Successioni e proprietà definitive

Prima di entrare nei dettagli, raccogliamo le idee fondamentali della lezione:

  • una successione a valori in un insieme X è una funzione definita sui numeri naturali e a valori in X;

  • in questo corso adottiamo la convenzione

    \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}

    ma indicheremo sempre con chiarezza l'indice iniziale;

  • il valore assunto dalla successione in corrispondenza dell'indice n si chiama termine n-esimo e si indica con a_n;

  • la successione (a_n)_{n\ge n_0} non deve essere confusa con l'insieme dei suoi valori \{a_n:n\ge n_0\};
  • due successioni sono uguali quando hanno lo stesso dominio di indici e termini corrispondenti uguali, non quando hanno soltanto lo stesso insieme dei valori;
  • una successione può essere assegnata mediante una formula esplicita oppure mediante una legge ricorsiva accompagnata dai dati iniziali necessari;
  • elencare alcuni termini aiuta a intuire una successione, ma in generale non basta a definirla in modo univoco;
  • una proprietà P vale definitivamente quando esiste una soglia N tale che P sia verificata da ogni termine con indice n\ge N;
  • la soglia N non è in generale unica: se una soglia funziona, funziona ogni soglia più grande;
  • dire che una proprietà vale definitivamente equivale a dire che gli indici per i quali essa non vale sono in numero finito;
  • avere infiniti termini che verificano una proprietà non significa verificarla definitivamente;
  • modificare, eliminare o aggiungere un numero finito di termini iniziali non cambia le proprietà definitive;
  • un numero finito di proprietà definitive può essere imposto simultaneamente scegliendo come soglia il massimo delle singole soglie;
  • la stessa conclusione può fallire per una famiglia infinita di proprietà.

Prerequisiti

Si suppongono noti:

  • il concetto di funzione;
  • dominio, codominio e immagine di una funzione;
  • l'insieme dei numeri naturali e il loro ordinamento;
  • le principali notazioni insiemistiche;
  • il principio di induzione;
  • le formule elementari per potenze, radicali, valore assoluto e funzioni usuali;
  • le nozioni di insieme e di appartenenza;
  • il significato di massimo di un insieme finito di numeri.

Le nozioni di distanza e di intorno introdotte nelle lezioni P1 e P2 non saranno ancora usate nelle definizioni principali. Diventeranno essenziali dalla lezione successiva, quando introdurremo il limite finito.

Obiettivi formativi

Al termine della lezione si dovrà essere in grado di:

  1. definire una successione come funzione;
  2. riconoscere il dominio degli indici e il codominio di una successione;
  3. interpretare correttamente il simbolo a_n;
  4. usare notazioni che rendano esplicito l'indice iniziale;
  5. distinguere una successione dall'insieme dei suoi valori;
  6. stabilire quando due successioni sono uguali;
  7. calcolare i primi termini a partire da una formula esplicita;
  8. generare i termini di una successione definita per ricorrenza;
  9. verificare se i dati iniziali di una ricorrenza sono sufficienti;
  10. tradurre la parola «definitivamente» mediante quantificatori;
  11. determinare una soglia dalla quale una proprietà è sempre vera;
  12. descrivere una proprietà definitiva attraverso l'insieme degli indici eccezionali;
  13. distinguere «definitivamente» da «per infiniti indici»;
  14. dimostrare che una modifica finita non altera una proprietà definitiva;
  15. combinare un numero finito di proprietà definitive mediante il massimo delle soglie;
  16. spiegare perché lo stesso procedimento non si estende automaticamente a infinite proprietà.

Che cos'è una successione?

Una lista ordinata, ma non soltanto una lista

Quando incontriamo per la prima volta espressioni come

1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots

oppure

1,-1,1,-1,\ldots,

siamo portati a pensare a una successione come a una lista ordinata di oggetti. Questa intuizione è utile, perché mette subito in evidenza due caratteristiche:

  • esiste un primo termine, poi un secondo, poi un terzo e così via;
  • la posizione di ciascun termine fa parte dell'informazione.

Una lista scritta con i puntini, tuttavia, non è ancora una definizione matematica completa. I puntini chiedono al lettore di indovinare una regola e regole diverse possono produrre gli stessi primi termini.

Per esempio, dalla scrittura

1,2,4,\ldots

si potrebbe immaginare la successione delle potenze di 2,

1,2,4,8,16,\ldots,

ma anche la successione

1,2,4,7,11,16,\ldots,

le cui differenze successive sono 1,2,3,4,5,\ldots. I primi tre termini non determinano da soli quale legge si intenda usare.

La definizione formale elimina questa ambiguità.

Definizione formale

Definizione. Sia X un insieme non vuoto. Una successione a valori in X è una funzione

a:\mathbb N\longrightarrow X.

La funzione associa a ogni numero naturale n un unico elemento di X:

n\longmapsto a(n).

Per tradizione, il valore a(n) viene indicato con un indice in basso:

a_n:=a(n).

Si legge «a con indice n» oppure «termine n-esimo della successione».

La successione intera si indica preferibilmente con

(a_n)_{n\in\mathbb N}

o, quando l'indice iniziale è già chiaro dal contesto, semplicemente con

(a_n).

La parentesi tonda è importante: segnala che stiamo considerando la funzione indicizzata, non un insieme privo di ordine.

Il dominio degli indici e il codominio

Nella funzione

a:\mathbb N\longrightarrow X,

\mathbb N è il dominio degli indici e X è il codominio.

Questi due elementi rispondono a domande diverse:

  • il dominio dice quali posizioni sono ammesse;
  • il codominio dice di quale natura possono essere i termini.

Se X=\mathbb R, parliamo di successione reale. Se X=\mathbb C, parliamo di successione complessa. Se X=\mathbb R^2, ogni termine è un punto o un vettore del piano. Nulla vieta, inoltre, che X sia un insieme di funzioni, di intervalli o di figure geometriche.

Per esempio,

a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb N,

definisce una successione reale:

a:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R.

La stessa formula permette anche di dichiarare un codominio più ristretto:

a:\mathbb N\longrightarrow(0,1].

Entrambe le dichiarazioni sono corrette, perché ogni termine appartiene sia a \mathbb R sia a (0,1]. Il codominio dichiarato, però, non deve essere confuso con l'insieme dei valori effettivamente assunti.

Il termine generale

Una formula come

a_n=\frac{1}{n+1}

viene chiamata termine generale della successione, perché consente di calcolare direttamente il termine corrispondente a ogni indice ammesso.

Per esempio,

a_0=1, \qquad a_1=\frac12, \qquad a_2=\frac13, \qquad a_{99}=\frac{1}{100}.

L'indice non è un esponente e non è un fattore moltiplicativo. Il simbolo a_n significa semplicemente «valore della funzione a nell'indice n».

Uguaglianza tra successioni

Definizione. Due successioni (a_n) e (b_n) con lo stesso dominio degli indici sono uguali se

a_n=b_n \qquad \text{per ogni indice ammesso }n.

L'uguaglianza deve quindi essere verificata termine per termine nelle stesse posizioni.

Consideriamo

a_n=(-1)^n

e

b_n=(-1)^{n+1}, \qquad n\in\mathbb N.

Si ha

a_0=1, \qquad b_0=-1,

perciò le due successioni non sono uguali. Il fatto che entrambe assumano soltanto i valori -1 e 1 non basta a renderle uguali.

Indici, indice iniziale e code

La convenzione adottata per \mathbb N

In questo corso useremo stabilmente la convenzione

\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}.

