Introduzione ai Numeri Interi

Nella vita quotidiana incontriamo molte situazioni in cui non basta indicare “quanto” di qualcosa, ma occorre anche specificare rispetto a che cosa lo stiamo misurando.

Un classico esempio è la temperatura: per sapere se fa freddo o caldo guardiamo un termometro che riporta valori “sopra lo zero” oppure “sotto lo zero”.

Analogamente, pensiamo alle quote rispetto al livello del mare, ai saldi di un conto corrente, alle variazioni di prezzo di un’azione in Borsa: in tutti questi casi abbiamo bisogno di numeri che possano essere positivi o negativi a seconda che la quantità sia al di sopra o al di sotto di un livello di riferimento.

Questi numeri prendono il nome di numeri interi relativi, oppure più semplicemente numeri interi.

L’insieme Z

Definizione

L’insieme dei numeri interi

L’insieme dei numeri interi si indica con $\mathbb{Z}$ e comprende

tutti i numeri naturali preceduti dal segno $+$ (positivi),
tutti i loro opposti, preceduti dal segno $-$ (negativi),
il numero $0$ , che è privo di segno.

In simboli

\mathbb{Z}=\{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,\ldots\}.

Si usa spesso suddividere $\mathbb{Z}$ in tre sottoinsiemi:

$\mathbb{Z}^+$ : gli interi positivi ( $1,2,3,\ldots$ );
$\mathbb{Z}^-$ : gli interi negativi ( $-1,-2,-3,\ldots$ );
$\mathbb{Z}_0^+$ : gli interi non negativi ( $0,1,2,3,\ldots$ ).

Consiglio

Zero e il suo “non–segno”

Il numero $0$ è l’unico intero privo di segno: non è né positivo né negativo.

Consiglio

Uso del segno “+”

Per quanto riguarda i numeri positivi, è facoltativo indicare il segno $+$ davanti a un numero intero positivo. Quindi possiamo scrivere sia $+5$ che semplicemente $5$ .

Cosa che non è possibile fare per i numeri negativi: dobbiamo sempre indicare il segno $-$ davanti a un numero negativo, ad esempio $-3$ .

Opposto di un numero intero

Per ogni intero esiste un numero che ha lo stesso valore assoluto ma segno opposto.

Ad esempio, l’opposto di $+7$ è $-7$ , l’opposto di $-3$ è $+3$ .

Definizione

Numero opposto

Dato un numero intero $a$ , il suo opposto si indica con $-a$ ed è definito così:

a + (-a)=0.

In altre parole, un numero sommato al suo opposto dà sempre zero.

Esempio

Esempio 1

L’opposto di $+5$ è $-5$ perché $+5 + (-5)=0$ .
L’opposto di $-21$ è $+21$ .

Dalla definizione di opposto segue che il numero zero è l’opposto di se stesso:

0 + 0 = 0.

Pertanto non ha senso parlare del segno di $0$ e lo si considera privo di segno.

Numeri concordi e discordi

A partire dal concetto di opposto, è utile distinguere tra numeri che hanno lo stesso segno e numeri che hanno segni diversi. A questi due casi si riferiscono i termini:

Definizione

Concordi e discordi

Dati due numeri interi essi vengono classificati come:

Numeri Concordi: se hanno lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi):

Esempio: $-3$ e $-7$ sono concordi.
Numeri Discordi: se hanno segno diverso.

Esempio: $-3$ e $+7$ sono discordi.

**Tabella 1:** Esempi di numeri concordi e discordi
Esempio	Concordi o Discordi?
$+5$ e $+2$	Concordi
$-4$ e $+3$	Discordi
$-8$ e $+8$	Discordi e Opposti

Corrispondenza con i numeri naturali

È possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e l’insieme degli interi non negativi $\mathbb{Z}\_0^+$ :

\begin{align*} 0 &amp; \longleftrightarrow 0, \\ 1 &amp; \longleftrightarrow +1, \\ 2 &amp; \longleftrightarrow +2, \\ &amp; \ldots \end{align*}

Questa corrispondenza può essere rappresentata graficamente in questo modo:

**Figura 1:** Corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i numeri interi non negativi

Da ciò segue che ogni numero naturale può essere associato a un intero non negativo, e viceversa. Pertanto, possiamo considerare l'insieme dei numeri naturali come un sottoinsieme dell'insieme degli interi:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

Oppure, in altri termini, L'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ è un ampliamento dell'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ .

**Figura 2:** Insieme dei Numeri Naturali come Sottoinsieme dei Numeri Interi

Significato del segno “–”

Bisogna prestare attenzione al significato del simbolo “–” quando si lavora con i numeri interi, poiché può avere diversi ruoli a seconda del contesto.

Il simbolo “ $-$ ” può assumere tre significati diversi:

**Tabella 2:** Diversi significati del simbolo “–”
Espressione	Significato di “–”
$15 - 10$	Operazione di sottrazione
$-8$	Segno di un numero negativo
$-(+10)$	Opposto di un numero

Ad esempio, nell’espressione:

15 - 10 = 5

stiamo sottraendo $10$ da $15$ , ossia due numeri positivi.

Nell’espressione:

10 + (-3) = 7

stiamo sommando $10$ e un numero negativo $-3$ .

Nell’espressione:

-(+10) = -10

stiamo calcolando l’opposto di $+10$ , che è $-10$ .

Applicazioni pratiche

Vediamo ora alcuni esempi pratici in cui i numeri interi sono utili per risolvere problemi quotidiani.

Esempio

Esempio 2 – Temperatura

Ieri la temperatura massima è stata di $+5\ ^\circ\text{C}$ e l’escursione termica è stata di $8\ ^\circ\text{C}$ .

Qual è stata la temperatura minima di ieri?

Per calcolare la temperatura minima, sottraiamo l'escursione termica dalla temperatura massima:

+5 - 8 = -3\ ^\circ\text{C}.

Quindi la temperatura minima di ieri è stata di $-3\ ^\circ\text{C}$ .

Esempio

Esempio 3 – Finanza

Il prezzo di un’azione era salito di $,+3\text{€}€$ rispetto al giorno precedente, ma oggi è sceso di $,4\text{€}€$ .

Quale è la variazione totale del prezzo dell’azione in due giorni?

Per calcolare la variazione totale, sommiamo l’aumento e la diminuzione:

+3 + (-4) = -1\text{€}, €

cioè un calo complessivo di $1\text{€}€$ .

Riepilogo

Fin dal III sec. d.C. il matematico greco Diofanto utilizzò concetti analoghi ai numeri negativi; regole per il loro calcolo furono sviluppate in India e riportate in Europa grazie a Fibonacci (XIII sec.). Tuttavia solo a partire dal XVIII secolo l’uso dei numeri negativi si è diffuso definitivamente nella matematica europea.

Gli interi formano l’insieme $\mathbb{Z}$ , comprendente numeri positivi, negativi e lo zero.
L’opposto di $a$ è $-a$ e soddisfa $a+(-a)=0$ .
Due numeri sono concordi se hanno lo stesso segno, discordi altrimenti.
Il simbolo “ $-$ ” va interpretato di volta in volta come sottrazione, segno o operatore di opposto.

Nota

Non confondere i ruoli del “–”!

Scambiare il segno negativo con il simbolo di sottrazione è uno degli errori più comuni quando si lavora con gli interi. Controlla sempre il contesto prima di procedere ai calcoli.

Con queste basi siamo pronti a esplorare le operazioni tra numeri interi e a risolvere problemi via via più complessi.