rimane il caso dei due punti infiniti. Gli intorni

U=[-\infty,0)

V=(0,+\infty]

sono disgiunti e contengono rispettivamente $-\infty$ e $+\infty$ .

Gli eventuali casi con l'ordine di $p$ e $q$ scambiato si ottengono scambiando $U$ e $V$ . $\Box$

Approfondimento facoltativo - Una metrica su $\overline{\mathbb R}$

Comprimere la retta in un intervallo limitato

La retta reale è illimitata. Possiamo però comprimerla dentro l'intervallo $(-1,1)$ mediante la funzione

g(x)=\frac{x}{1+|x|}.

Per ogni $x\in\mathbb R$ si ha

-1&lt;g(x)&lt;1.

Per $x\ge0$ possiamo scrivere

g(x)=1-\frac{1}{1+x},

mentre per $x\le0$ si ha

g(x)=-1+\frac{1}{1-x}.

Queste due espressioni mostrano che $g$ è strettamente crescente su ciascuno dei due semiasse. Inoltre $g(x)<0$ per $x<0$ , $g(0)=0$ e $g(x)>0$ per $x>0$ , quindi la crescita vale sull'intera retta.

La funzione è anche biiettiva da $\mathbb R$ a $(-1,1)$ . La sua inversa è

g^{-1}(t)=\frac{t}{1-|t|} \qquad \text{per }-1&lt;t&lt;1.

Quando $x$ assume valori reali sempre più grandi, $g(x)$ si avvicina a $1$ ; quando $x$ assume valori sempre più piccoli, $g(x)$ si avvicina a $-1$ . È quindi naturale estendere $g$ ponendo

g(+\infty)=1, \qquad g(-\infty)=-1.

In questo modo $g$ diventa una biiezione

g:\overline{\mathbb R}\longrightarrow[-1,1].

L'immagine geometrica è semplice: l'intera retta reale viene compressa nell'intervallo aperto $(-1,1)$ , mentre $-\infty$ e $+\infty$ diventano i due estremi $-1$ e $1$ .

Definizione della metrica

Definizione. Per $x,y\in\overline{\mathbb R}$ poniamo

$d_*(x,y)=|g(x)-g(y)|.$

Proposizione. La funzione $d_*$ è una metrica su $\overline{\mathbb R}$ .

Dimostrazione. La non negatività e la simmetria seguono dalle proprietà del valore assoluto. Inoltre

d_*(x,y)=0 \iff g(x)=g(y).

Poiché $g$ è iniettiva,

g(x)=g(y) \iff x=y.

Infine, per ogni $x,y,z\in\overline{\mathbb R}$ ,

d_*(x,y) = |g(x)-g(y)|

e, usando la disuguaglianza triangolare in $\mathbb R$ ,

|g(x)-g(y)| \le |g(x)-g(z)|+|g(z)-g(y)|.

Pertanto

d_*(x,y)\le d_*(x,z)+d_*(z,y).

Sono verificati tutti gli assiomi di una metrica. $\Box$

La distanza da $+\infty$

Se $x\in\mathbb R$ e $x\ge0$ , allora

g(x)=\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}.

Di conseguenza,

d_*(x,+\infty) = |g(x)-1| = \frac{1}{1+x}.

Quando $x$ cresce, la quantità $1/(1+x)$ diminuisce. In questa nuova metrica, quindi, i numeri reali molto grandi sono effettivamente vicini al punto $+\infty$ .

Se $x\in\mathbb R$ e $x\le0$ , allora $g(x)\le0$ e quindi

d_*(x,+\infty)=1-g(x)\ge1.

Di conseguenza, quando $0<\varepsilon\le1$ , nessun numero reale non positivo può appartenere alla palla. Per un numero reale $x>0$ si ha invece

d_*(x,+\infty)&lt;\varepsilon \iff \frac{1}{1+x}&lt;\varepsilon \iff x&gt;\frac{1}{\varepsilon}-1.

Poiché il centro $+\infty$ appartiene sempre alla propria palla, possiamo concludere che

B_{d_*}(+\infty,\varepsilon) = \left(\frac{1}{\varepsilon}-1,+\infty\right].

Le palle metriche di raggio piccolo centrate in $+\infty$ sono dunque intorni fondamentali della forma introdotta in precedenza.

La distanza da $-\infty$

Se $x\in\mathbb R$ e $x\le0$ , allora

g(x)=\frac{x}{1-x}=-1+\frac{1}{1-x},

perciò

d_*(x,-\infty) = |g(x)+1| = \frac{1}{1-x}.

Se $x\in\mathbb R$ e $x\ge0$ , allora $g(x)\ge0$ e

d_*(x,-\infty)=g(x)+1\ge1.