La convenzione non è universale: alcuni testi iniziano i naturali da 1. Questa differenza non modifica la teoria, ma può spostare le formule di un indice. Per evitare ogni ambiguità, scriveremo sempre l'indice iniziale quando esso è rilevante.

Per esempio,

\left(\frac1n\right)_{n\ge1}

inizia da n=1, perché la formula 1/n non è definita per n=0.

Invece,

\left(\frac{1}{n+1}\right)_{n\ge0}

inizia da n=0. Le due successioni producono lo stesso allineamento di valori,

1,\frac12,\frac13,\ldots,

ma associano quei valori a indici diversi.

Successioni che iniziano da un indice n_0

Non è necessario che una successione inizi da 0. Se una formula è definita soltanto da un certo indice n_0 in poi, si considera una funzione

a:\{n\in\mathbb Z:n\ge n_0\}\longrightarrow X

e si scrive

(a_n)_{n\ge n_0}.

Nella maggior parte delle applicazioni n_0 sarà un numero naturale.

Per esempio, la formula

a_n=\log(n-1)

è definita, nei numeri reali, per

n\ge2.

La successione corretta è quindi

(\log(n-1))_{n\ge2},

i cui primi termini sono

\log1,\log2,\log3,\ldots.

Analogamente,

b_n=\frac{\sqrt{n-3}}{n-2}

definisce una successione reale per n\ge3.

Cambiare l'indice iniziale

Una stessa lista di valori può essere indicizzata in modi diversi. Consideriamo

a_n=\frac1n, \qquad n\ge1,

e

b_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\ge0.

Si ha

b_n=a_{n+1}.

Le due funzioni non hanno lo stesso dominio di indici e non vengono considerate letteralmente la stessa successione. Rappresentano però la stessa sequenza di valori dopo una semplice traslazione degli indici.

Questa osservazione anticipa un principio importante: per le proprietà che riguardano soltanto i valori presenti in una coda, il punto preciso da cui iniziamo a contare non avrà importanza. Se invece una proprietà collega esplicitamente il valore alla sua etichetta numerica, come a_n=n, una rinumerazione richiede di adattare anche la formula.

Le code di una successione

Fissato un indice N, la parte

a_N,a_{N+1},a_{N+2},\ldots

si chiama coda della successione a partire da N e si indica con

(a_n)_{n\ge N}.

La parte precedente,

a_{n_0},a_{n_0+1},\ldots,a_{N-1},

contiene soltanto un numero finito di termini. La coda contiene invece tutti i termini successivi.

Il linguaggio delle proprietà definitive serve precisamente a descrivere ciò che accade in almeno una coda completa.

Successione e insieme dei valori

Due oggetti diversi

Alla successione

a:\mathbb N\longrightarrow X

è associato l'insieme immagine

a(\mathbb N)=\{a_n:n\in\mathbb N\}.

Adotteremo quindi due notazioni distinte:

(a_n)_{n\in\mathbb N}

per la successione e

\{a_n:n\in\mathbb N\}

per l'insieme dei suoi valori.

La successione conserva:

  • l'ordine con cui compaiono i termini;
  • la posizione associata a ciascun termine;
  • le eventuali ripetizioni.

L'insieme dei valori, invece:

  • non registra l'ordine;
  • non registra quante volte un valore compare;
  • contiene ciascun valore una sola volta.

Un primo esempio

Per

a_n=(-1)^n, \qquad n\in\mathbb N,

la successione è

1,-1,1,-1,1,-1,\ldots,

mentre l'insieme dei valori è semplicemente

\{a_n:n\in\mathbb N\}=\{-1,1\}.

L'insieme ha due elementi, ma la successione ha infiniti termini.

Stesso insieme dei valori, successioni diverse

Consideriamo

a_n=(-1)^n

e

b_n=(-1)^{n+1}.

Le due successioni sono

1,-1,1,-1,\ldots

e

-1,1,-1,1,\ldots.

Sono diverse, perché a_0\ne b_0, ma hanno lo stesso insieme dei valori:

\{a_n:n\in\mathbb N\}=\{b_n:n\in\mathbb N\}=\{-1,1\}.

Possiamo rendere la differenza ancora più evidente ponendo

c_n= \begin{cases} 0, & \text{se }n\text{ è pari},\\ 1, & \text{se }n\text{ è dispari} \end{cases} èè

e

d_n= \begin{cases} 1, & \text{se }n\text{ è un multiplo di }3,\\ 0, & \text{altrimenti}. \end{cases} è

Entrambe hanno insieme dei valori \{0,1\}, ma l'ordine e la frequenza delle apparizioni sono diversi.

Perché la distinzione è essenziale

Molte proprietà delle successioni dipendono dall'ordine degli indici. Per esempio, affermare che «da un certo indice in poi tutti i termini sono positivi» non è una proprietà del solo insieme dei valori: bisogna sapere dove e quante volte compaiono gli eventuali valori non positivi.

Anche il limite, che introdurremo nella prossima lezione, descrive il comportamento dei termini quando l'indice cresce. Se cancellassimo l'indicizzazione e conservassimo soltanto l'insieme dei valori, perderemmo l'informazione necessaria.

Come si assegna una successione

Elencare i termini

Una successione può essere suggerita scrivendo

a_0,a_1,a_2,\ldots.

Quando la legge è già nota o evidente dal contesto, questa scrittura è comoda. Da sola, però, una lista finita seguita dai puntini non determina in generale una successione unica.

La scrittura

1,1,2,3,5,\ldots

fa pensare ai numeri di Fibonacci, ma i termini successivi non sono matematicamente obbligati finché non viene dichiarata una regola.

Per assegnare una successione in modo rigoroso occorre fornire una legge che determini ogni termine.

Definizione esplicita

Una successione è definita in forma esplicita quando il termine a_n è espresso direttamente in funzione dell'indice n.

Esempi:

a_n=3n-2, \qquad n\ge0;
b_n=\frac{(-1)^n}{n+1}, \qquad n\ge0;
c_n=\sqrt{n-1}, \qquad n\ge1.

Per calcolare un termine non è necessario conoscere quelli precedenti. Per esempio,

a_{100}=3\cdot100-2=298

si ottiene sostituendo direttamente n=100.

Definizione per ricorrenza

Una successione è definita per ricorrenza quando uno o più termini iniziali sono assegnati e ogni nuovo termine viene costruito a partire da termini precedenti.

Per esempio,

a_0=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \qquad \text{per }n\ge0.

La legge non fornisce immediatamente a_{100}, ma permette di generare i termini uno dopo l'altro:

a_0=2,
a_1=a_0+3=5,
a_2=a_1+3=8,
a_3=a_2+3=11.

In questo caso la successione ammette anche la formula esplicita

a_n=2+3n.

Le due descrizioni assegnano la stessa successione.

Quanti dati iniziali servono?

La legge ricorsiva deve essere accompagnata da tutti i dati iniziali necessari.

La relazione

a_{n+1}=a_n+3

non determina una successione unica se non viene specificato almeno un termine. Infatti:

  • con a_0=0 si ottiene 0,3,6,9,\ldots;
  • con a_0=2 si ottiene 2,5,8,11,\ldots;
  • con a_0=-1 si ottiene -1,2,5,8,\ldots.

Una ricorrenza che coinvolge i due termini precedenti richiede normalmente due dati iniziali. La successione di Fibonacci, per esempio, è definita da

F_0=0, \qquad F_1=1

e

F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \qquad \text{per }n\ge0.

