Il Valore Assoluto di un Numero Intero

Concetti Chiave

Il valore assoluto di un numero intero $a$ è il numero non-negativo che rappresenta la distanza di $a$ dallo zero.
Si indica con $|a|$ e si definisce come:

$|a| = \begin{cases} a & \text{se } a \ge 0 \\ -a & \text{se } a < 0 \end{cases}$
Il valore assoluto è sempre non-negativo e misura la grandezza del numero, indipendentemente dal suo segno.

Il valore assoluto di un numero intero

Definizione

Definizione di valore assoluto

Si chiama valore assoluto (oppure modulo) di un numero intero $a$ il numero non-negativo che si ottiene:

dal numero stesso, se $a$ è positivo oppure è uguale a zero;
dall’opposto del numero, se $a$ è negativo.

In simboli, questo duplice comportamento si esprime con la seguente notazione a tratti:

|a| = \begin{cases} a &amp; \text{se } a \ge 0 \\ -a &amp; \text{se } a &lt; 0 \end{cases}

Ciò equivale a dire che $|a|$ è sempre $\ge 0$ , qualunque sia il segno di $a$ .

Nota

Il Valore Assoluto non è il numero senza segno

Spesso si sente dire che il valore assoluto di un numero è il numero stesso senza il segno. Questa affermazione, sebbene intuitiva, è formalmente imprecisa: il valore assoluto non è semplicemente “senza segno”, ma è un concetto più profondo che misura la distanza dallo zero, ossia dall'elemento neutro dell'insieme preso in considerazione.

Notazione e prime osservazioni

Quando si vuole indicare il valore assoluto di un numero intero, si racchiude quest’ultimo tra due barre verticali, per esempio $|{-7}|$ . Nel linguaggio comune spesso si omette il segno $+$ davanti ai numeri positivi: così $|{+5}|$ viene abitualmente scritto come $|5|$ .

Osservazioni importanti, che conviene fissare subito:

Non esistono valori assoluti negativi. La definizione garantisce che $|a|$ appartenga sempre all’insieme $\mathbb{N}\cup{0}$ .
Il valore assoluto misura la “grandezza” del numero, non il suo segno. Due numeri opposti, come $+9$ e $-9$ , hanno esattamente lo stesso valore assoluto: $|+9| = |-9| = 9$ .

Vediamo ora alcuni esempi pratici per chiarire ulteriormente il concetto.

Esempio

Esempio 1

Calcolare $|+4|$ .

Poiché $+4$ è già un numero non negativo, rimane invariato: $|+4| = 4$ .

Esempio

Esempio 2

Calcolare $|0|$ .

Lo zero è l’unico intero che non è né positivo né negativo, e il suo valore assoluto coincide con se stesso: $|0| = 0$ .

Esempio

Esempio 3

Calcolare $|-7|$ .

Il numero $-7$ è negativo; si prende quindi il suo opposto e si ottiene $|-7| = +7$ .

Nota

Non bisogna confondere il valore assoluto con le parentesi

Le due barre verticali che racchiudono il numero non vanno scambiate con comuni parentesi: $|{-3}|$ significa “valore assoluto di $-3$ ”, mentre $(-3)$ mantiene il segno negativo. Scrivere correttamente i simboli è essenziale per evitare errori nei calcoli successivi.

Interpretazione geometrica

Consiglio

Valore assoluto come distanza

Un modo molto intuitivo per “vedere” il valore assoluto è pensarlo come distanza dal punto che rappresenta il numero all’origine $0$ di una retta numerica. La distanza, per definizione, non può essere negativa: ecco spiegata la natura non-negativa di $|a|$ .

**Figura 1:** Rappresentazione grafica come distanza del valore assoluto di un numero intero

Prendiamo due esempi concreti di questa interpretazione.

Il punto che rappresenta $-2$ si trova a due unità a sinistra dello zero; la distanza è $2$ , dunque $|-2| = 2$ :

Figura 2: Valore assoluto di -2: interpretazione grafica
Il punto che rappresenta $+3$ si trova a tre unità a destra dello zero; la distanza è $3$ , dunque $|+3| = 3$ .

Figura 3: Valore assoluto di +3: interpretazione grafica

Il punto di vista “geometrico” è un ponte utile fra aritmetica e geometria, perché consente di tradurre molti problemi numerici in semplici questioni di distanze.

Regole di confronto basate sul valore assoluto

Grazie a quest’idea di distanza, possiamo formulare alcune regole pratiche per il confronto tra interi:

Tra due numeri interi positivi, il maggiore è quello con valore assoluto maggiore (coincide con la semplice “grandezza”).
Tra due numeri interi negativi, il maggiore è quello con valore assoluto minore (perché è “più vicino” allo zero sulla retta numerica).
Tra due numeri uno positivo e uno negativo, risulta sempre maggiore quello positivo, poiché si trova a destra dello zero.

Queste regole torneranno utili nella risoluzione rapida di esercizi di ordinamento.

Esempio: differenza di età

Esempio

Esempio 4

Martina e Paolo hanno $6$ anni di differenza.

Indichiamo con $e_{M}$ l’età di Martina e con $e_{P}$ l’età di Paolo. Se sapessimo quale dei due è il più anziano potremmo scrivere direttamente:

$e_{M} - e_{P} = 6$ se Martina è più grande, oppure
$e_{P} - e_{M} = 6$ se Paolo è più grande.

Quando invece non conosciamo chi dei due sia il maggiore, il concetto di valore assoluto risolve elegantemente l’ambiguità:

|\,e_{M} - e_{P}\,| = 6

In qualsiasi situazione concreta, questa equazione resta vera perché misura unicamente la distanza fra le due età, prescindendo da chi supera chi.

Conclusioni operative

Il valore assoluto è uno strumento che trasforma qualunque intero nel corrispondente numero non-negativo che ne misura la distanza dallo zero.
Si indica con $|a|$ e obbedisce alla semplice legge a tratti riportata di seguito:

$|a| = \begin{cases} a & \text{se } a \ge 0 \\ -a & \text{se } a < 0 \end{cases}$
È fondamentale nell’analisi di distanze, differenze e confronti fra numeri, oltre ad avere applicazioni in geometria, fisica e problemi quotidiani (come l’esempio dell’età).

Una solida padronanza di questo concetto costituisce la base per argomenti successivi, quali le disuguaglianze e il calcolo della distanza tra punti in più dimensioni.