Connettivi Logici
- A partire da frasi atomiche, possiamo costruire frasi più complesse usando connettivi logici come "e", "o", "non", "se... allora...", e "se e solo se...".
- Questi connettivi ci permettono di esprimere relazioni logiche tra proposizioni in modo chiaro e preciso.
- I principali connettivi logici sono: Negazione (¬), Congiunzione (∧), Disgiunzione (∨), Condizionale (→), e Bicondizionale (↔).
- La negazione inverte il valore di verità di una proposizione.
- La congiunzione è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.
- La disgiunzione è vera se almeno una delle proposizioni è vera.
- Il condizionale è falso solo se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa.
- Il bicondizionale è vero solo se entrambe le proposizioni hanno lo stesso valore di verità.
Connettivi Logici
Nella lezione precedente, abbiamo considerato la trasformazione in simboli di frasi italiane abbastanza basilari con lettere come indicatrici di frasi nella Logica delle Proposizioni.
Adesso dobbiamo trattare le espressioni italiane "e", "o", "non", e così via.
Queste espressioni prendono il nome di connettivi (o connettivi logici) e possono essere usati per formare nuove frasi da altre più semplici. Nella Logica Proposizionale, faremo uso di connettivi logici per costruire frasi complesse da componenti atomici. Ci sono cinque connettivi logici nella Logica Proposizionale. Questa tabella li riassume, e sono spiegati in questa lezione.
| Simbolo | Nome | Significato approssimativo |
|---|---|---|
| ¬ | Negazione | "Non è il caso che ..." |
| Congiunzione | "Sia ... che ..." | |
| Disgiunzione | "O ... o ..." | |
| Condizionale | "Se ... allora ..." | |
| Bicondizionale | "Se ... e solo se ..." |
Questi non sono gli unici connettivi dell'italiano di interesse. Altri sono, ad es., "a meno che", "né ... né ...", e "perché". Vedremo che i primi due possono essere espressi dai connettivi che discuteremo, mentre l'ultimo non può. "Perché", a differenza degli altri, non fa parte della Logica Proposizionale, ma lo vedremo nelle prossime lezioni.
Negazione
Consideriamo come potremmo trasformare in simboli queste frasi:
1: Mary è a Barcellona.
2: Non è il caso che Mary sia a Barcellona.
3: Mary non è a Barcellona.
Per simbolizzare la frase 1, avremo bisogno di una lettera di frase. Potremmo scegliere "B" per rappresentare "Mary è a Barcellona". Quindi possiamo simbolizzare la frase 1 come:
B: Mary è a Barcellona.
Poiché la frase 2 è ovviamente correlata alla frase 1, non vorremo simbolizzarla con una lettera di frase completamente diversa. Approssimativamente, la frase 2 significa qualcosa come "Non è il caso che B". Per simbolizzare questo, abbiamo bisogno di un simbolo per la negazione. Useremo "¬". Ora possiamo simbolizzare la frase 2 con "¬B":
¬B: Non è il caso che Mary sia a Barcellona.
La frase 3 contiene anche la parola "non", ed è ovviamente equivalente alla frase 2. Come tale, possiamo anche simbolizzarla con "¬B".
Negazione Logica
Data una frase A, la negazione di A è la frase che può essere parafrasata come:
"Non è il caso che A".
Si indica la negazione di A con "¬A".
Sarà utile offrire alcuni altri esempi:
1: Il componente può essere sostituito.
2: Il componente è insostituibile.
3: Il componente non è insostituibile.
Usiamo la seguente chiave di rappresentazione:
R: Il componente è sostituibile
La frase 1 può ora essere simbolizzata con "R".
Passando alla frase 2: dire che il componente è insostituibile significa che "non è il caso che il componente sia sostituibile". Quindi anche se la frase 2 non contiene la parola "non", la simbolizzeremo come segue: "¬R".
La frase 3 può essere parafrasata come "Non è il caso che il componente sia insostituibile". Che può essere di nuovo parafrasata come "Non è il caso che non sia il caso che il componente sia sostituibile". Quindi potremmo simbolizzare questa frase italiana con l'espressione "¬¬R", ossia R negato due volte.
