Rappresentazione e Ordinamento dei Numeri Interi

L’insieme dei numeri interi, indicato con il simbolo standard $\mathbb{Z}$ (dal tedesco Zahlen, “numeri”), nasce dall’esigenza di estendere i numeri naturali $\mathbb{N}={0,1,2,3,\dots}$ includendo sia lo zero sia le quantità negative.

Questa estensione ci permette di modellare in maniera efficace situazioni quotidiane che implicano debiti, temperature sotto lo zero, quote al di sotto del livello del mare e innumerevoli altri contesti in cui non è sufficiente la sola nozione di “quantità positiva”.

Per visualizzare, comprendere e ordinare gli elementi di $\mathbb{Z}$ , lo strumento più immediato è la retta orientata.

Procederemo in modo progressivo: partiremo dalla costruzione di tale retta, esamineremo il concetto di numeri opposti, collegheremo $\mathbb{Z}$ all’insieme dei naturali e, infine, analizzeremo nel dettaglio le regole di confronto tra numeri interi, arricchendo il tutto con esempi, avvertenze e suggerimenti operativi.

Costruzione passo-passo della retta orientata degli interi

Così come fatto per i numeri naturali, possiamo costruire una retta orientata per rappresentare i numeri interi. Seguiamo questi passi:

Tracciamo una linea orizzontale sufficientemente lunga, che supponiamo proseguire indefinitamente verso sinistra e verso destra.
Selezioniamo un punto centrale, che chiameremo origine e indicheremo convenzionalmente con la lettera $O$ . All’origine corrisponde il numero $0$ .
Scegliamo una unità di misura $u$ (può essere, per esempio, la distanza tra due quadretti del quaderno o un segmento fissato con il righello).
Procediamo verso destra:
- collocando a distanza $1u$ dall’origine il numero $+1$ ;
- a distanza $2u$ il numero $+2$ ;
- proseguendo indefinitamente con $+3,+4,+5,\dots$
Procediamo verso sinistra:
- collocando a distanza $1u$ dall’origine il numero $-1$ ;
- a distanza $2u$ il numero $-2$ ;
- proseguendo indefinitamente con $-3,-4,-5,\dots$ .
A questo punto, ogni punto della retta ha un corrispondente numero intero e viceversa. La freccia rivolta verso destra indica il verso crescente dei numeri: spostandosi da sinistra a destra i valori aumentano.

**Figura 1:** Retta ordinata dei Numeri Interi

Definizione

Retta orientata

Una retta orientata è una retta a cui sono assegnati

un punto particolare detto origine $O$ (corrispondente a $0$ )
un verso di percorrenza ritenuto crescente (di solito, ma non necessariamente, verso destra).

Questa struttura consente di leggere immediatamente le relazioni d’ordine tra i punti: se il punto $A$ precede (sta a sinistra di) un punto $B$ , allora il numero associato ad $A$ è minore del numero associato a $B$ .

Simmetria ed equidistanza: i numeri opposti

Abbiamo già visto nella lezione precedente che ad ogni numero intero corrisponde un numero opposto, ossia un numero che sommato ad esso dà come risultato lo zero. Questo concetto è fondamentale per comprendere la simmetria della retta dei numeri interi. Adesso, possiamo fornire una interpretazione grafica di questo concetto.

All’interno di $\mathbb{Z}$ ogni numero intero possiede un opposto, ovvero un numero altrettanto “lontano” dallo zero ma situato sul lato opposto della retta.

Definizione

Numero opposto

Dato $a\in\mathbb{Z}$ , il numero opposto di $a$ è definito come $-a$ . La coppia ${a,-a}$ gode delle seguenti proprietà:

i punti che li rappresentano sono simmetrici rispetto all’origine;
la loro distanza da $O$ è identica;
la loro somma è sempre $0$ , ovvero $a+(-a)=0$ .

Esempio immediato: $+4$ e $-4$ sono opposti; se percorrere quattro passi a destra conduce da $0$ a $+4$ , percorrere quattro passi a sinistra porta da $0$ a $-4$ .