Da questi dati seguono in modo univoco

F_2=1, \qquad F_3=2, \qquad F_4=3, \qquad F_5=5.

La ricorrenza deve determinare un unico termine

Non basta scrivere un'equazione che coinvolga a_{n+1}. Occorre che, una volta noti i termini precedenti, il nuovo termine sia determinato in modo univoco.

Per esempio,

a_{n+1}^2=a_n+2

può dare

a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}

oppure

a_{n+1}=-\sqrt{a_n+2},

quando entrambe le radici reali esistono. Per eliminare l'ambiguità si deve specificare, per esempio,

a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}.

Bisogna inoltre controllare che l'operazione resti definita. Se compare una radice quadrata, il radicando deve essere non negativo; se compare un denominatore, esso non deve annullarsi.

Il ruolo del principio di induzione

Una definizione ricorsiva genera i termini uno alla volta. Il principio di induzione è lo strumento naturale per dimostrare che una formula esplicita descrive proprio la successione così ottenuta.

Riprendiamo

a_0=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3.

Vogliamo provare che

a_n=2+3n \qquad \text{per ogni }n\in\mathbb N.

Passo iniziale. Per n=0,

a_0=2=2+3\cdot0.

Passo induttivo. Supponiamo che per un certo n valga

a_n=2+3n.

Allora, usando la ricorrenza,

\begin{aligned} a_{n+1} &=a_n+3\\ &=(2+3n)+3\\ &=2+3(n+1). \end{aligned}

La formula è quindi vera per ogni n\in\mathbb N.

Successioni a valori in insiemi diversi

Successioni reali

Le successioni più frequenti in Analisi Matematica 1 sono quelle a valori reali:

a:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R.

Alcuni esempi sono

a_n=n^2,
b_n=\frac{1}{n+1},
c_n=(-1)^n.

In questa lezione ci interessa soltanto come sono definite e quali proprietà possiedono da un certo indice in poi. Il loro comportamento limite verrà studiato nelle lezioni successive.

Successioni in \mathbb R^k

Una successione a valori in \mathbb R^2 associa a ogni indice un punto del piano. Per esempio,

p_n= \left( \frac{1}{n+1}, \frac{n}{n+1} \right).

Il termine di indice 0 è

p_0=(1,0),

mentre

p_1= \left( \frac12, \frac12 \right).

In generale, una successione in \mathbb R^k ha la forma

x_n= \left( x_n^{(1)},x_n^{(2)},\ldots,x_n^{(k)} \right).

Le parentesi tonde esterne indicano il vettore, mentre l'indice n indica la posizione nella successione. L'indice in alto tra parentesi identifica invece la componente.

Successioni complesse

Una successione complessa è una funzione

z:\mathbb N\longrightarrow\mathbb C.

Per esempio,

z_n=i^n

produce

1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,\ldots.

L'insieme dei valori è

\{1,i,-1,-i\},

ma la successione registra anche l'ordine periodico con cui questi valori compaiono.

Successioni di insiemi

Il codominio può essere anche una famiglia di insiemi. Per esempio, definiamo

I_n= \left( -\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right).

Ogni termine I_n è un intervallo reale:

I_0=(-1,1),
I_1= \left( -\frac12,\frac12 \right),
I_2= \left( -\frac13,\frac13 \right).

Questa è una successione di sottoinsiemi di \mathbb R. Il termine I_n non è un numero, ma un intero insieme.

Successioni di funzioni

Possiamo anche avere una funzione come termine della successione. Se

f_n(x)=x^n, \qquad x\in[0,1],

allora

(f_n)_{n\ge0}

è una successione di funzioni definite su [0,1].

Questi esempi mostrano perché è utile definire una successione a valori in un insieme astratto X. La struttura formale è sempre la stessa:

n\longmapsto a_n.

Cambia soltanto la natura degli oggetti a_n.

Proprietà valide definitivamente

L'idea di «da un certo punto in poi»

Molte affermazioni dell'analisi non richiedono che una proprietà sia vera fin dal primo termine. È sufficiente che, dopo un numero finito di eccezioni, essa resti sempre vera.

Consideriamo

a_n=n-5, \qquad n\in\mathbb N.

I primi termini sono

-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,\ldots.

La proprietà «a_n>0» non vale per n=0,1,\ldots,5, ma vale per ogni n\ge6. Diremo quindi che la successione è definitivamente positiva.

Definizione mediante quantificatori

Definizione. Sia (a_n)_{n\ge n_0} una successione. Una proprietà P(n,a_n) è verificata definitivamente, o per n sufficientemente grande, se esiste un indice N\ge n_0 tale che

P(n,a_n) \qquad \text{per ogni }n\ge N.

In forma quantificata:

\exists N\ge n_0 \quad \forall n\ge N: \quad P(n,a_n).

La proprietà può riguardare soltanto il termine, come in

a_n>0,

oppure coinvolgere anche esplicitamente l'indice, come in

a_n<n^2.

L'ordine dei quantificatori è essenziale:

\exists N\ \forall n\ge N.

Prima si deve trovare un'unica soglia N; poi la proprietà deve valere per tutti gli indici successivi.

La soglia non è unica

Se una proprietà vale per ogni n\ge N, allora vale anche per ogni n\ge N', quando N'\ge N.

Per la successione

a_n=n-5,

la proprietà a_n>0 vale da N=6 in poi. Funzionano anche

N=7, \qquad N=10, \qquad N=1000.

La soglia 6 è la più piccola possibile, ma nella maggior parte delle dimostrazioni non è necessario trovare la soglia minima. È sufficiente individuarne una corretta.

Questa libertà è molto utile: possiamo scegliere una soglia più grande se rende i calcoli più semplici o permette di combinare più richieste.

Formulazione mediante appartenenza a un insieme

Sia S\subseteq X. Dire che la successione si trova definitivamente in S significa

\exists N \quad \forall n\ge N: \quad a_n\in S.

In altre parole, almeno una coda completa della successione è contenuta in S:

\{a_n:n\ge N\}\subseteq S.

Per esempio, se

a_n=\frac{n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb N,

allora

a_n\in\left(\frac12,1\right) \qquad \text{per ogni }n\ge2.

La successione si trova quindi definitivamente nell'intervallo (1/2,1).

Notiamo che a_0=0 e a_1=1/2 non appartengono all'intervallo. Le eccezioni iniziali non impediscono alla proprietà di essere definitiva.

Una soglia ricavata da una disuguaglianza

Consideriamo

a_n=\frac{1}{n+1}

e chiediamoci quando vale

a_n<0.01.

Poiché n+1>0, la disuguaglianza equivale a

\frac{1}{n+1}<\frac{1}{100},

quindi a

n+1>100.

Per gli indici naturali ciò accade quando

n\ge100.

Possiamo scegliere N=100. La proprietà è dunque verificata definitivamente.

Questo esempio mostra il metodo operativo:

  1. si traduce la proprietà in una condizione sull'indice;
  2. si trova una soglia che rende vera la condizione;
  3. si verifica che la proprietà valga per ogni indice successivo.

Formulazione mediante eccezioni finite

Data una proprietà P, consideriamo l'insieme degli indici per i quali essa fallisce:

E_P=\{n\ge n_0:P(n,a_n)\text{ non è vera}\}. è

Vale il seguente risultato.

Teorema. La proprietà P è verificata definitivamente dalla successione (a_n)_{n\ge n_0} se e solo se l'insieme E_P degli indici eccezionali è finito.