Il componente può essere sostituito = R
Il componente è insostituibile = ¬R
Il componente non è insostituibile = ¬¬R
Ma occorre una certa attenzione quando si gestiscono le negazioni. Consideriamo:
1: Sara è felice.
2: Sara è infelice.
Se lasciamo che "H" simbolizzi "Sara è felice", allora possiamo simbolizzare la frase 1 come "H".
Tuttavia, sarebbe un errore simbolizzare la frase 2 con "¬H". Se Sara è infelice, allora non è felice; ma la frase 2 non significa la stessa cosa di "Non è il caso che Sara sia felice". Sara potrebbe non essere né felice né infelice; potrebbe essere in uno stato di indifferenza totale. Per simbolizzare la frase 2, quindi, avremmo bisogno di una nuova lettera.
Congiunzione
Consideriamo queste frasi:
1: Alberto è atletico.
2: Barbara è atletica.
3: Alberto è atletico, e anche Barbara è atletica.
Avremo bisogno di lettere di frase separate per simbolizzare le frasi 1 e 2; ad esempio:
A: Alberto è atletico.
B: Barbara è atletica.
La frase 1 può ora essere simbolizzata come "A", e la frase 2 può essere simbolizzata come "B". La frase 3 dice approssimativamente "A e B".
Abbiamo bisogno di un altro simbolo, per trattare "e". Useremo "
Congiunzione Logica
Date due proposizioni A e B, la congiunzione di A e B è la frase che può essere parafrasata come:
"Sia A che B".
Si indica la congiunzione di A e B con "
Le singole proposizioni A e B sono chiamate coordinate della congiunzione "
Notiamo che non facciamo alcun tentativo di simbolizzare la parola 'anche' nella frase 3. Parole come 'entrambi' e 'anche' funzionano per attirare la nostra attenzione sul fatto che due cose vengono congiunte. Forse influenzano l'enfasi di una frase, ma non simbolizzeremo (e non possiamo simbolizzare) tali cose nella Logica Proposizionale.
Esempi di congiunzioni
Alcuni altri esempi porteranno alla luce questo punto:
1: Barbara è atletica ed energica.
2: Barbara e Alberto sono entrambi atletici.
3: Sebbene Barbara sia energica, non è atletica.
4: Alberto è atletico, ma Barbara è più atletica di lui.
La frase 1 è ovviamente una congiunzione. La frase dice due cose (su Barbara). In italiano, è permesso riferirsi a Barbara solo una volta. Potremmo essere tentati di pensare che dobbiamo simbolizzare la frase 1 con qualcosa del tipo "B ed energica". Questo sarebbe un errore. Una volta che simbolizziamo parte di una frase come "B", qualsiasi ulteriore struttura viene persa, poiché "B" è una lettera di frase della Logica Proposizionale. Al contrario, "energica" non è affatto una frase in italiano. Quello a cui miriamo è qualcosa come "B e Barbara è energica". Quindi dobbiamo aggiungere un'altra lettera di frase alla chiave di simbolizzazione. Sia "E" a simbolizzare "Barbara è energica". Ora l'intera frase può essere simbolizzata come '
B: Barbara è atletica.
E: Barbara è energica.
La frase 2 dice una cosa su due soggetti diversi. Dice di entrambi, Barbara e Alberto, che sono atletici, anche se in italiano usiamo la parola "atletico" solo una volta. La frase può essere parafrasata come "Barbara è atletica, e Alberto è atletico". Possiamo simbolizzare questo nella Logica Proposizionale come '
A: Alberto è atletico.
B: Barbara è atletica.
La frase 3 è leggermente più complicata. La parola "sebbene" stabilisce un contrasto tra la prima parte della frase e la seconda parte. Tuttavia, la frase ci dice sia che Barbara è energica sia che non è atletica. Per rendere ciascuno dei congiunti una lettera di frase, dobbiamo sostituire "lei" con "Barbara". Quindi possiamo riscrivere la frase 3 come, "Sia Barbara è energica, che Barbara non è atletica". Il secondo congiunto contiene una negazione, quindi parafrasiamo ulteriormente: "Sia Barbara è energica che non è il caso che Barbara sia atletica". Ora possiamo simbolizzare questo con l'espressione:
B: Barbara è atletica.
