Addizione tra Numeri Interi

Concetti Chiave

L'addizione tra numeri interi è un'operazione interna all'insieme degli interi $\mathbb Z$ .
La somma di due numeri interi può essere una somma o una differenza, a seconda dei segni degli addendi.
Si distinguono tre casi principali:
- Somma di due numeri concordi (stesso segno);
- Somma di due numeri discordi (segni diversi);
- Somma di due numeri opposti (uno è l'opposto dell'altro).
L'addizione tra numeri interi gode delle proprietà commutativa, associativa e ha come elemento neutro lo zero.

L'addizione tra numeri interi

Rispetto all'addizione tra numeri naturali, l'addizione tra numeri interi relativi presenta alcune novità.

In primo luogo, L'addizione è un'operazione interna all'insieme degli interi $\mathbb Z$ : la somma di due interi è sempre un intero.

In secondo luogo, l'addizione tra numeri interi non è più sempre una somma: a volte si tratta di una differenza. Ciò dipende dai segni degli addendi.

In particolare, si possono distinguere tre casi:

Somma di due numeri concordi (entrambi positivi oppure entrambi negativi);
Somma di due numeri discordi (uno positivo e l'altro negativo);
Somma di due numeri opposti (uno è l'opposto dell'altro).

Prima di analizzare i tre casi, ci conviene definire un particolare operatore, chiamato $\operatorname{segno}$ , che associa a ogni numero intero il suo segno:

\operatorname{segno}(a) = \begin{cases} + \quad \text{se } a &gt; 0, \\ 0 \quad \text{se } a = 0, \\ - \quad \text{se } a &lt; 0. \end{cases}

Sfrutteremo questo operatore per esprimere in modo compatto le regole dell'addizione tra numeri interi.

Somma di due numeri concordi

Definizione

Somma di due numeri concordi

La somma di due interi concordi (entrambi positivi oppure entrambi negativi) è un numero che:

ha lo stesso segno degli addendi;
ha valore assoluto uguale alla somma dei loro valori assoluti.

In simboli, se $\operatorname{segno}(a)=\operatorname{segno}(b)$ , allora

a+b = \operatorname{segno}(a)\,\big(|a|+|b|\big).

Esempio

Esempio 1: Temperature in quota

In un rifugio di montagna la temperatura è $-2^\circ\text{C}$ ;

durante la notte, la temperatura scende di altri $6^\circ\text{C}$ . Qual è la variazione totale della temperatura?

La variazione totale è $(-2)+(-6)=-8$ .

Infatti i numeri sono concordi negativi: il risultato è negativo e vale $-(|{-2}|+|{-6}|)=-8$ .

Esempio

Esempio 2: Scalette di una tribuna

Arianna sale di $3$ gradini le scale di una tribuna.

Poi sale di altri $6$ gradini. Quanti gradini ha salito in totale?

La somma è:

+3+(+6)=+9

I numeri sono concordi positivi: il segno resta $+$ e il valore è $3+6=9$ .

Somma di due numeri discordi

Definizione

Somma di due numeri discordi

La somma di due interi discordi (uno positivo e l'altro negativo) è un numero che:

ha il segno dell'addendo che ha valore assoluto maggiore;
ha valore assoluto uguale alla differenza tra il maggiore e il minore dei valori assoluti.

In simboli, se $|a|\ge |b|$ e $\operatorname{segno}(a)\ne\operatorname{segno}(b)$ , allora

a+b = \operatorname{segno}(a)\,\big(|a|-|b|\big).

Esempio

Esempio 3: Bilancio di una tessera ricaricabile

La tessera ricaricabile di Matteo ha un credito di $+4$ euro;

Con questa tessera, Matteo effettua un acquisto di $2$ euro. Qual è il nuovo saldo della tessera?

Il saldo è dato da:

(+4)+(-2)=+2.

Questi due numeri sono discordi e prevale $+4$ (perché $|4|>|-2|$ ): il risultato è positivo e vale $4-2=2$ .

Il nuovo saldo della tessera è di $2$ euro.

Esempio

Esempio 4: Immersione in acqua

Un sub in immersione si trova a $5$ metri sotto il livello del mare;

Dopo un certo tempo, risale di $3$ metri. A che profondità si trova ora?

La profondità è data da:

(-5)+(+3)=-2.

I due numeri sono discordi e prevale il $-5$ (perché $|-5|>|3|$ ): il risultato è negativo e vale $5-3=-2$ .

Quindi il sub si trova a $2$ metri sotto il livello del mare.

Esempio

Esempio 5: Bilancio giornaliero

Un'attività commerciale registra in un giorno una perdita di $20$ euro e un incasso di $4$ euro. A quanto ammonta il bilancio giornaliero?

Il bilancio è dato da:

(-20)+(+4)=-16.

Prevale la perdita (| $-20$ | > | $+4$ |): il risultato è $-(20-4)=-16$ .

Quindi l'attività ha un bilancio negativo di $16$ euro.

Somma di due numeri opposti

Definizione

Somma di numeri opposti

Due numeri opposti sono $a$ e $-a$ . La loro somma è sempre lo zero, che è l'elemento neutro dell'addizione:

a+(-a)=0.