Dimostrazione.

Supponiamo anzitutto che P valga definitivamente. Esiste allora una soglia N tale che P(n,a_n) sia vera per ogni n\ge N. Gli eventuali indici per cui P fallisce devono quindi appartenere all'insieme finito

\{n_0,n_0+1,\ldots,N-1\}.

Di conseguenza E_P è finito.

Viceversa, supponiamo che E_P sia finito. Se E_P è vuoto, la proprietà vale per ogni indice e possiamo scegliere N=n_0. Se E_P non è vuoto, essendo finito possiede un massimo. Poniamo

N=\max E_P+1.

Nessun indice n\ge N appartiene a E_P; pertanto P(n,a_n) è vera per ogni n\ge N. La proprietà vale definitivamente.

\square

Il teorema giustifica l'espressione equivalente:

una proprietà vale definitivamente se vale per tutti i termini, con l'eccezione al più di un numero finito di indici.

«Sempre», «definitivamente» e «per infiniti indici»

Queste tre espressioni non sono equivalenti.

La proprietà P vale sempre se

\forall n\ge n_0: \quad P(n,a_n).

Vale definitivamente se

\exists N\ge n_0 \quad \forall n\ge N: \quad P(n,a_n).

Vale per infiniti indici se l'insieme

\{n\ge n_0:P(n,a_n)\text{ è vera}\} è

è infinito.

Si hanno le implicazioni

\text{sempre} \Longrightarrow \text{definitivamente} \Longrightarrow \text{per infiniti indici}.

I conversi sono falsi.

Per esempio, per

a_n=n-5,

la proprietà a_n>0 vale definitivamente, ma non sempre.

Per

b_n=(-1)^n,

la proprietà b_n>0 vale per tutti gli indici pari, quindi per infiniti indici. Tuttavia non vale definitivamente, perché dopo qualunque soglia continuano a comparire indici dispari per i quali b_n=-1.

La negazione di una proprietà definitiva

Negare

\exists N \quad \forall n\ge N: \quad P(n,a_n)

significa affermare

\forall N \quad \exists n\ge N: \quad P(n,a_n)\text{ non è vera}. è

In parole:

una proprietà non vale definitivamente se, qualunque soglia venga scelta, esiste almeno un indice successivo per il quale la proprietà fallisce.

Per b_n=(-1)^n, la proprietà b_n>0 non vale definitivamente. Data una qualunque soglia N, possiamo scegliere un indice dispari n\ge N; per tale indice si ha

b_n=-1<0.

Questa forma logica sarà molto importante quando, nella prossima lezione, negheremo la definizione di limite.

Le proprietà definitive dipendono soltanto dalla coda

Il prefisso finito non conta

Consideriamo due successioni:

a_n=\frac{1}{n+1}

e

b_n= \begin{cases} 1000, & n=0,\\ -50, & n=1,\\ 7, & n=2,\\ \dfrac{1}{n+1}, & n\ge3. \end{cases}

Le successioni differiscono nei primi tre termini e coincidono da n=3 in poi.

Qualunque proprietà riguardi tutti i termini da una soglia abbastanza grande in poi non può dipendere dai valori di b_0,b_1,b_2. Basta scegliere la soglia oltre gli indici modificati.

Successioni definitivamente uguali

Definizione. Due successioni (a_n) e (b_n) si dicono definitivamente uguali se esiste N tale che

a_n=b_n \qquad \text{per ogni }n\ge N.

L'uguaglianza definitiva è più debole dell'uguaglianza ordinaria. Se due successioni sono uguali, sono certamente definitivamente uguali. Il converso non è vero: possono differire in un numero finito di posizioni iniziali.

Invarianza rispetto a modifiche finite

Teorema. Siano (a_n) e (b_n) due successioni definitivamente uguali. Una proprietà dei termini vale definitivamente per (a_n) se e solo se vale definitivamente per (b_n).

Dimostrazione.

Supponiamo che le successioni coincidano per ogni n\ge N_0 e che la proprietà P valga per a_n ogni volta che n\ge N_1.

Scegliamo

N=\max\{N_0,N_1\}.

Se n\ge N, allora n\ge N_0 e quindi

b_n=a_n.

Inoltre n\ge N_1, perciò a_n verifica P. Di conseguenza anche b_n verifica P per ogni n\ge N.

Abbiamo dimostrato che P vale definitivamente per (b_n). Scambiando i ruoli delle due successioni si ottiene l'implicazione inversa.

\square

Aggiungere, eliminare o modificare termini iniziali

Il teorema precedente racchiude un principio operativo fondamentale:

  • modificare un numero finito di termini non cambia le proprietà definitive;
  • aggiungere un numero finito di termini prima dell'indice iniziale non cambia il comportamento definitivo;
  • eliminare un numero finito di termini iniziali non cambia le proprietà definitive;
  • spostare l'indice iniziale di una quantità finita non cambia ciò che accade da un certo punto in poi.

Nelle prime tre affermazioni si conservano gli indici dei termini rimasti. Se si rinumera l'intera successione, le consuete proprietà che riguardano soltanto i valori di una coda restano invariate; una proprietà che contiene esplicitamente l'indice deve invece essere riscritta tenendo conto della traslazione.

È necessario, però, conservare la parola «finito». Una modifica eseguita su infiniti indici può alterare completamente una proprietà definitiva.

Per esempio, trasformare

a_n=1

in

b_n=(-1)^n

significa cambiare tutti i termini con indice dispari. La proprietà «essere positivo» vale sempre per (a_n), ma non vale definitivamente per (b_n).

Combinare proprietà definitive

Due proprietà

Supponiamo che una proprietà P_1 valga per ogni n\ge N_1 e che una proprietà P_2 valga per ogni n\ge N_2.

Per imporle simultaneamente scegliamo

N=\max\{N_1,N_2\}.

Se n\ge N, allora

n\ge N_1

e

n\ge N_2.

Pertanto, per ogni n\ge N, valgono sia P_1 sia P_2.

Teorema. La congiunzione di due proprietà definitive è una proprietà definitiva.

Un numero finito di proprietà

Lo stesso ragionamento vale per un numero finito di proprietà.

Teorema. Se P_1,P_2,\ldots,P_m sono verificate definitivamente, allora è verificata definitivamente anche la proprietà congiunta

P_1\land P_2\land\cdots\land P_m.

Dimostrazione.

Per ogni i\in\{1,\ldots,m\}, scegliamo una soglia N_i dalla quale vale P_i. Poiché le soglie sono in numero finito, esiste il loro massimo:

N=\max\{N_1,N_2,\ldots,N_m\}.

Per ogni n\ge N si ha n\ge N_i per tutti gli indici i=1,\ldots,m. Quindi tutte le proprietà valgono simultaneamente.

\square

La finitezza è usata in un punto preciso: un insieme finito di numeri naturali possiede un massimo.

Un esempio operativo

Consideriamo

a_n=n-5

e le proprietà

P_1:\quad a_n>0

e

P_2:\quad a_n>100.

La prima vale per ogni n\ge6. La seconda equivale a

n-5>100,

cioè

n>105,

e vale per ogni n\ge106.

Scegliendo

N=\max\{6,106\}=106,

entrambe le proprietà sono vere per ogni n\ge106.

In questo esempio P_2 implica già P_1, ma il metodo del massimo funziona senza dover osservare questa relazione.

Perché una famiglia infinita richiede cautela

Non possiamo estendere automaticamente il teorema a infinite proprietà.