Quando $0<\varepsilon\le1$ , nessun numero reale non negativo può quindi appartenere alla palla. Per un numero reale $x<0$ si ha

d_*(x,-\infty)&lt;\varepsilon \iff \frac{1}{1-x}&lt;\varepsilon \iff x&lt;1-\frac{1}{\varepsilon}.

Poiché $-\infty$ appartiene sempre alla propria palla, segue

B_{d_*}(-\infty,\varepsilon) = \left[-\infty,1-\frac{1}{\varepsilon}\right).

Anche in questo caso le palle metriche considerate sono intorni fondamentali della forma già definita.

Che cosa accade ai punti reali?

Per un punto reale $\ell$ , le palle della metrica $d_*$ non coincidono numericamente con le palle della distanza usuale. Le due metriche producono però gli stessi intorni dei punti reali.

Infatti, una palla $d_*$ centrata in $\ell$ è l'insieme dei punti $x$ per i quali $g(x)$ appartiene a un piccolo intervallo centrato in $g(\ell)$ . Poiché $g$ è strettamente crescente e biiettiva, la controimmagine di tale intervallo è un intervallo contenente $\ell$ . Viceversa, ogni intervallo reale contenente $\ell$ contiene una palla $d_*$ abbastanza piccola.

La metrica $d_*$ :

conserva quindi la nozione usuale di vicinanza in ogni punto reale;
aggiunge due punti verso i quali possono avvicinarsi i numeri molto grandi positivi o negativi;
rende l'intera retta estesa un insieme limitato, perché

$0\le d_*(x,y)\le2$

per ogni $x,y\in\overline{\mathbb R}$ .

In particolare,

d_*(-\infty,+\infty)=|-1-1|=2.

Questo esempio richiama un principio già incontrato in P1: la limitatezza dipende dalla metrica scelta. La retta $\mathbb R$ è illimitata per la distanza usuale, ma la sua immagine compressa è limitata per la metrica $d_*$ .

Esempi svolti di difficoltà crescente

Esempio 1 - Riconoscere un intorno di $+\infty$

Stabiliamo quali fra gli insiemi seguenti sono intorni di $+\infty$ :

U_1=(7,+\infty],

U_2=(7,+\infty),

U_3=\{+\infty\},

U_4=\overline{\mathbb R}\setminus[-2,2].

Svolgimento.

$U_1$ è un intorno fondamentale di $+\infty$ .

$U_2$ non è un intorno di $+\infty$ nella retta estesa, perché non contiene $+\infty$ . È soltanto la traccia reale di $U_1$ .

$U_3$ contiene $+\infty$ , ma non contiene alcuna semiretta $(M,+\infty]$ . Non è quindi un intorno.

Infine,

U_4=[-\infty,-2)\cup(2,+\infty].

Poiché

(2,+\infty]\subseteq U_4,

$U_4$ è un intorno di $+\infty$ . È anche un intorno di $-\infty$ .

Esempio 2 - Tradurre una proprietà in una soglia

Mostriamo che la proprietà

x^2&gt;25

è vera vicino sia a $+\infty$ sia a $-\infty$ .

Svolgimento.

Se $x>5$ , allora $x$ è positivo e

x^2&gt;5^2=25.

Quindi la proprietà vale sulla semiretta $(5,+\infty)$ ed è vera vicino a $+\infty$ .

Se $x<-5$ , allora $|x|>5$ e dunque

x^2=|x|^2&gt;25.

La proprietà vale anche su $(-\infty,-5)$ ed è vera vicino a $-\infty$ .

Le due soglie non devono coincidere in generale. In questo esempio la simmetria della funzione $x^2$ permette di scegliere $5$ e $-5$ .

Esempio 3 - Essere illimitato non basta

Consideriamo

A=\{n^2:n\in\mathbb N\}\cup\{+\infty\}.

L'insieme $A$ contiene $+\infty$ e numeri reali arbitrariamente grandi. Verifichiamo che non è un intorno di $+\infty$ .

Svolgimento.

Fissiamo una soglia qualunque $M\in\mathbb R$ . Possiamo scegliere un naturale $n$ così grande che

n^2&gt;M.

Il numero

n^2+\frac12

è maggiore di $M$ , ma non è il quadrato di un numero naturale. Pertanto

n^2+\frac12\in(M,+\infty]

n^2+\frac12\notin A.

Nessuna semiretta $(M,+\infty]$ è contenuta in $A$ . Dunque $A$ non è un intorno di $+\infty$ .

Esempio 4 - Intersecare più intorni

Calcoliamo

U=(3,+\infty]\cap(-5,+\infty]\cap(12,+\infty].