E: Barbara è energica.
Si noti che abbiamo perso tutti i tipi di sfumature in questa simbolizzazione. C'è una distinta differenza di tono tra la frase 3 e "Sia Barbara è energica che non è il caso che Barbara sia atletica". La Logica Proposizionale non deve (e non può) preservare queste sfumature.
La frase 4 solleva problemi simili. La parola "ma" suggerisce un contrasto o una differenza, ma questo non è qualcosa con cui in Logica Proposizionale si può trattare. Tutto ciò che possiamo fare è parafrasare la frase come "Sia Alberto è atletico, che Barbara è più atletica di Alberto". Notiamo che sostituiamo di nuovo il pronome "lui" con "Alberto". Come dovremmo trattare la seconda coordinata? Abbiamo già la lettera di frase "A", che viene usata per simbolizzare "Alberto è atletico", e la frase "B" che viene usata per simbolizzare "Barbara è atletica"; ma nessuna di queste riguarda la loro atleticità relativa. Quindi, per simbolizzare l'intera frase, abbiamo bisogno di una nuova lettera di frase. Sia la frase "R" a simbolizzare la frase italiana "Barbara è più atletica di Alberto". Ora possiamo simbolizzare la frase 4 con:
A: Alberto è atletico.
R: Barbara è più atletica di Alberto.
Una frase può essere simbolizzata come (A ∧ B) se può essere parafrasata in italiano come:
"Sia... , che..."
"... , ma ..."
"sebbene ... , ..."
"... ed ..."
Ordine temporale e congiunzioni asimmetriche
Abbiamo notato sopra che il contrasto suggerito da "ma" non può essere catturato nella Logica Proposizionale, e che semplicemente lo ignoriamo.
Un fenomeno che non può essere semplicemente ignorato, invece, è l'ordine temporale. Ad esempio, consideriamo le due frasi seguenti:
1: Simone si alzò in piedi e si oppose alla proposta.
2: Simone si oppose alla proposta e si alzò in piedi.
Se Simone si alzò dopo essersi opposto, la frase 2 è vera ma la frase 1 è falsa, l'uso di "e" qui è asimmetrico. Il simbolo "∧" della Logica Proposizionale, tuttavia, è sempre simmetrico (o "commutativo" come dicono i logici). La Logica Proposizionale non può trattare "e" asimmetrici. Assumeremo per tutti i nostri esempi ed esercizi che "e" sia simmetrico.
La congiunzione è commutativa
Il connettivo logico "∧" è commutativo. Quindi, per qualsiasi proposizione A e B:
Precedenza dei connettivi
Potreste chiedervi perché mettiamo le parentesi attorno alle congiunzioni. La ragione può essere evidenziata pensando a come la negazione interagisce con la congiunzione. Consideriamo le frasi:
1: Non è il caso che tu riceverai sia zuppa che insalata.
2: Non riceverai zuppa ma riceverai insalata.
La frase 1 può essere parafrasata come "Non è il caso che: sia tu riceverai zuppa che tu riceverai insalata". Usando questa chiave di simbolizzazione:
S1: Tu riceverai zuppa.
S2: Tu riceverai insalata.
simbolizzeremmo "sia tu riceverai zuppa che tu riceverai insalata" come:
Per simbolizzare la frase 1, quindi, neghiamo semplicemente l'intera frase, così:
La frase 2 è una congiunzione: non riceverai zuppa, e riceverai insalata. "Non riceverai zuppa" è simbolizzata da "¬S1". Quindi per simbolizzare la frase 2 stessa, usiamo la congiunzione di "¬S1" e "S2", così:
Queste frasi italiane sono molto diverse, e le loro simbolizzazioni differiscono di conseguenza. In una di esse, l'intera congiunzione è negata. Nell'altra, solo un congiunto è negato. Le parentesi ci aiutano a tenere traccia di cose come l'ambito della negazione:
Disgiunzione
Consideriamo queste frasi:
1: O Carlo giocherà ai videogiochi, o guarderà un film.
2: O Carlo o Delia giocheranno ai videogiochi.