Consideriamo

a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb N,

e, per ogni intero k\ge1, la proprietà

P_k:\quad a_n<\frac1k.

Fissato k, si ha

\frac{1}{n+1}<\frac1k

quando

n+1>k.

Possiamo quindi scegliere N_k=k. Ogni singola proprietà P_k vale definitivamente.

Tuttavia non esiste alcun indice n per il quale valgano simultaneamente tutte le proprietà P_k. Fissato n, basta scegliere

k=n+2.

Si avrebbe allora

\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n+2},

che è falso.

Il problema è che la famiglia infinita di soglie

N_1,N_2,N_3,\ldots

non possiede necessariamente un massimo finito. Ogni richiesta, considerata da sola, può essere soddisfatta da una coda diversa, senza che esista una sola coda capace di soddisfarle tutte.

Proprietà definitive di successioni diverse

Il metodo del massimo funziona anche quando le proprietà riguardano successioni diverse.

Supponiamo che

P(a_n)

valga per ogni n\ge N_1 e che

Q(b_n)

valga per ogni n\ge N_2.

Per

N=\max\{N_1,N_2\},

si hanno simultaneamente

P(a_n)

e

Q(b_n)

per ogni n\ge N.

Questa semplice osservazione verrà usata continuamente nei teoremi sui limiti: quando due stime diventano vere da soglie diverse, basterà spostarsi oltre la più grande delle due.

Esempi svolti di difficoltà crescente

Esempio 1 - Leggere una formula esplicita

Consideriamo

a_n=\frac{2n-1}{n+1}, \qquad n\ge0.

Calcoliamo i primi quattro termini:

a_0=\frac{-1}{1}=-1,
a_1=\frac{1}{2},
a_2=\frac{3}{3}=1,
a_3=\frac{5}{4}.

Il termine di indice 10 è

\begin{aligned} a_{10} &=\frac{2\cdot10-1}{10+1}\\ &=\frac{19}{11}. \end{aligned}

La formula permette di calcolare direttamente qualunque termine senza conoscere i precedenti.

Esempio 2 - La stessa immagine non determina la successione

Definiamo

a_n= \begin{cases} 0, & n\text{ pari},\\ 1, & n\text{ dispari}, \end{cases}

e

b_n= \begin{cases} 1, & n\text{ multiplo di }3,\\ 0, & \text{altrimenti}. \end{cases}

I primi termini sono

(a_n): \quad 0,1,0,1,0,1,\ldots

e

(b_n): \quad 1,0,0,1,0,0,\ldots.

Entrambe hanno come insieme dei valori

\{0,1\}.

Non sono però la stessa successione, perché, per esempio,

a_0=0 \qquad \text{e} \qquad b_0=1.

Esempio 3 - Dalla ricorrenza ai primi termini

Sia

a_0=1, \qquad a_{n+1}=2a_n+1.

Calcoliamo:

a_1=2a_0+1=3,
a_2=2a_1+1=7,
a_3=2a_2+1=15,
a_4=2a_3+1=31.

I valori suggeriscono la formula

a_n=2^{n+1}-1.

La verifichiamo per induzione.

Per n=0:

a_0=1=2^1-1.

Supponiamo che a_n=2^{n+1}-1. Allora

\begin{aligned} a_{n+1} &=2a_n+1\\ &=2\left(2^{n+1}-1\right)+1\\ &=2^{n+2}-1. \end{aligned}

La formula è dunque valida per ogni n\in\mathbb N.

Esempio 4 - Trovare una soglia

Sia

a_n=n^2-10.

Vogliamo mostrare che

a_n>500

definitivamente.

La disuguaglianza equivale a

n^2-10>500,

quindi a

n^2>510.

Poiché

22^2=484

e

23^2=529,

per ogni n\ge23 si ha n^2\ge529>510. Possiamo scegliere

N=23.

Non occorre risolvere la disuguaglianza con la massima precisione possibile: anche N=24 o N=100 sarebbero soglie corrette.

Esempio 5 - Descrivere gli indici eccezionali

Consideriamo

a_n=\frac{n}{n+2}

e la proprietà

a_n\ge\frac12.

Poiché n+2>0, possiamo moltiplicare senza cambiare il verso:

\frac{n}{n+2}\ge\frac12 \iff 2n\ge n+2 \iff n\ge2.

La proprietà vale per ogni n\ge2. Gli indici eccezionali sono

E=\{0,1\}.

L'insieme E è finito e la proprietà è quindi definitiva.

Esempio 6 - «Per infiniti indici» non basta

Per

a_n=(-1)^n(n+1)

si ha

a_n>0

per ogni indice pari. Gli indici pari sono infiniti.

Per ogni indice dispari, invece,

a_n<0.

Anche gli indici dispari sono infiniti e ne esistono di arbitrariamente grandi. Qualunque soglia N venga scelta, dopo N compare ancora un indice dispari. La positività non è quindi definitiva.

In compenso, la proprietà

|a_n|\ge10

vale definitivamente. Infatti

|a_n|=n+1,

e per ogni n\ge9 si ha n+1\ge10.

Esempio 7 - Combinare due richieste

Siano

a_n=n-3

e

b_n=\frac{1}{n+1}.

Vogliamo trovare una soglia comune dalla quale valgano

a_n>20

e

b_n<0.01.

La prima disuguaglianza equivale a

n-3>20,

quindi vale per ogni

n\ge24.

Abbiamo già visto che la seconda vale per ogni

n\ge100.

Una soglia comune è

N=\max\{24,100\}=100.

Per ogni n\ge100 entrambe le richieste sono soddisfatte.

Esempio 8 - Una modifica finita non cambia la proprietà

Definiamo

a_n=n

e

b_n= \begin{cases} -1000, & n=0,\\ -2000, & n=1,\\ -3000, & n=2,\\ n, & n\ge3. \end{cases}

Le due successioni coincidono da n=3 in poi.

La proprietà

a_n>50

vale per ogni n\ge51. Per la successione (b_n) possiamo scegliere

N=\max\{3,51\}=51.

Anche b_n>50 vale quindi definitivamente. I tre valori iniziali, per quanto molto negativi, non hanno alcun effetto sulla proprietà definitiva.

Distinzioni concettuali da conservare

Concetti da non confondere Distinzione
Successione e insieme dei valori La successione conserva indici, ordine e ripetizioni; l'insieme dei valori no.
Dominio e codominio Il dominio contiene gli indici; il codominio contiene i possibili termini.
Codominio e immagine Il codominio è dichiarato nella definizione della funzione; l'immagine contiene soltanto i valori effettivamente assunti.
Formula e successione La formula assegna una successione soltanto dopo aver specificato il dominio degli indici e verificato dove è definita.
Elenco iniziale e definizione Un numero finito di termini seguito dai puntini non determina in generale una legge unica.
Definizione esplicita e ricorsiva La prima calcola a_n direttamente da n; la seconda costruisce a_n da termini precedenti e richiede dati iniziali.
Uguaglianza e uguaglianza definitiva L'uguaglianza vale per ogni indice; l'uguaglianza definitiva può ammettere un numero finito di differenze iniziali.
Sempre e definitivamente «Sempre» non ammette eccezioni; «definitivamente» ammette un numero finito di eccezioni iniziali.
Definitivamente e per infiniti indici Nel primo caso tutti gli indici abbastanza grandi funzionano; nel secondo possono continuare a esserci infiniti fallimenti.
Una soglia e la soglia minima Per dimostrare una proprietà definitiva basta una soglia corretta; non è necessario trovare la più piccola.
Congiunzione finita e infinita Per un numero finito di soglie si prende il massimo; una famiglia infinita può non avere un massimo finito.
Tabella 1: Concetti fondamentali da distinguere

Errori frequenti

Confondere (a_n) con \{a_n\}

La notazione

(a_n)

indica la successione. Per l'insieme dei valori scriveremo

\{a_n:n\in\mathbb N\}.