Svolgimento.

Un punto appartiene a tutti e tre gli intervalli se supera tutte e tre le soglie. La condizione più restrittiva è

x&gt;12.

Pertanto

U=(12,+\infty].

In formula,

U = (\max\{3,-5,12\},+\infty] = (12,+\infty].

Esempio 5 - Una palla centrata all'infinito

Consideriamo la metrica $d_*$ dell'approfondimento e calcoliamo

B_{d_*}(+\infty,0.2).

Svolgimento.

Usiamo la formula

B_{d_*}(+\infty,\varepsilon) = \left(\frac{1}{\varepsilon}-1,+\infty\right].

Per $\varepsilon=0.2$ ,

\frac{1}{0.2}-1=5-1=4.

Quindi

B_{d_*}(+\infty,0.2)=(4,+\infty].

Un numero reale $x$ appartiene a questa palla esattamente quando $x>4$ .

Esempio 6 - Separare un punto reale da $+\infty$

Costruiamo due intorni disgiunti, uno di $2.5$ e uno di $+\infty$ .

Svolgimento.

Possiamo scegliere

U=(2,3)

come intorno di $2.5$ . Per $+\infty$ scegliamo

V=(3,+\infty].

Ogni elemento reale di $U$ è strettamente minore di $3$ , mentre ogni elemento reale di $V$ è strettamente maggiore di $3$ . Inoltre $+\infty\notin U$ . Pertanto

U\cap V=\varnothing.

Distinzioni concettuali da conservare

**Tabella 2:** Distinzioni concettuali da conservare
Nozione	Significato corretto	Da non confondere con
$+\infty$	punto ideale che rappresenta la direzione verso destra	un numero reale molto grande
$-\infty$	punto ideale che rappresenta la direzione verso sinistra	un numero reale molto negativo
$(M,+\infty]$	intorno fondamentale di $+\infty$ in $\overline{\mathbb R}$	la sola semiretta reale $(M,+\infty)$
$[-\infty,M)$	intorno fondamentale di $-\infty$ in $\overline{\mathbb R}$	la sola semiretta reale $(-\infty,M)$
insieme illimitato superiormente	insieme che supera ogni soglia reale almeno in qualche punto	intorno di $+\infty$ , che contiene tutti i punti oltre una soglia
$\infty$ senza segno	notazione informale da precisare ogni volta	uno dei due elementi di $\overline{\mathbb R}$
ordine esteso	relazioni come $-\infty<x<+\infty$	aritmetica ordinaria con gli infiniti
forma indeterminata	comportamento che richiede un'analisi ulteriore	operazione numerica con un risultato già assegnato

Errori frequenti

Pensare che $+\infty$ sia un numero reale

Non esiste un numero reale più grande di tutti gli altri. Il simbolo $+\infty$ appartiene a $\overline{\mathbb R}$ , non a $\mathbb R$ .

Confondere «molto grande» con «vicino a $+\infty$ »

Un numero come $10^{20}$ può essere grande rispetto a una certa scala, ma una soglia successiva potrebbe essere $10^{30}$ . La nozione di intorno richiede che si possa superare qualunque soglia scelta, non che esista un numero universalmente grande.

Dimenticare il punto ideale

L'intervallo $(M,+\infty)$ non contiene $+\infty$ e quindi, preso come sottoinsieme di $\overline{\mathbb R}$ , non è un intorno del punto $+\infty$ . Il vero intorno fondamentale è $(M,+\infty]$ .

Credere che bastino punti arbitrariamente grandi

L'insieme dei naturali contiene elementi maggiori di ogni soglia, ma non contiene alcuna semiretta reale. Non è quindi un intorno di $+\infty$ .

Invertire il verso della soglia

Per $+\infty$ serve la condizione

x&gt;M.

Per $-\infty$ serve invece

x&lt;M.

Restringere l'intorno nella direzione sbagliata

Per ottenere un intorno più piccolo di $+\infty$ bisogna aumentare $M$ . Per ottenere un intorno più piccolo di $-\infty$ bisogna diminuire $M$ .

Usare $\infty$ senza segno

Nella retta reale estesa esistono due punti distinti, $-\infty$ e $+\infty$ . Il simbolo $\infty$ senza segno non identifica automaticamente uno dei due.

Calcolare con gli infiniti come con numeri ordinari

Scritture come

+\infty-(+\infty)

non si semplificano cancellando i due simboli. Non si tratta di numeri reali, e la forma può corrispondere a comportamenti completamente diversi.

Dimenticare che un'intersezione infinita può fallire

Le intersezioni finite di intorni sono intorni. La proprietà non si estende automaticamente alle intersezioni infinite:

\bigcap_{m\in\mathbb N}(m,+\infty] = \{+\infty\},

che non è un intorno.