Per queste frasi possiamo usare questa chiave di simbolizzazione:
C: Carlo giocherà ai videogiochi
D: Delia giocherà ai videogiochi
F: Carlo guarderà un film
Tuttavia, dovremo di nuovo introdurre un nuovo simbolo.
La frase 1 è simbolizzata da:
Il connettivo è chiamato Disgiunzione. Diciamo anche che "C" e "F" sono le proposizione disgiunte della disgiunzione "(C ∨ F)".
La frase 2 è solo leggermente più complicata. Ci sono due soggetti, ma la frase italiana presenta il verbo solo una volta. Tuttavia, possiamo parafrasare la frase 2 come:
O Carlo giocherà ai videogiochi, o Delia giocherà ai videogiochi
Ora possiamo ovviamente simbolizzarla con:
Una frase può essere simbolizzata come (A ∨ B) se può essere parafrasata in italiano come "O... , o... ."
Disgiunzione Logica (Inclusiva)
Date due proposizioni A e B, la disgiunzione di A e B è la frase che può essere parafrasata come:
"O A, o B".
Si indica la disgiunzione di A e B con
Le singole proposizioni A e B sono chiamate disgiunte della disgiunzione
A volte in italiano, la parola "o" è usata in un modo che esclude la possibilità che entrambi i disgiunti siano veri. Questo è chiamato un o esclusivo. Un o esclusivo è chiaramente inteso quando si dice, su un menu di ristorante, "I primi piatti vengono con zuppa o insalata": puoi avere zuppa; puoi avere insalata; ma, se vuoi sia zuppa che insalata, allora devi pagare un extra.
In altri momenti, la parola "o" ammette la possibilità che entrambi i disgiunti possano essere veri. Questo è probabilmente il caso con la frase 2 sopra. Delia potrebbe giocare ai videogiochi da sola, Carlo potrebbe giocare ai videogiochi da solo, o potrebbero giocare entrambi. La frase 2 dice semplicemente che almeno uno di loro gioca ai videogiochi. Questo è un o inclusivo. Il simbolo nella logica proposizionale "∨" simbolizza sempre un o inclusivo.
Sarà anche utile vedere come la negazione interagisce con la disgiunzione. Consideriamo:
1: O non riceverai zuppa, o non riceverai insalata.
2: Non riceverai né zuppa né insalata.
3: Riceverai o zuppa o insalata, ma non entrambe.
Usando la stessa chiave di simbolizzazione di prima, la frase 1 può essere parafrasata in questo modo: "O non è il caso che tu riceva zuppa, o non è il caso che tu riceva insalata". Per simbolizzare questo nella logica proposizionale, abbiamo bisogno sia della disgiunzione che della negazione. "Non è il caso che tu riceva zuppa" è simbolizzato da "¬S1". "Non è il caso che tu riceva insalata" è simbolizzato da "¬S2". Quindi la frase 1 stessa è simbolizzata da "(¬S1 ∨ ¬S2)".
La frase 2 richiede anche la negazione. Può essere parafrasata come, "Non è il caso che: o tu riceva zuppa o tu riceva insalata". Poiché questo nega l'intera disgiunzione, simbolizziamo la frase 2 con "¬(S1 ∨ S2)":
La frase 3 è un o esclusivo. Possiamo dividere la frase in due parti.
La prima parte dice che ricevi l'uno o l'altro. Simbolizziamo questo come "(S1 ∨ S2)". La seconda parte dice che non ricevi entrambi. Possiamo parafrasare questo come: "Non è il caso sia che tu riceva zuppa che tu riceva insalata". Usando sia la negazione che la congiunzione, simbolizziamo questo con "¬(S1∧S2)". Ora dobbiamo solo mettere insieme le due parti. Come abbiamo visto sopra, "ma" può di solito essere simbolizzato con "∧". Quindi la frase 3 può essere simbolizzata come "((S1 ∨ S2) ∧ ¬(S1 ∧ S2))":
Riceverai o zuppa o insalata, ma non entrambe.
Quest'ultimo esempio mostra qualcosa di importante. Sebbene il simbolo '∨' simbolizzi sempre l'o inclusivo, possiamo comunque tradurre in simboli un o esclusivo in Logica Proposizionale. Dobbiamo solo usare alcuni altri simboli.