L'uso indistinto delle parentesi tonde e graffe nasconde la differenza tra un oggetto indicizzato e un insieme.

Dimenticare l'indice iniziale

La formula 1/n non definisce una successione reale per n\ge0. Occorre scrivere

\left(\frac1n\right)_{n\ge1}.

Prima di calcolare i termini bisogna controllare denominatori, radicali, logaritmi e ogni altra restrizione di dominio.

Credere che i puntini definiscano una legge

Una scrittura come

1,2,4,\ldots

non specifica univocamente i termini successivi. È necessario dichiarare una formula, una ricorrenza o un'altra regola non ambigua.

Omettere i dati iniziali di una ricorrenza

La relazione

a_{n+1}=2a_n

ammette infinite successioni, una per ogni scelta di a_0. Per determinare una successione unica bisogna assegnare il dato iniziale.

Fornire troppo pochi dati iniziali

La ricorrenza

a_{n+2}=a_{n+1}+a_n

richiede due valori iniziali. Conoscere soltanto a_0 non permette di calcolare a_2, perché manca a_1.

Usare una ricorrenza ambigua

L'equazione

a_{n+1}^2=a_n+1

non specifica quale radice scegliere. Una legge ricorsiva deve determinare un unico nuovo termine e deve restare definita per tutti gli indici previsti.

Confondere la posizione con il valore

In una successione può accadere che

a_n=a_m

con n\ne m. I termini hanno lo stesso valore, ma occupano posizioni diverse. La ripetizione non elimina l'indicizzazione.

Pensare che «definitivamente» significhi «molte volte»

Una proprietà definitiva deve valere per tutti gli indici oltre una soglia. Non basta che valga per cento indici, per un milione di indici o perfino per infiniti indici.

Scegliere una soglia diversa per ogni indice

La struttura corretta è

\exists N \quad \forall n\ge N.

La soglia viene scelta una volta sola. Una frase del tipo «per ogni n scelgo N=n» non dimostra nulla, perché inverte il ruolo dei quantificatori.

Controllare soltanto il primo indice dopo la soglia

Verificare P(N,a_N) non basta. Bisogna dimostrare

P(n,a_n) \qquad \text{per ogni }n\ge N.

Una proprietà potrebbe valere in N e fallire di nuovo in seguito.

Pretendere la soglia minima

Se N=100 rende vera una proprietà, la dimostrazione è corretta anche se N=73 avrebbe funzionato. Cercare sempre la soglia minima può appesantire il calcolo senza aggiungere contenuto matematico.

Usare il massimo per infinite soglie

Il massimo

\max\{N_1,\ldots,N_m\}

esiste perché l'insieme è finito. Non si può scrivere automaticamente

\max\{N_1,N_2,N_3,\ldots\}

senza dimostrare che la famiglia infinita ammetta davvero un massimo finito.

Esercizi svolti

Gli esercizi sono ordinati per difficoltà. È consigliabile tentare ogni problema prima di leggere lo svolgimento.

Livello A - Definizioni e calcolo dei termini

Esercizio 1

Sia

a_n=\frac{n^2+1}{n+1}, \qquad n\ge0.
  1. Calcolare a_0,a_1,a_2,a_5.
  2. Indicare dominio degli indici e un possibile codominio.
  3. Stabilire se a_n è il valore della successione oppure la successione intera.

Svolgimento.

Sostituendo gli indici nella formula otteniamo

a_0=\frac{0^2+1}{0+1}=1,
a_1=\frac{1^2+1}{1+1}=1,
a_2=\frac{2^2+1}{2+1}=\frac53,
a_5=\frac{5^2+1}{5+1}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.

Il dominio degli indici è \mathbb N, perché la successione è dichiarata per n\ge0. Un possibile codominio è \mathbb R.

Il simbolo a_n indica il termine corrispondente all'indice generico n. La successione intera si indica con

(a_n)_{n\ge0}.

Esercizio 2

Determinare il più piccolo indice iniziale naturale per il quale ciascuna formula definisce una successione reale su tutti gli indici successivi:

  1. a_n=1/(n-4);
  2. b_n=\sqrt{n-3};
  3. c_n=\log(n+2);
  4. d_n=\sqrt{n-2}/(n+1).

Svolgimento.

Per

a_n=\frac{1}{n-4},

il solo indice naturale vietato è n=4. Non esiste un indice iniziale minore o uguale a 4 dal quale la formula sia definita senza interruzioni, perché la coda conterrebbe l'indice vietato. Il più piccolo indice iniziale adatto è

n_0=5.

Per

b_n=\sqrt{n-3},

occorre

n-3\ge0,

quindi

n_0=3.

Per

c_n=\log(n+2),

occorre n+2>0. La condizione è verificata da ogni n\in\mathbb N, perciò

n_0=0.

Infine,

d_n=\frac{\sqrt{n-2}}{n+1}

richiede n-2\ge0. Per gli indici naturali il denominatore n+1 non si annulla. Quindi

n_0=2.

Esercizio 3

Considerare le successioni

a_n=(-1)^n,
b_n=(-1)^{n+1},
c_n=1 \qquad \text{per ogni }n\in\mathbb N.
  1. Scrivere i primi sei termini di ciascuna.
  2. Determinare i rispettivi insiemi dei valori.
  3. Stabilire quali successioni sono uguali.

Svolgimento.

Per (a_n) otteniamo

1,-1,1,-1,1,-1,\ldots.

Per (b_n) otteniamo

-1,1,-1,1,-1,1,\ldots.

Per (c_n) otteniamo

1,1,1,1,1,1,\ldots.

Gli insiemi dei valori sono

\{a_n:n\in\mathbb N\}=\{-1,1\},
\{b_n:n\in\mathbb N\}=\{-1,1\},
\{c_n:n\in\mathbb N\}=\{1\}.

Le successioni (a_n) e (b_n) hanno lo stesso insieme dei valori, ma non sono uguali perché, per esempio, a_0=1 e b_0=-1. Nessuna delle tre successioni è uguale a un'altra.

Esercizio 4

Siano

a_n=\frac1n, \qquad n\ge1,

e

b_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\ge0.
  1. Confrontare le due liste di valori.
  2. Stabilire se le due successioni sono uguali come funzioni.
  3. Scrivere una relazione tra i loro termini.

Svolgimento.

Le due liste sono entrambe

1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots.

Le successioni non sono però uguali come funzioni, perché hanno domini di indici diversi:

\{1,2,3,\ldots\}

e

\{0,1,2,\ldots\}.

La relazione corretta è

b_n=a_{n+1} \qquad \text{per ogni }n\ge0.

Si tratta della stessa lista di valori con un'indicizzazione traslata.

Esercizio 5

La successione (a_n) è definita da

a_0=2, \qquad a_{n+1}=3a_n-1.

Calcolare a_1,a_2,a_3,a_4.

Svolgimento.

Applichiamo la ricorrenza un termine alla volta:

a_1=3a_0-1=3\cdot2-1=5,
a_2=3a_1-1=3\cdot5-1=14,
a_3=3a_2-1=3\cdot14-1=41,
a_4=3a_3-1=3\cdot41-1=122.