Esercizi svolti

Gli esercizi sono ordinati per difficoltà. È consigliabile tentare ogni problema prima di leggere lo svolgimento.

Livello A - Comprensione e calcolo

Esercizio 1

Descrivere esplicitamente i seguenti intervalli come unioni di sottoinsiemi di $\mathbb R$ e degli eventuali punti ideali:

$[-\infty,3)$ ;
$(-2,+\infty]$ ;
$(-\infty,+\infty)$ ;
$[-\infty,+\infty]$ .

Svolgimento.

Per definizione,

[-\infty,3) = \{-\infty\}\cup\{x\in\mathbb R:x&lt;3\}.

Inoltre,

(-2,+\infty] = \{x\in\mathbb R:x&gt;-2\}\cup\{+\infty\}.

Escludendo entrambi i punti ideali rimane

(-\infty,+\infty)=\mathbb R.

Includendoli entrambi si ottiene invece

[-\infty,+\infty] = \mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\} = \overline{\mathbb R}.

Esercizio 2

Stabilire quali dei seguenti insiemi sono intorni di $+\infty$ :

U_1=(4,+\infty], \qquad U_2=(4,+\infty),

U_3=\{+\infty\}, \qquad U_4=\overline{\mathbb R}\setminus\{2\},

U_5=\mathbb Z\cup\{+\infty\}.

Svolgimento.

$U_1$ è un intorno fondamentale di $+\infty$ .

$U_2$ non contiene $+\infty$ , quindi non è un intorno nella retta estesa.

$U_3$ contiene $+\infty$ , ma non contiene alcuna semiretta terminale.

$U_4$ è un intorno, perché

(3,+\infty]\subseteq U_4.

$U_5$ non è un intorno. Gli interi sono arbitrariamente grandi, ma ogni semiretta contiene anche numeri non interi.

Gli intorni richiesti sono quindi $U_1$ e $U_4$ .

Esercizio 3

Stabilire quali dei seguenti insiemi sono intorni di $-\infty$ :

V_1=[-\infty,-7), \qquad V_2=(-\infty,-7),

V_3=\overline{\mathbb R}\setminus[0,1], \qquad V_4=\{-\infty\}\cup\{-n:n\in\mathbb N\}.

Svolgimento.

$V_1$ è un intorno fondamentale di $-\infty$ .

$V_2$ non contiene $-\infty$ , quindi non è un intorno nella retta estesa.

Poiché

\overline{\mathbb R}\setminus[0,1] = [-\infty,0)\cup(1,+\infty],

$V_3$ contiene l'intorno fondamentale $[-\infty,0)$ ed è quindi un intorno di $-\infty$ .

$V_4$ contiene numeri arbitrariamente piccoli, ma non contiene un'intera semiretta. Non è un intorno.

Gli intorni sono $V_1$ e $V_3$ .

Esercizio 4

Disporre per inclusione gli intorni

(2,+\infty], \qquad (10,+\infty], \qquad (-3,+\infty].

Svolgimento.

Nel caso di $+\infty$ , la soglia maggiore produce l'intorno minore. Poiché

-3&lt;2&lt;10,

si ha

(10,+\infty] \subset (2,+\infty] \subset (-3,+\infty].

Esercizio 5

Disporre per inclusione gli intorni

[-\infty,2), \qquad [-\infty,-4), \qquad [-\infty,10).

Svolgimento.

Nel caso di $-\infty$ , la soglia minore produce l'intorno minore. Poiché

-4&lt;2&lt;10,

si ottiene

[-\infty,-4) \subset [-\infty,2) \subset [-\infty,10).

Esercizio 6

Calcolare le intersezioni

A=(1,+\infty]\cap(7,+\infty]\cap(-2,+\infty]

B=[-\infty,1)\cap[-\infty,7)\cap[-\infty,-2).

Svolgimento.

Per gli intorni di $+\infty$ si prende il massimo delle soglie:

A = (\max\{1,7,-2\},+\infty] = (7,+\infty].

Per gli intorni di $-\infty$ si prende il minimo:

B = [-\infty,\min\{1,7,-2\}) = [-\infty,-2).

Livello B - Uso delle definizioni

Esercizio 7

Dimostrare che un insieme $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ è un intorno di $+\infty$ se e solo se $+\infty\in U$ e la parte reale del complemento

(\overline{\mathbb R}\setminus U)\cap\mathbb R

è limitata superiormente.

Svolgimento.

Supponiamo che $U$ sia un intorno di $+\infty$ . Esiste allora $M\in\mathbb R$ tale che

(M,+\infty]\subseteq U.