Disgiunzione esclusiva
Spesso in alcuni testi, la parola "o" è usata in un modo che esclude la possibilità che entrambi i disgiunti siano veri. Questo è chiamato un o esclusivo.
A volte, su alcuni testi, il simbolo "⊕" è usato per rappresentare un o esclusivo. Tuttavia, non useremo questo simbolo. Invece, per simbolizzare un o esclusivo, useremo la disgiunzione insieme alla negazione e alla congiunzione:
è equivalente a:
Condizionale
Consideriamo queste frasi:
1: Se Carlo è a Roma, allora Carlo è in Italia.
2: Carlo è a Roma solo se Carlo è in Italia.
Usiamo la seguente chiave di simbolizzazione:
R: Carlo è a Roma
I: Carlo è in Italia
La frase 1 è approssimativamente di questa forma: "se R, allora I". Useremo il simbolo "
Condizionale Logico
Date due proposizioni A e B, il condizionale di A e B è la frase che può essere parafrasata come:
"Se A, allora B".
Si indica il condizionale di A e B con "
In un condizionale
La frase 2 è anche un condizionale. Poiché la parola "se" appare nella seconda metà della frase, si potrebbe essere tentati di simbolizzare questo nello stesso modo della frase 1. Sarebbe un errore. La vostra conoscenza della geografia vi dice che la frase 1 è indiscutibilmente vera: non c'è modo per Carlo di essere a Roma che non coinvolga il fatto che Carlo sia in Italia. Ma la frase 2 non è così semplice: se Carlo fosse a Napoli, Milano o Firenze, Carlo sarebbe in Italia senza essere a Roma, rendendo così la frase 2 falsa. Poiché la geografia da sola detta la verità della frase 1, mentre i piani di viaggio (diciamo) sono necessari per conoscere la verità della frase 2, devono significare cose diverse.
In effetti, la frase 2 può essere parafrasata come "Se Carlo è in Italia, allora Carlo è a Roma". Quindi possiamo simbolizzarla con "
Una frase può essere simbolizzata come
In effetti, il condizionale può rappresentare molte espressioni italiane. Consideriamo:
1: Perché Carlo sia a Roma, è necessario che Carlo sia in Italia.
2: È una condizione necessaria per Carlo essere a Roma che sia in Italia.
3: Perché Carlo sia in Italia, è sufficiente che Carlo sia a Roma.
4: È una condizione sufficiente per Carlo essere in Italia che sia a Roma.
Se ci pensiamo, tutte e quattro queste frasi significano la stessa cosa di "Se Carlo è a Roma, allora Carlo è in Italia". Quindi possono tutte essere simbolizzate con:
È importante tenere a mente che il connettivo '→' ci dice solo che, se l'antecedente è vero, allora il conseguente è vero. Non dice nulla su una connessione causale tra due eventi (per esempio). In effetti, perdiamo una quantità enorme di informazioni quando usiamo '→' per simbolizzare condizionali italiane. Torneremo su questo punto nelle prossime lezioni.
Bicondizionale
Consideriamo queste frasi:
1: Laika è un cane solo se è un mammifero.
2: Laika è un cane se è un mammifero.
3: Laika è un cane se e solo se è un mammifero.
Useremo la seguente chiave di simbolizzazione:
C: Laika è un cane
M: Laika è un mammifero
Per ragioni discusse sopra, la frase 1 può essere simbolizzata con "
La frase 3 dice qualcosa di più forte di entrambe le frasi 1 o 2. Può essere parafrasata come "Laika è un cane se Laika è un mammifero, e Laika è un cane solo se Laika è un mammifero". Questa è solo la congiunzione delle frasi 1 e 2. Quindi possiamo simbolizzarla come:
Chiamiamo questo tipo di connettivo bicondizionale, perché equivale a dichiarare entrambe le direzioni del condizionale.
Potremmo trattare ogni bicondizionale in questo modo. Quindi, proprio come non abbiamo bisogno di un nuovo simbolo in Logica Proposizionale per trattare l'o esclusivo, non abbiamo davvero bisogno di un nuovo simbolo per trattare i bicondizionali. Poiché il bicondizionale si verifica così spesso, tuttavia, useremo il simbolo
Bicondizionale Logico
Date due proposizioni A e B, il bicondizionale di A e B è la frase che può essere parafrasata come:
"A se e solo se B".
