Simboli e Logica Proposizionale

Iniziamo lo studio della Logica Proposizionale con un concetto fondamentale: la validità. Abbiamo già incontrato questo concetto in diverse occasioni, ma ora lo esamineremo più da vicino.

Inoltre, introdurremo un linguaggio artificiale che ci aiuterà a esprimere la struttura delle argomentazioni in modo più chiaro e sistematico.

Validità in virtù della forma

Consideriamo questa argomentazione:

e un'altra argomentazione:

Entrambe le argomentazioni sono valide, e c'è un senso diretto in cui possiamo dire che condividono una struttura comune. Potremmo esprimere la struttura così:

Questa sembra un'eccellente struttura argomentativa. Infatti, sicuramente qualsiasi argomentazione con questa struttura sarà valida. E questa non è l'unica buona struttura argomentativa. Consideriamo un'argomentazione come:

Di nuovo, questa è un'argomentazione valida. La struttura dell'argomentazione è qualcosa del genere:

Un'ottima struttura. Ecco un altro esempio:

Questa argomentazione valida ha una struttura che potremmo rappresentare così:

Questi esempi illustrano un'idea importante, che potremmo descrivere come validità in virtù della forma. La validità delle argomentazioni appena considerate non ha molto a che fare con i significati delle espressioni in italiano come "Sara è infelice", "Giovanni è un avvocato", o "Giovanni ha lavorato duramente".

A partire da questa lezione svilupperemo un linguaggio formale che ci permette di mettere in simboli molte argomentazioni in modo tale da mostrare che sono valide in virtù della loro forma. Questo sarà il linguaggio della Logica Proposizionale.

Validità per ragioni speciali

Nella lezione sull'ambito di applicazione della logica abbiamo introdotto per la prima volta la nozione di validità formale, e l'abbiamo confrontata con altri tipi di validità relativi a quali tipi di controesempi consideriamo. Vale la pena ripetere che ci sono molte argomentazioni che sono valide, ma non per ragioni relative alla loro forma. Prendiamo un esempio:

È impossibile che la premessa sia vera e la conclusione falsa, poiché "volpe femmina" significa semplicemente "volpe di sesso femminile". Quindi l'argomentazione è (concettualmente) valida. La validità non è data dalla forma dell'argomentazione. Per renderci conto di questo, possiamo dare un'argomentazione non valida con la stessa forma, ad es.:

Allo stesso modo, consideriamo l'argomentazione:

Ancora, sembra non ci possa essere alcun caso in cui la premessa sia vera e la conclusione falsa, poiché nulla può essere sia completamente verde che completamente rosso. Quindi l'argomentazione è valida, ma ecco un'argomentazione non valida con la stessa forma:

Questa argomentazione non è valida, poiché è possibile essere completamente verde e completamente lucido. Si potrebbe dipingere la scultura con un'elegante vernice verde lucida. Plausibilmente, la validità della prima argomentazione è legata al modo in cui i colori (o le parole-colore) interagiscono, ma, che questo sia giusto o meno, non è semplicemente la forma dell'argomentazione da sola a renderla valida.

La morale importante può essere espressa come segue: Nel migliore dei casi, la Logica Proposizionale ci aiuterà a comprendere le argomentazioni che sono valide a causa della loro forma.

Frasi atomiche

Abbiamo iniziato a isolare la forma di un'argomentazione, sostituendo le sotto-frasi delle frasi con singole lettere. Così nel primo esempio di questa sezione, "sta piovendo fuori" è una sotto-frase di "Se sta piovendo fuori, allora Sara è infelice", e abbiamo sostituito questa sotto-frase con "A".

Il linguaggio artificiale della Logica Proposizionale persegue questa idea in modo assolutamente sistematico. Iniziamo con alcune lettere di frase. Queste saranno i blocchi di costruzione di base da cui vengono costruite frasi più complesse (sono le frasi "atomiche" della Logica Proposizionale). Useremo singole lettere maiuscole come lettere di frase della Logica Proposizionale. Ci sono solo ventisei lettere dell'alfabeto, ma non c'è limite al numero di lettere di frase che potremmo voler considerare. Aggiungendo pedici alle lettere, otteniamo nuove lettere di frase. Quindi, ecco cinque diverse lettere di frase della Logica Proposizionale:

Useremo le lettere di frase per rappresentare, o simbolizzare, certe frasi italiane. Per fare questo, forniamo una chiave di simbolizzazione, come la seguente:

Nel fare questo, non stiamo fissando questa simbolizzazione una volta per tutte. Stiamo solo dicendo che, per il momento, penseremo alla lettera di frase della Logica Proposizionale, "A", come simbolizzante la frase italiana "Sta piovendo fuori", e alla lettera di frase della Logica Proposizionale, "C", come simbolizzante la frase italiana "Sara è infelice". Più tardi, quando tratteremo frasi o argomenti diversi, possiamo fornire una nuova chiave di simbolizzazione; come potrebbe essere:

È importante capire che qualsiasi struttura una frase italiana possa avere, viene persa quando è simbolizzata da una lettera di frase della Logica Proposizionale. Dal punto di vista della Logica Proposizionale, una lettera di frase è solo una lettera. Può essere usata per costruire frasi più complesse, ma non può essere scomposta in frasi più semplici.