In particolare $+\infty\in U$ . Inoltre nessun elemento reale del complemento può essere maggiore di $M$ . Quindi

(\overline{\mathbb R}\setminus U)\cap\mathbb R \subseteq (-\infty,M]

e la parte reale del complemento è limitata superiormente.

Viceversa, supponiamo che $+\infty\in U$ e che la parte reale del complemento sia limitata superiormente. Esiste allora $M\in\mathbb R$ tale che

x\le M

per ogni $x\in(\overline{\mathbb R}\setminus U)\cap\mathbb R$ . Di conseguenza, se $x\in\mathbb R$ e $x>M$ , allora $x\notin\overline{\mathbb R}\setminus U$ e dunque $x\in U$ . Poiché anche $+\infty\in U$ , si ha

(M,+\infty]\subseteq U.

Pertanto $U$ è un intorno di $+\infty$ .

Esercizio 8

Formulare e dimostrare l'analoga caratterizzazione degli intorni di $-\infty$ .

Svolgimento.

La caratterizzazione è la seguente:

$U\subseteq\overline{\mathbb R}$ è un intorno di $-\infty$ se e solo se $-\infty\in U$ e $(\overline{\mathbb R}\setminus U)\cap\mathbb R$ è limitato inferiormente.

Se $U$ è un intorno di $-\infty$ , esiste $M$ tale che

[-\infty,M)\subseteq U.

Ogni elemento reale del complemento è quindi maggiore o uguale a $M$ . La parte reale del complemento è limitata inferiormente e $-\infty\in U$ .

Viceversa, se la parte reale del complemento è limitata inferiormente, esiste $M\in\mathbb R$ tale che

x\ge M

per ogni $x\in(\overline{\mathbb R}\setminus U)\cap\mathbb R$ . Ogni numero reale $x<M$ appartiene allora a $U$ . Poiché per ipotesi $-\infty\in U$ , segue

[-\infty,M)\subseteq U.

Dunque $U$ è un intorno di $-\infty$ .

Esercizio 9

Mostrare che la proprietà

x^2-3x&gt;10

è vera vicino a $+\infty$ . Trovare una soglia esplicita.

Svolgimento.

Fattorizziamo:

x^2-3x-10=(x-5)(x+2).

La disuguaglianza richiesta equivale a

(x-5)(x+2)&gt;0.

Se $x>5$ , entrambi i fattori sono positivi, perciò il prodotto è positivo. Quindi la proprietà vale su

(5,+\infty).

Possiamo scegliere la soglia

M=5.

Esercizio 10

Dato $\varepsilon>0$ , trovare una soglia $M_+>0$ tale che

\left|\frac1x\right|&lt;\varepsilon

per ogni $x>M_+$ . Trovare poi una soglia $M_-<0$ che garantisca la stessa disuguaglianza per ogni $x<M_-$ .

Svolgimento.

Se $x>0$ , allora

\left|\frac1x\right|=\frac1x.

Per ottenere $1/x<\varepsilon$ è sufficiente imporre

x&gt;\frac1\varepsilon.

Possiamo quindi scegliere

M_+=\frac1\varepsilon.

Se $x<0$ , allora $|x|=-x$ e

\left|\frac1x\right|=\frac1{|x|}.

La condizione $|x|>1/\varepsilon$ equivale, nel semiasse negativo, a

x&lt;-\frac1\varepsilon.

Possiamo scegliere

M_-=-\frac1\varepsilon.

La proprietà $|1/x|<\varepsilon$ vale dunque sia vicino a $+\infty$ sia vicino a $-\infty$ .

Esercizio 11

Dimostrare direttamente che

\bigcap_{m\in\mathbb N}(m,+\infty] = \{+\infty\}.

Svolgimento.

Il punto $+\infty$ appartiene a ogni insieme $(m,+\infty]$ , quindi

\{+\infty\} \subseteq \bigcap_{m\in\mathbb N}(m,+\infty].

Mostriamo l'inclusione opposta. Sia $x\in\mathbb R$ . Per la proprietà archimedea esiste $m\in\mathbb N$ tale che

m&gt;x.

Allora $x\notin(m,+\infty]$ . Nessun numero reale appartiene quindi all'intersezione. L'unico elemento rimasto è $+\infty$ , perciò

\bigcap_{m\in\mathbb N}(m,+\infty] = \{+\infty\}.

Il risultato mostra anche perché l'intersezione ottenuta non sia un intorno: non contiene alcuna semiretta terminale.

Esercizio 12

Costruire:

un intorno di $2.5$ e un intorno di $+\infty$ che siano disgiunti;
un intorno di $-1.25$ e un intorno di $-\infty$ che siano disgiunti.