**Figura 2:** Esempio di Numeri Opposti sulla retta orientata

Connessione fra Numeri Interi e Numeri Naturali

Se concentriamo l’attenzione esclusivamente sulla parte non negativa della retta—ossia sui punti da $0$ incluso in poi—otteniamo l’insieme

$Z_0^{+}=\{0,+1,+2,+3,+4,\dots\}.$

Dal punto di vista grafico, i punti che rappresentano gli elementi di $Z\_0^{+}$ coincidono perfettamente con quelli che rappresentano i numeri naturali $\mathbb{N}$ , dal momento che i naturali non reclamano esplicitamente il segno “+”. In molti contesti pratici, quindi, $Z\_0^{+}$ e $\mathbb{N}$ vengono sovrapposti (pur essendo formalmente distinti).

**Figura 3:** Sovrapposizione della semiretta orientata dei numeri naturali alla retta ordinata dei numeri interi

Principio fondamentale di ordinamento

Una volta fissato il verso di crescita (tipicamente verso destra), la posizione di due numeri determina univocamente la loro relazione d’ordine:

Uguaglianza $a=b$ se i punti corrispondenti coincidono.
Minore $a<b$ se il punto di $a$ è a sinistra di quello di $b$ .
Maggiore $a>b$ se il punto di $a$ è a destra di quello di $b$ .

Per stabilire se un numero è maggiore o minore di un altro, possiamo seguire queste semplici regole:

Due interi positivi:

seguiamo la stessa regola dei naturali: il numero più grande è quello che si trova più a destra sulla retta.
Due interi negativi:

in questo caso, si rimuove il segno negativo e si confrontano i valori ottenuti, come se fossero naturali. Il numero con il valore minore (più lontano da zero) è in realtà il maggiore dei due negativi. Ad esempio, $-2 > -9$ perché $2 < 9$ .
Segni opposti: qualsiasi numero positivo domina qualsiasi numero negativo.
Confronti con lo zero:
- lo zero è maggiore di ogni numero negativo;
- lo zero è minore di ogni numero positivo.

Esempio

Esempio 1

Confronto tra positivi $+8 > +5$ poiché $8>5$ .
Confronto tra negativi $-2 > -9$ in quanto $2<9$ .
Confronto misto $-4 < 0 < +4$ evidenzia come lo zero separi negativi e positivi.
Confronto multiplo $-7 < -3 < +1 < +6$ mostra un ordinamento completo da sinistra a destra.

Precedente e successivo

Uno degli aspetti più interessanti di $\mathbb{Z}$ è il fatto che ogni elemento possiede esattamente un precedente e un successivo, ottenuti sottraendo o aggiungendo l’unità.

Per qualunque $x\in\mathbb{Z}$ :
- precedente $(x)=x-1$ ;
- successivo $(x)=x+1$ .

Fra $x$ e $x+1$ non è presente alcun altro numero intero. In termini topologici diremmo che $\mathbb{Z}$ è un insieme discreto: gli elementi non “accumulano” uno sull’altro, ma sono “spaziati” da intervalli vuoti se ci limitiamo all’universo degli interi.

Definizione

Insieme discreto

Un insieme si definisce discreto quando, presi due qualunque suoi elementi, esiste al massimo un numero finito di altri elementi compresi tra essi (e, per gli interi consecutivi, tale numero è precisamente $0$ ).

Sia l’insieme dei naturali $\mathbb{N}$ sia quello degli interi $\mathbb{Z}$ soddisfano questa caratteristica pertanto sono insiemi discreti.

Consiglio

Insieme Discreto vs. insieme Denso

Il concetto di insieme denso distingue $\mathbb{Z}$ dai numeri reali $\mathbb{R}$ , dove fra due numeri qualsiasi ci sono infiniti altri numeri.

Questa proprietà dei reali è nota come densità.

Galleria di disuguaglianze: interpretazione e visualizzazione

Vediamo ora alcuni esempi di disuguaglianze tra numeri interi, accompagnati da una interpretazione verbale e da una rappresentazione grafica sulla retta orientata.

$+3 > +1$

Il punto di $+3$ risulta spostato di due unità a destra rispetto al punto di $+1$ , pertanto $+3$ è maggiore di $+1$ .

