Possibilità Congiunta e Necessità in Logica

Nella lezione precedente abbiamo introdotto l'idea di conseguenza, cioè di validità degli argomenti. Questa è una delle idee più importanti in logica.

In questa lezione, introdurremo alcune idee altrettanto importanti. Tutte si basano, come la validità, sull'idea che le frasi siano vere (o meno) in determinati casi. Per il resto di questa lezione, considereremo i casi nel senso di scenario concepibile, cioè nel senso in cui li abbiamo usati per definire la validità concettuale.

Le osservazioni che abbiamo fatto sui diversi tipi di validità possono essere fatte sulle nostre nuove nozioni in modo simile: se usiamo un'idea diversa di cosa conti come "caso" otterremo nozioni diverse. E come logici considereremo, alla fine, una definizione più permissiva di caso di quanto facciamo qui.

Possibilità congiunta

Consideriamo queste due frasi:

La logica da sola non può dirci quale di queste frasi sia vera, ammesso che lo possano essere.

Tuttavia possiamo dire che se la prima frase (B1) è vera, allora la seconda frase (B2) deve essere falsa. Similmente, se B2 è vera, allora B1 deve essere falsa. Non c'è uno scenario possibile in cui entrambe le frasi siano vere insieme.

Queste frasi sono incompatibili tra loro, non possono essere tutte vere allo stesso tempo. Questo motiva la seguente definizione:

B1 e B2 sono congiuntamente impossibili, mentre, ad esempio, le seguenti due frasi sono congiuntamente possibili:

Possiamo chiederci sulla possibilità congiunta di un qualsiasi numero di frasi. Per esempio, consideriamo le seguenti quattro frasi:

G1 e G4 insieme implicano che ci siano almeno quattro giraffe marziane allo zoo. Questo è in conflitto con G3, che implica che non ci siano più di due giraffe marziane lì. Quindi le frasi G1–G4 sono congiuntamente impossibili. Non possono essere tutte vere insieme. Si noti che le frasi G1, G3 e G4 sono congiuntamente impossibili. Ma se le frasi sono già congiuntamente impossibili, aggiungere una frase extra al mix non può renderle congiuntamente possibili!

C'è una cosa che vale la pena sottolineare: Si potrebbe pensare che un'argomentazione abbia senso solo se le sue premesse sono congiuntamente possibili. Ma né la nostra definizione di cosa sia un'argomentazione, né di quando sia valida, lo richiede.

Infatti, secondo la nostra definizione, qualsiasi argomentazione con premesse congiuntamente impossibili è automaticamente valida!

Ex falso quodlibet

Riprendiamo quest'ultima affermazione, all'apparenza controintuitiva: qualsiasi argomentazione con premesse congiuntamente impossibili è automaticamente valida.

Per capire il perché riprendiamo la definizione di validità:

Un'argomentazione è VALIDA se e solo se non c'è alcun caso in cui tutte le sue premesse siano vere e la sua conclusione non lo sia.

Se le premesse sono congiuntamente impossibili, non c'è alcun caso in cui tutte le premesse siano vere. Quindi, per la definizione di validità, non c'è alcun caso in cui tutte le premesse siano vere e la conclusione non lo sia. Quindi l'argomentazione è valida.

Ad esempio, considera l'argomentazione con le seguenti premesse e conclusione:

In questo caso, le premesse sono congiuntamente impossibili. Non possiamo concepire un caso in cui entrambe le premesse siano vere. Quindi, secondo la nostra definizione, non esiste alcun caso in cui tutte le premesse siano vere e la conclusione non lo sia. Quindi l'argomentazione è valida, anche se la conclusione è assurda.

Questo principio è noto come ex falso quodlibet, che significa "da una falsità, qualsiasi cosa segue". Era già noto ai logici medioevali, e rimane un punto controverso tra i filosofi della logica. Alcuni ritengono che sia un difetto della nostra definizione di validità. Ma è una conseguenza inevitabile della nostra definizione, e non c'è modo di evitarla senza cambiare la definizione.

Inoltre, spesso viene chiamato Principio di Esplosione, perché implica che da una contraddizione (cioè da premesse congiuntamente impossibili) si può dedurre qualsiasi cosa. In matematica, ad esempio, se si scopre che un insieme di assiomi è contraddittorio, allora l'intero sistema matematico basato su quegli assiomi crolla, perché qualsiasi affermazione può essere dimostrata da quegli assiomi. Ossia possiamo dimostrare qualunque teorema, anche quelli che sappiamo essere falsi.

Verità necessarie, falsità necessarie e contingenza

Nel valutare la validità degli argomenti, ci preoccupiamo di cosa sarebbe vero se le premesse fossero vere, ma alcune frasi devono semplicemente essere vere. Consideriamo queste frasi:

Per sapere se la frase 1 è vera, bisognerebbe guardare fuori o controllare il meteo. Potrebbe essere vera; potrebbe essere falsa. Una frase che può essere vera e può essere falsa (in circostanze diverse, ovviamente) è chiamata Contingente.

La frase 2 è diversa. Non è necessario guardare fuori per sapere che è vera. Indipendentemente da come sia il tempo, o sta piovendo o non sta piovendo. Questa è una verità necessaria.

Allo stesso modo, non è necessario controllare il meteo per determinare se la frase 3 sia vera o meno. Deve essere falsa, semplicemente come questione di logica. Potrebbe piovere qui e non piovere dall'altra parte della città; potrebbe piovere ora ma smettere di piovere mentre finite questa frase; ma è impossibile che stia sia piovendo che non piovendo nello stesso posto e allo stesso tempo. Quindi, qualunque sia il mondo, non sta sia piovendo qui che non piovendo qui. È una falsità necessaria.

Qualcosa potrebbe essere sempre vero e comunque essere contingente. Per esempio, se non ci fosse mai stato un tempo in cui l'universo conteneva meno di sette cose, allora la frase "Esistono almeno sette cose" sarebbe sempre vera. Tuttavia la frase è contingente: il mondo avrebbe potuto essere molto, molto più piccolo di quanto sia, e allora la frase sarebbe stata falsa.

Equivalenza necessaria

Possiamo anche analizzare le relazioni logiche tra due frasi. Per esempio:

Queste due frasi sono entrambe contingenti, poiché Giuseppe potrebbe non essere andato al negozio o non aver affatto lavato i piatti. Tuttavia devono avere lo stesso valore di verità. Se una delle frasi è vera, allora lo sono entrambe; se una delle frasi è falsa, allora lo sono entrambe. Quando due frasi hanno lo stesso valore di verità in ogni caso, diciamo che sono NECESSARIAMENTE EQUIVALENTI.

Riepilogo delle nozioni logiche

Riepiloghiamo le nozioni logiche che abbiamo introdotto in queste prime lezioni:

• Un'argomentazione è VALIDA se non c'è alcun caso in cui le premesse siano tutte vere e la conclusione non lo sia; è NON VALIDA altrimenti.
• Una VERITÀ NECESSARIA è una frase che è vera in ogni caso.
• Una FALSITÀ NECESSARIA è una frase che è falsa in ogni caso.
• Una FRASE CONTINGENTE non è né una verità necessaria né una falsità necessaria; una frase che è vera in qualche caso e falsa in qualche altro caso.
• Due frasi sono NECESSARIAMENTE EQUIVALENTI se, in ogni caso, sono entrambe vere o entrambe false.
• Una collezione di frasi è CONGIUNTAMENTE POSSIBILE se c'è un caso in cui sono tutte vere insieme; è CONGIUNTAMENTE IMPOSSIBILE altrimenti.