Svolgimento.

Per il primo punto possiamo scegliere

U=(2,3)

V=(3,+\infty].

$U$ è un intorno di $2.5$ , $V$ è un intorno di $+\infty$ e $U\cap V=\varnothing$ .

Per il secondo punto scegliamo

W=(-1.5,-1)

Z=[-\infty,-1.5).

$W$ è un intorno di $-1.25$ , $Z$ è un intorno di $-\infty$ e $W\cap Z=\varnothing$ .

Esercizio 13

Considerare l'insieme

A=[-\infty,-3)\cup(-1,2)\cup(5,+\infty].

Stabilire se $A$ è un intorno di $+\infty$ , di $-\infty$ , di $0$ e di $3$ .

Svolgimento.

$A$ contiene $(5,+\infty]$ , quindi è un intorno di $+\infty$ .

$A$ contiene $[-\infty,-3)$ , quindi è un intorno di $-\infty$ .

Poiché

(-0.5,0.5)\subseteq(-1,2)\subseteq A,

$A$ è un intorno di $0$ .

Il punto $3$ non appartiene ad $A$ . Poiché ogni intorno di $3$ deve contenere $3$ , l'insieme $A$ non è un intorno di $3$ .

Esercizio 14

Sia

E=\{2n:n\in\mathbb N\}\cup\{+\infty\}.

Dimostrare che:

per ogni $M\in\mathbb R$ esiste $x\in E\cap\mathbb R$ con $x>M$ ;
$E$ non è un intorno di $+\infty$ .

Svolgimento.

Fissato $M\in\mathbb R$ , per la proprietà archimedea possiamo scegliere $n\in\mathbb N$ tale che

n&gt;\frac M2.

Allora

2n&gt;M

e $2n\in E\cap\mathbb R$ . Il primo punto è dimostrato.

Per il secondo punto, fissiamo ancora una soglia qualunque $M$ . Scegliamo $n$ tale che $2n>M$ . Il numero

2n+1

è maggiore di $M$ , ma non appartiene a $E$ , perché è dispari. Quindi

(M,+\infty]\nsubseteq E.

La conclusione vale per ogni $M$ , perciò $E$ non è un intorno di $+\infty$ .

L'esercizio rende esplicita la differenza fra superare ogni soglia almeno una volta e contenere tutti i numeri oltre una soglia.

Livello C - Approfondimento

Esercizio 15

Verificare in modo completo che

d_*(x,y)=|g(x)-g(y)|,

dove

g(x)=\frac{x}{1+|x|}

per $x\in\mathbb R$ , $g(+\infty)=1$ e $g(-\infty)=-1$ , definisce una metrica su $\overline{\mathbb R}$ .

Svolgimento.

Per ogni $x,y\in\overline{\mathbb R}$ ,

d_*(x,y)=|g(x)-g(y)|\ge0.

Inoltre,

d_*(x,y)=0 \iff g(x)=g(y).

La funzione $g$ è biiettiva, quindi in particolare è iniettiva. Ne segue

g(x)=g(y) \iff x=y.

La simmetria deriva da

d_*(x,y) = |g(x)-g(y)| = |g(y)-g(x)| = d_*(y,x).

Infine, per ogni $z\in\overline{\mathbb R}$ ,

g(x)-g(y) = [g(x)-g(z)]+[g(z)-g(y)].

Applicando la disuguaglianza triangolare del valore assoluto,

|g(x)-g(y)| \le |g(x)-g(z)|+|g(z)-g(y)|.

Quindi

d_*(x,y)\le d_*(x,z)+d_*(z,y).

Sono soddisfatti non negatività, separazione, simmetria e disuguaglianza triangolare. Pertanto $d_*$ è una metrica.

Esercizio 16

Calcolare

B_{d_*}(+\infty,0.1)

B_{d_*}(-\infty,0.25).

Svolgimento.

Per $+\infty$ usiamo

B_{d_*}(+\infty,\varepsilon) = \left(\frac1\varepsilon-1,+\infty\right].

Con $\varepsilon=0.1$ ,

\frac1{0.1}-1=10-1=9.

Quindi

B_{d_*}(+\infty,0.1)=(9,+\infty].

Per $-\infty$ usiamo

B_{d_*}(-\infty,\varepsilon) = \left[-\infty,1-\frac1\varepsilon\right).

Con $\varepsilon=0.25$ ,

1-\frac1{0.25}=1-4=-3.

Pertanto

B_{d_*}(-\infty,0.25)=[-\infty,-3).

Esercizio 17

Determinare il diametro di $\overline{\mathbb R}$ rispetto alla metrica $d_*$ .

Svolgimento.