Si indica il bicondizionale di A e B con "
L'espressione "se e solo se" si verifica molto specialmente in filosofia, matematica e logica. Per brevità, possiamo abbreviarela con la parola più snella "sse". Seguiremo questa pratica. Quindi "se" è il normale condizionale in italiano. Ma "sse" con due "s" è il bicondizionale. In inglese, "if" è il condizionale, mentre "iff" (con due "f") è il bicondizionale.
Armati di questo possiamo dire:
Una frase può essere simbolizzata come
Bisogna, però, prestare attenzione ad alcuni dettagli.
Nel linguaggio quotidiano spesso usiamo "se ... , allora... " quando intendiamo davvero usare qualcosa di più simile a "... se e solo se ... ". Forse i vostri genitori vi hanno detto, quando eravate bambini: "se non mangi le verdure, non avrai il dessert". Supponiamo che abbiate mangiato le verdure, ma che i vostri genitori si siano rifiutati di darvi il dessert, sulla base che intendevano solo il condizionale (approssimativamente "se ricevi il dessert, allora avrai mangiato le verdure"), piuttosto che il bicondizionale (approssimativamente, "ricevi il dessert sse mangi le verdure"). Bene, ne seguirebbe giustamente un capriccio. Quindi, siate consapevoli di questo quando interpretate le persone; ma nella vostra scrittura, assicuratevi di usare il bicondizionale sse intendete farlo.
A meno che
Abbiamo ora introdotto tutti i connettivi della Logica Proposizionale. Possiamo usarli insieme per simbolizzare molti tipi di frasi. Un caso particolarmente difficile è quando usiamo il connettivo italiano "a meno che".
Consideriamo queste frasi:
1: A meno che tu non indossi una giacca, prenderai un raffreddore.
2: Prenderai un raffreddore a meno che tu non indossi una giacca.
Queste due frasi sono chiaramente equivalenti. Per simbolizzarle, useremo la chiave di simbolizzazione:
G: Tu indosserai una giacca
R: Tu prenderai un raffreddore
Entrambe le frasi significano che "se non indossi una giacca, allora prenderai un raffreddore". Con questo in mente, potremmo simbolizzarle come:
Allo stesso modo, entrambe le frasi significano che "se non prendi un raffreddore, allora devi aver indossato una giacca". Con questo in mente, potremmo simbolizzarle come:
Analogamente, entrambe le frasi significano che "o indosserai una giacca o prenderai un raffreddore". Con questo in mente, potremmo simbolizzarle come:
Tutte e tre sono simbolizzazioni corrette. Infatti, vedremo nelle prossime lezioni che tutte e tre sono equivalenti in Logica Proposizionale.
"A meno che" in Logica Proposizionale
Data una proposizione A e una proposizione B, la frase "A meno che A, B" può essere parafrasata come:
"Se non A, allora B"
"O A, o B"
"A meno che" e ambiguità
Nell'interpretazione del linguaggio quotidiano, "a meno che" può essere ambiguo.
"A meno che" può essere simbolizzato come un condizionale; ma come abbiamo detto sopra, le persone spesso usano il condizionale (da solo) quando intendono usare il bicondizionale. Allo stesso modo, "a meno che" può essere simbolizzato come una disgiunzione; ma ci sono due tipi di disgiunzione (esclusiva e inclusiva). Quindi non vi sorprenderà scoprire che nel linguaggio comune spesso si usa "a meno che" per intendere qualcosa di più simile al bicondizionale, o come disgiunzione esclusiva.
Supponiamo che qualcuno dica: "Andrò a correre a meno che non piova". Probabilmente intende qualcosa come "Andrò a correre sse non piove" (cioè, il bicondizionale), o "o andrò a correre o pioverà, ma non entrambi" (cioè, disgiunzione esclusiva). Ancora: siate consapevoli di questo quando interpretate ciò che altre persone hanno detto, ma siate precisi nella vostra scrittura.