I primi cinque termini, includendo quello iniziale, sono

2,5,14,41,122.

Esercizio 6

Sia

a_0=4, \qquad a_{n+1}=a_n+5.
  1. Congetturare una formula esplicita per a_n.
  2. Dimostrarla per induzione.

Svolgimento.

I primi termini sono

4,9,14,19,\ldots.

La formula naturale è

a_n=4+5n.

Per n=0:

a_0=4=4+5\cdot0.

Supponiamo ora che

a_n=4+5n.

Allora

\begin{aligned} a_{n+1} &=a_n+5\\ &=4+5n+5\\ &=4+5(n+1). \end{aligned}

Per il principio di induzione,

a_n=4+5n

per ogni n\in\mathbb N.

Esercizio 7

Esaminare le seguenti assegnazioni e stabilire se ciascuna determina una successione reale unica:

  1. a_{n+1}=a_n+2;
  2. b_0=1 e b_{n+1}=b_n+2;
  3. c_0=0 e c_{n+2}=c_{n+1}+c_n;
  4. d_0=1 e d_{n+1}^2=d_n+1.

Quando l'assegnazione non è sufficiente, spiegare che cosa manca.

Svolgimento.

La relazione

a_{n+1}=a_n+2

non determina una successione unica, perché manca il valore iniziale a_0.

L'assegnazione

b_0=1, \qquad b_{n+1}=b_n+2

determina invece una successione unica. Ogni nuovo termine è calcolato univocamente dal precedente.

Per

c_{n+2}=c_{n+1}+c_n

servono due dati iniziali. È assegnato c_0, ma manca c_1; quindi la successione non è determinata.

Infine,

d_{n+1}^2=d_n+1

lascia in generale due possibilità:

d_{n+1}=\sqrt{d_n+1}

oppure

d_{n+1}=-\sqrt{d_n+1}.

Occorre specificare quale radice scegliere e verificare che il radicando resti non negativo.

Livello B - Proprietà definitive e soglie

Esercizio 8

Sia

a_n=3n-7.

Trovare una soglia N dalla quale

a_n>50.

Svolgimento.

Risolviamo:

3n-7>50 \iff 3n>57 \iff n>19.

Poiché n è naturale, la proprietà vale per ogni

n\ge20.

Possiamo quindi scegliere

N=20.

Esercizio 9

Per

a_n=\frac{1}{n+1},

trovare una soglia dalla quale valga

a_n<0.001.

Svolgimento.

Scriviamo

0.001=\frac{1}{1000}.

Poiché n+1>0,

\frac{1}{n+1}<\frac{1}{1000} \iff n+1>1000.

Per gli indici naturali la condizione equivale a

n\ge1000.

Una soglia corretta è quindi

N=1000.

Osserviamo che per n=999 si ha l'uguaglianza a_{999}=0.001, che non soddisfa la disuguaglianza stretta.

Esercizio 10

Sia

a_n=\frac{n}{n+2}.

Dimostrare che

a_n\in(0.8,1)

definitivamente e trovare una soglia.

Svolgimento.

La disuguaglianza superiore vale per ogni n\in\mathbb N, perché

\frac{n}{n+2}<1

equivale a n<n+2.

Per la disuguaglianza inferiore usiamo

0.8=\frac45.

Poiché n+2>0,

\frac{n}{n+2}>\frac45 \iff 5n>4n+8 \iff n>8.

Quindi, per ogni n\ge9, valgono entrambe le disuguaglianze:

0.8<a_n<1.

Possiamo scegliere

N=9.

Esercizio 11

Sia

a_n=n^2-9.

Per la proprietà

P:\quad a_n\ge0,

determinare l'insieme degli indici eccezionali e una soglia dalla quale P vale.

Svolgimento.

La proprietà equivale a

n^2-9\ge0,

cioè

n^2\ge9.

Per n\in\mathbb N ciò accade quando n\ge3. Gli indici per i quali la proprietà fallisce sono quindi

E_P=\{0,1,2\}.

L'insieme è finito e possiamo scegliere

N=3.

Esercizio 12

Per la successione

a_n=(-1)^n,

stabilire se ciascuna proprietà vale sempre, definitivamente, per infiniti indici ma non definitivamente, oppure mai:

  1. a_n>0;
  2. a_n\ne0;
  3. |a_n|\le1;
  4. a_n<-2.

Svolgimento.

La proprietà a_n>0 vale esattamente per gli indici pari. Vale quindi per infiniti indici, ma non definitivamente, perché continuano a comparire indici dispari arbitrariamente grandi.

La proprietà a_n\ne0 vale sempre, poiché a_n assume soltanto i valori 1 e -1.

Anche

|a_n|\le1

vale sempre, perché

|a_n|=1

per ogni n.

Infine, a_n<-2 non vale mai, perché i soli valori sono -1 e 1.

Esercizio 13

Usare la negazione quantificata per dimostrare che la proprietà

(-1)^n>0

non vale definitivamente.

Svolgimento.

Per dimostrare che la proprietà non vale definitivamente dobbiamo verificare

\forall N\in\mathbb N \quad \exists n\ge N: \quad (-1)^n\le0.

Sia dunque N un naturale arbitrario.

  • Se N è dispari, scegliamo n=N.
  • Se N è pari, scegliamo n=N+1.

In entrambi i casi n è dispari e n\ge N. Pertanto

(-1)^n=-1\le0.

Qualunque soglia venga scelta, esiste un indice successivo che fa fallire la positività. La proprietà non è definitiva.

Esercizio 14

Siano

a_n=2n-1

e

b_n=\frac{1}{n+1}.

Trovare una soglia comune dalla quale valgano simultaneamente

a_n\ge99

e

b_n<0.02.

Svolgimento.

La prima proprietà equivale a

2n-1\ge99,

quindi a

2n\ge100

e infine a

n\ge50.

Per la seconda proprietà osserviamo che

0.02=\frac{1}{50}.

Allora

\frac{1}{n+1}<\frac{1}{50} \iff n+1>50.

Per gli indici naturali ciò equivale a

n\ge50.

Le due soglie coincidono. Possiamo scegliere

N=\max\{50,50\}=50.

Per ogni n\ge50 valgono entrambe le proprietà.

Esercizio 15

Siano

a_n=\frac{1}{n+1}

e

b_n= \begin{cases} 10^6, & n=0,\\ -10^6, & n=1,\\ 42, & n=2,\\ \dfrac{1}{n+1}, & n\ge3. \end{cases}

Dimostrare che la proprietà

|b_n|<0.01

vale definitivamente e indicare una soglia.

Svolgimento.

Le successioni coincidono per ogni n\ge3. Per a_n si ha

|a_n|=\frac{1}{n+1}.

La disuguaglianza

\frac{1}{n+1}<0.01=\frac{1}{100}

vale quando

n+1>100,

ossia per ogni

n\ge100.

Scegliamo

N=\max\{3,100\}=100.

Per ogni n\ge100 si ha b_n=a_n e quindi

|b_n|<0.01.

I tre termini modificati non influenzano la proprietà definitiva.

Livello C - Dimostrazioni e struttura logica

Esercizio 16

Sia (a_n)_{n\ge n_0} una successione e sia P(n,a_n) una proprietà. Dimostrare direttamente l'equivalenza

P\text{ vale definitivamente} \iff \{n\ge n_0:P(n,a_n)\text{ è falsa}\}\text{ è finito}. èè

Svolgimento.