Per ogni $x\in\overline{\mathbb R}$ ,

-1\le g(x)\le1.

Quindi, per ogni $x,y\in\overline{\mathbb R}$ ,

d_*(x,y) = |g(x)-g(y)| \le2.

La distanza massima è effettivamente raggiunta dai due punti ideali:

d_*(-\infty,+\infty) = |g(-\infty)-g(+\infty)| = |-1-1| = 2.

Pertanto

\operatorname{diam}_{d_*}\overline{\mathbb R}=2.

Esercizio 18

Dimostrare che ogni intervallo usuale

(\ell-\delta,\ell+\delta), \qquad \ell\in\mathbb R,\quad\delta&gt;0,

contiene una palla $d_*$ centrata in $\ell$ .

Svolgimento.

Poiché $g$ è strettamente crescente,

g(\ell-\delta)&lt;g(\ell)&lt;g(\ell+\delta).

Le due quantità

g(\ell)-g(\ell-\delta)

g(\ell+\delta)-g(\ell)

sono quindi positive. Poniamo

\varepsilon = \min\left\{ g(\ell)-g(\ell-\delta), g(\ell+\delta)-g(\ell) \right\}.

Si ha $\varepsilon>0$ . Se

d_*(x,\ell)&lt;\varepsilon,

allora

|g(x)-g(\ell)|&lt;\varepsilon.

Per la scelta di $\varepsilon$ ,

g(\ell-\delta)&lt;g(x)&lt;g(\ell+\delta).

Poiché $g$ è strettamente crescente,

\ell-\delta&lt;x&lt;\ell+\delta.

Abbiamo quindi dimostrato che

B_{d_*}(\ell,\varepsilon) \subseteq (\ell-\delta,\ell+\delta).

Questo è uno dei due passaggi necessari per mostrare che $d_*$ e la distanza usuale producono gli stessi intorni nei punti reali.

Esercizio 19

Caratterizzare gli insiemi $U\subseteq\overline{\mathbb R}$ che sono contemporaneamente intorni di $+\infty$ e di $-\infty$ .

Svolgimento.

$U$ è un intorno di $+\infty$ se esiste $M_+\in\mathbb R$ tale che

(M_+,+\infty]\subseteq U.

È un intorno di $-\infty$ se esiste $M_-\in\mathbb R$ tale che

[-\infty,M_-)\subseteq U.

Pertanto $U$ è un intorno di entrambi i punti se e solo se esistono $M_-,M_+\in\mathbb R$ tali che

[-\infty,M_-)\cup(M_+,+\infty]\subseteq U.

Non è necessario che $M_-<M_+$ . Se le due semirette si sovrappongono, la loro unione può perfino coincidere con tutta $\overline{\mathbb R}$ .

In termini del complemento, la stessa condizione dice che

\overline{\mathbb R}\setminus U

è un sottoinsieme limitato di $\mathbb R$ .

Esercizio 20

Stabilire vicino a quali punti infiniti sono vere le proprietà seguenti:

$x^3-4x>0$ ;
$x^4+1>1000$ ;
$x<7$ ;
$x\in\mathbb Q$ .

Svolgimento.

Per la prima proprietà fattorizziamo:

x^3-4x=x(x-2)(x+2).

Se $x>2$ , tutti e tre i fattori sono positivi, quindi la proprietà è vera vicino a $+\infty$ . Se $x<-2$ , i tre fattori sono negativi e il loro prodotto è negativo. La proprietà non è vera vicino a $-\infty$ .

Per la seconda proprietà è sufficiente richiedere

|x|&gt;\sqrt[4]{999}.

Essa è quindi vera vicino a entrambi i punti infiniti.

La proprietà $x<7$ vale su tutta la semiretta $(-\infty,7)$ ed è vera vicino a $-\infty$ . Non è vera vicino a $+\infty$ .

Infine, l'insieme $\mathbb Q$ contiene numeri arbitrariamente grandi e arbitrariamente piccoli, ma non contiene alcuna semiretta reale, perché fra due numeri reali distinti esistono sia razionali sia irrazionali. La proprietà $x\in\mathbb Q$ non è quindi vera vicino a nessuno dei due punti infiniti.

Testi di riferimento

Paolo Maurizio Soardi, Analisi matematica, §3.9
Giuseppe De Marco, Analisi Uno, §§6.6-6.7
Jaures P. Cecconi e Guido Stampacchia, Analisi Matematica 1 - Funzioni di una variabile, §23.9

Sintesi finale

La retta reale estesa è

\overline{\mathbb R} = \mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}.

I due nuovi elementi registrano le due direzioni illimitate della retta:

-\infty&lt;x&lt;+\infty \qquad \text{per ogni }x\in\mathbb R.