Figura 4: Esempio di disuguaglianza tra -1 e -3
$-4 < -1$

Il punto di $-4$ risulta spostato di tre unità a sinistra rispetto al punto di $-1$ , pertanto $-4$ è minore di $-1$ .

Figura 5: Esempio di disuguaglianza tra -4 e -1
$+1 > -2$

Il punto di $+1$ si trova a destra dello zero, mentre il punto di $-2$ si trova a sinistra dello zero. Pertanto, $+1$ è maggiore di $-2$ .

Figura 6: Esempio di disuguaglianza tra +1 e -2
$0 > -3$

Lo zero, pur non avendo segno, è sempre più a destra di qualsiasi negativo.

Figura 7: Esempio di disuguaglianza tra 0 e -3

Esempio

Esempio 2

Consideriamo la coppia $(-5,+2)$ .

Sulla retta, per arrivare da $-5$ a $+2$ bisogna percorrere sette unità verso destra.

Ciò dimostra visivamente che $-5 < +2$ .

Esempio

Esempio 3

Proviamo a mettere in ordine crescente i seguenti numeri interi:

$-2,\; +4,\; -5,\; +7,\; +3,\; -6$

Per prima cosa, identifichiamo i numeri negativi e quelli positivi e li separiamo:

Negativi: $-2, -5, -6$
Positivi: $+4, +7, +3$

Ora, ordiniamo i negativi e i positivi separatamente.

Partiamo dai negativi. Rimuoviamo il segno negativo e ordiniamo i valori in ordine decrescente:

$-2, -5, -6 \quad \rightarrow \quad 2, 5, 6 \quad \rightarrow \quad -6 < -5 < -2$

Ora, ordiniamo i positivi in ordine crescente:

$+4, +7, +3 \quad \rightarrow \quad 3, 4, 7 \quad \rightarrow \quad +3 < +4 < +7$

Infine, uniamo i due risultati, ricordando che tutti i numeri negativi sono minori di qualsiasi numero positivo:

$-6 < -5 < -2 < +3 < +4 < +7$

Riepilogo delle proprietà fondamentali dei numeri interi

Riassumiamo le principali caratteristiche della retta orientata dei numeri interi $\mathbb{Z}$ :

Rappresentazione visiva: la retta orientata traduce simultaneamente posizione e valore, rendendo immediato il confronto tra numeri diversi.
Simmetria degli opposti: i numeri $a$ e $-a$ sono equidistanti dall’origine e la loro somma è nulla.
Sovrapposizione con $\mathbb{N}$ : la parte non negativa di $\mathbb{Z}$ coincide, come posizione, con l’insieme dei naturali.
Assenza di estremi: non esiste né un numero intero minimo né uno massimo; la retta si estende indefinitamente.
Discretezza: fra due interi consecutivi non trovano posto ulteriori interi: l’insieme è discreto.
Successore e precedente: ogni $x$ ha un unico vicino immediato a sinistra ( $x-1$ ) e uno a destra ( $x+1$ ).

Nota

Segno “+” facoltativo

Nel linguaggio comune e nelle esercitazioni di base, il segno “+” davanti ai numeri interi positivi viene spesso omesso per comodità.

Tuttavia, in contesti dove occorre distinguere con chiarezza il polarità del numero, è consigliabile esplicitarlo, soprattutto quando si affiancano valori positivi e negativi nello stesso elenco.

In Conclusione

La retta dei numeri interi va ben oltre un semplice diagramma: rappresenta un ponte concettuale fra l’intuizione geometrica del “punto su una linea” e l’astrazione algebrica di addizione, sottrazione, ordinamento e valore assoluto.

Didatticamente, consente di “vedere” operazioni e disuguaglianze.
Operativamente, aiuta a prevenire errori di segno quando si maneggiano espressioni algebriche complesse.
Concettualmente, prepara il terreno per argomenti successivi, come coordinate cartesiane, funzioni lineari, equazioni e disequazioni.

Allenarsi a ragionare con la retta degli interi—disegnandola, spostandosi mentalmente a sinistra e a destra, calcolando distanze, individuando precedenti e successivi—trasforma la manipolazione dei segni e delle grandezze numeriche in un’attività naturale, quasi intuitiva, che diverrà un prezioso alleato in tutto il percorso di studio della matematica.