Indichiamo con

E=\{n\ge n_0:P(n,a_n)\text{ è falsa}\} è

l'insieme degli indici eccezionali.

Supponiamo che P valga definitivamente. Esiste una soglia N\ge n_0 tale che P(n,a_n) sia vera per ogni n\ge N. Se un indice appartiene a E, deve quindi essere minore di N. Si ha

E\subseteq\{n_0,n_0+1,\ldots,N-1\}.

Il secondo membro è finito, dunque anche E è finito.

Supponiamo ora che E sia finito. Se E=\varnothing, la proprietà vale per ogni indice e possiamo prendere N=n_0.

Se E\ne\varnothing, il massimo di E esiste. Poniamo

N=\max E+1.

Per ogni n\ge N si ha n>\max E, quindi n\notin E. Di conseguenza P(n,a_n) è vera. La proprietà vale definitivamente.

Le due implicazioni dimostrano l'equivalenza.

Esercizio 17

Dimostrare che la relazione «essere definitivamente uguali» è una relazione di equivalenza tra successioni con lo stesso dominio degli indici.

Svolgimento.

Dobbiamo verificare riflessività, simmetria e transitività.

Riflessività. Ogni successione è definitivamente uguale a se stessa, perché

a_n=a_n

per ogni indice. Possiamo scegliere come soglia l'indice iniziale.

Simmetria. Se (a_n) è definitivamente uguale a (b_n), esiste N tale che

a_n=b_n

per ogni n\ge N. Per la simmetria dell'uguaglianza si ha anche

b_n=a_n

per gli stessi indici. Quindi (b_n) è definitivamente uguale a (a_n).

Transitività. Supponiamo che (a_n) e (b_n) coincidano per ogni n\ge N_1 e che (b_n) e (c_n) coincidano per ogni n\ge N_2. Poniamo

N=\max\{N_1,N_2\}.

Per ogni n\ge N valgono

a_n=b_n

e

b_n=c_n.

Per la transitività dell'uguaglianza,

a_n=c_n.

Pertanto (a_n) e (c_n) sono definitivamente uguali.

La relazione è dunque riflessiva, simmetrica e transitiva.

Esercizio 18

Siano P_1,P_2,\ldots,P_m proprietà verificate definitivamente da una successione (a_n). Dimostrare che anche

P_1\land P_2\land\cdots\land P_m

è verificata definitivamente.

Svolgimento.

Per ogni i\in\{1,\ldots,m\} esiste una soglia N_i tale che P_i valga per ogni n\ge N_i.

Poiché le soglie sono in numero finito, possiamo definire

N=\max\{N_1,N_2,\ldots,N_m\}.

Se n\ge N, allora n\ge N_i per ogni i=1,\ldots,m. Di conseguenza, nello stesso indice n, valgono tutte le proprietà

P_1,P_2,\ldots,P_m.

Quindi la loro congiunzione vale per ogni n\ge N ed è una proprietà definitiva.

Esercizio 19

Costruire una successione (a_n) e una famiglia infinita di proprietà P_1,P_2,\ldots tali che:

  • ogni P_k valga definitivamente;
  • nessun termine della successione verifichi tutte le proprietà simultaneamente.

Svolgimento.

Prendiamo

a_n=\frac{1}{n+1}

e, per ogni k\ge1, definiamo

P_k:\quad a_n<\frac1k.

Fissato k, si ha

\frac{1}{n+1}<\frac1k \iff n+1>k.

La proprietà P_k vale quindi per ogni n\ge k. Ogni singola proprietà è definitiva.

Fissiamo ora un indice qualunque n. Se scegliamo

k=n+2,

la proprietà P_k richiederebbe

\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n+2},

ma questa disuguaglianza è falsa. Quindi nessun termine a_n verifica tutte le proprietà simultaneamente.

L'esempio mostra che non esiste una soglia comune per l'intera famiglia infinita.

Esercizio 20

Sia (a_n)_{n\ge n_0} una successione reale. Supponiamo che esistano M\ge0 e N\ge n_0 tali che

|a_n|\le M \qquad \text{per ogni }n\ge N.

Dimostrare che esiste B\ge0 tale che

|a_n|\le B \qquad \text{per ogni }n\ge n_0.

Svolgimento.

La stima |a_n|\le M controlla tutta la coda a partire da N. Restano da controllare soltanto i termini del prefisso finito

a_{n_0},a_{n_0+1},\ldots,a_{N-1}.

Consideriamo l'insieme finito

\{M,|a_{n_0}|,|a_{n_0+1}|,\ldots,|a_{N-1}|\}.

Se N=n_0, l'insieme si riduce al solo valore M. In ogni caso esso possiede un massimo. Poniamo

B=\max\{M,|a_{n_0}|,|a_{n_0+1}|,\ldots,|a_{N-1}|\}.

Se n_0\le n<N, dalla definizione di B segue

|a_n|\le B.

Se n\ge N, per ipotesi

|a_n|\le M\le B.

La disuguaglianza |a_n|\le B vale quindi per ogni indice. Il risultato mostra ancora una volta che un numero finito di termini iniziali può essere controllato separatamente.

Testi di riferimento

  • Paolo Maurizio Soardi, Analisi matematica, §2.4, §4.1
  • Jaures P. Cecconi e Guido Stampacchia, Analisi Matematica 1 - Funzioni di una variabile, §22
  • Giuseppe De Marco, Analisi Uno, §0.7.3

Sintesi finale

Una successione a valori in un insieme X è una funzione

a:\mathbb N\longrightarrow X.

Adottando

\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\},

il valore associato all'indice n si indica con

a_n=a(n).

Quando la successione inizia da un indice diverso, lo si dichiara esplicitamente:

(a_n)_{n\ge n_0}.

La successione

(a_n)_{n\ge n_0}

e l'insieme dei suoi valori

\{a_n:n\ge n_0\}

sono oggetti diversi. La prima conserva ordine, indici e ripetizioni; il secondo no. Due successioni sono uguali soltanto quando i termini corrispondenti coincidono in ogni indice.

Una successione può essere descritta mediante una formula esplicita,

a_n=f(n),

oppure mediante una ricorrenza. In quest'ultimo caso devono essere assegnati tutti i dati iniziali necessari e la legge deve determinare un unico termine successivo. Il principio di induzione permette spesso di collegare una descrizione ricorsiva a una formula esplicita.

Una proprietà P(n,a_n) vale definitivamente quando

\exists N \quad \forall n\ge N: \quad P(n,a_n).

La soglia non deve essere minima. Se N funziona, funziona ogni soglia più grande. La stessa nozione può essere espressa dicendo che l'insieme degli indici eccezionali

\{n:P(n,a_n)\text{ è falsa}\} è

è finito.

La frase «P vale per infiniti indici» è più debole. Una proprietà non è definitiva quando

\forall N \quad \exists n\ge N: \quad P(n,a_n)\text{ è falsa}. è

Le proprietà definitive dipendono soltanto da una coda della successione. Perciò aggiungere, eliminare o modificare un numero finito di termini iniziali non le altera.

Infine, se proprietà definitive hanno soglie

N_1,N_2,\ldots,N_m,

con m finito, esse valgono simultaneamente dalla soglia

N=\max\{N_1,N_2,\ldots,N_m\}.

La conclusione non si estende automaticamente a una famiglia infinita. Questo meccanismo delle soglie e delle code sarà il cuore logico della definizione di limite che affronteremo nella prossima lezione.