Non sono numeri reali e non devono essere trattati come grandezze sulle quali eseguire liberamente somme, differenze, prodotti o quozienti.

Per un punto reale $\ell$ , gli intorni fondamentali restano gli intervalli

(\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon), \qquad \varepsilon&gt;0.

Per $+\infty$ , gli intorni fondamentali sono

(M,+\infty], \qquad M\in\mathbb R.

Un insieme è un intorno di $+\infty$ quando contiene tutti i numeri reali maggiori di una certa soglia e contiene anche $+\infty$ . Se si considerano soltanto numeri reali, l'appartenenza si traduce nella disuguaglianza

x&gt;M.

Per $-\infty$ , gli intorni fondamentali sono

[-\infty,M), \qquad M\in\mathbb R,

e, per un numero reale $x$ , l'appartenenza equivale a

x&lt;M.

Il confronto fra gli intorni segue due regole speculari:

per restringere un intorno di $+\infty$ si aumenta la soglia;
per restringere un intorno di $-\infty$ si diminuisce la soglia.

Le intersezioni finite di intorni sono ancora intorni. Per gli intorni fondamentali, si prende il massimo delle soglie nel caso di $+\infty$ e il minimo nel caso di $-\infty$ . Le intersezioni infinite, invece, possono ridursi al solo punto ideale e non essere più intorni.

Infine, contenere punti arbitrariamente grandi o piccoli non basta. Un intorno deve contenere un'intera semiretta terminale. Questa distinzione sarà decisiva quando tradurremo il linguaggio degli intorni nelle definizioni formali dei limiti finiti e infiniti.

Retta Reale Estesa e Intorni dell'Infinito

Prerequisiti

Obiettivi formativi

Perché aggiungere due punti alla retta reale?

Tre modi diversi di essere illimitati

L'infinito non è un traguardo numerico

La retta reale estesa

Definizione

L'ordine nella retta estesa

Intervalli con estremi infiniti

Due notazioni simili, ma ambienti diversi

Ordine sì, aritmetica no

Gli intorni dei punti reali nella retta estesa

La stessa definizione dentro \overline{\mathbb R}

Gli intorni di +\infty

L'idea geometrica

Intorni fondamentali

Intorni generali

Insiemi che non sono intorni di +\infty

L'appartenenza di un numero reale

La traccia reale di un intorno

Confrontare due intorni fondamentali

Intersezioni finite

Gli intorni di -\infty

L'idea geometrica

Intorni fondamentali e intorni generali

L'appartenenza di un numero reale

La traccia reale

Confrontare due intorni fondamentali

Intersezioni finite

Un unico linguaggio per punti finiti e infiniti

La tabella fondamentale

Proprietà comuni degli intorni

Proprietà vere vicino a un punto infinito

Separare due punti distinti

Approfondimento facoltativo - Una metrica su \overline{\mathbb R}

Comprimere la retta in un intervallo limitato

Definizione della metrica

La distanza da +\infty

La distanza da -\infty

Che cosa accade ai punti reali?

Esempi svolti di difficoltà crescente

Esempio 1 - Riconoscere un intorno di +\infty

Esempio 2 - Tradurre una proprietà in una soglia

Esempio 3 - Essere illimitato non basta

Esempio 4 - Intersecare più intorni

Esempio 5 - Una palla centrata all'infinito

Esempio 6 - Separare un punto reale da +\infty

Distinzioni concettuali da conservare

Errori frequenti

Pensare che +\infty sia un numero reale

Confondere «molto grande» con «vicino a +\infty»

Dimenticare il punto ideale

Credere che bastino punti arbitrariamente grandi

Invertire il verso della soglia

Restringere l'intorno nella direzione sbagliata

Usare \infty senza segno

Calcolare con gli infiniti come con numeri ordinari

Dimenticare che un'intersezione infinita può fallire

Esercizi svolti

Livello A - Comprensione e calcolo

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Livello B - Uso delle definizioni

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Esercizio 13

Esercizio 14

Livello C - Approfondimento

Esercizio 15

Esercizio 16

Esercizio 17

La stessa definizione dentro $\overline{\mathbb R}$

Gli intorni di $+\infty$

Insiemi che non sono intorni di $+\infty$

Gli intorni di $-\infty$

Approfondimento facoltativo - Una metrica su $\overline{\mathbb R}$

La distanza da $+\infty$

La distanza da $-\infty$

Esempio 1 - Riconoscere un intorno di $+\infty$

Esempio 6 - Separare un punto reale da $+\infty$

Pensare che $+\infty$ sia un numero reale

Confondere «molto grande» con «vicino a $+\infty$ »

Usare $\infty$ senza segno