Esempio

Esempio 6: Debito estinto

Se Giulia ha un debito di $7$ euro e subito dopo riceve un rimborso di $7$ euro, il saldo è $(-7)+(+7)=0$ .

Debito e rimborso sono opposti: si annullano.

Rappresentazione sulla retta dei numeri

Un modo grafico per rappresentare l'addizione tra numeri interi è quello di adoperare la retta dei numeri.

Il procedimento è il seguente:

Consiglio

Sommare con la retta dei numeri

Per calcolare $a+b$ sulla retta:

Si parte dal punto che rappresenta $a$ ;
Ci si sposta di $|b|$ unità:
- verso destra se $b$ è positivo;
- verso sinistra se $b$ è negativo.
Il punto di arrivo rappresenta la somma.

Ad esempio, per calcolare $(-2)+(+4)$ , si parte da $-2$ e si fanno $4$ passi verso destra, arrivando a $+2$ :

**Figura 1:** Primo esempio di addizione tra numeri interi con la retta dei numeri

Analogamente, per calcolare $(+3)+(-5)$ , si parte da $+3$ e si fanno $5$ passi verso sinistra, arrivando a $-2$ :

**Figura 2:** Secondo esempio di addizione tra numeri interi con la retta dei numeri

Notazione e scrittura compatta

Spesso si omette il segno $+$ davanti ai numeri positivi e si eliminano le parentesi quando non servono. Ad esempio:

$(+4)+(+5)=+9$ si può scrivere più brevemente come:

$+4+ +5=+9$

oppure semplicemente

$4+5=9$
$(-3)+(-7)=-10$ si può scrivere come:

$-3+ -7=-10$

oppure semplicemente

$-3-7=-10$
$(-12)+(+40)=+28$ si può scrivere come:

$-12+40=+28$

Nota

Attenzione alla "somma dei segni"

Non si sommano mai i segni tra loro. Il segno del risultato, nel caso discorde, dipende solo dall'addendo con valore assoluto maggiore. Il valore assoluto del risultato è la differenza tra i valori assoluti, non la loro somma.

Proprietà dell'addizione negli interi

Adesso che abbiamo visto come si calcola la somma tra numeri interi, possiamo elencare alcune proprietà importanti dell'addizione in $\mathbb Z$ . Tali proprietà sono analoghe a quelle dell'addizione tra numeri naturali.

Definizione

Proprietà fondamentali dell'addizione tra numeri interi

Commutativa: per tutti gli interi $a,b$ , vale

$a+b=b+a$
Associativa: per tutti gli interi $a,b,c$ , vale

$(a+b)+c=a+(b+c)$
Elemento neutro: esiste lo zero tale che, per ogni intero $a$ ,

$a+0=0+a=a$

Definizione

Opposto di un numero

Per ogni intero $a$ esiste l'opposto $-a$ tale che la loro somma è lo zero (elemento neutro dell'addizione):

a+(-a)=0.

Tali proprietà sono molto utili per semplificare i calcoli e per svolgerli in modo più veloce.

Esempio

Esempio 7: Usare le proprietà per calcolare più in fretta

Calcoliamo la somma:

(-12)+(+40)+(-8)

Grazie alla proprietà commutativa e alla proprietà associativa, possiamo raggruppare tra loro i numeri concordi e poi sommarli:

\left[(-12)+(-8)\right]+(+40)

=-20+40=+20

In questo caso sono stati prima sommati i numeri concordi negativi, poi effettuata la somma con un numero discorde positivo.

Procedura operativa

Riepilogando, ecco una procedura operativa per calcolare la somma tra due numeri interi:

Si controllano i segni degli addendi.
Se sono concordi, si mantiene quel segno e si sommano i valori assoluti.
Se sono discordi, si prende come segno quello dell'addendo con valore assoluto maggiore e si calcola la differenza dei valori assoluti.
Se sono opposti, la somma è zero.
A volte può essere utile usare la retta dei numeri per controllare il calcolo.
Si può adoperare la proprietà commutativa e associativa per semplificare i calcoli.

Consiglio

Controllo di correttezza

Dopo aver deciso il segno del risultato:

Si può verificare rapidamente quale valore assoluto è maggiore (ti conferma il segno nei casi discordi);
Bisogna assicurarsi che il valore assoluto del risultato non superi la somma dei valori assoluti degli addendi (utile come stima di controllo).

Esempi riassuntivi

Esempio

Esempio 8: Variazione altimetrica

Un'escursione in collina inizia a $+120\,\text{m}$ sul livello del mare.

Successivamente, si scende di $50\,\text{m}$ e poi si risale di $80\,\text{m}$ .

Qual è la quota finale?

Si tratta di sommare tre numeri interi:

+120+(-50)+(+80).

Si può procedere in due modi:

Si sommano i primi due numeri, poi si somma il terzo:

$(+120)+(-50)=+70$

$+70+(+80)=+150$
Si usano le proprietà commutativa e associativa per raggruppare i numeri concordi:

$(+120)+(+80)+(-50)$

$=+200+(-50)=+150$

In entrambi i modi si ottiene come risultato $+150\,\text{m}$ .

Esempio

Esempio 9: Bilancio di punti in un gioco

In un gioco a manche, Sara ottiene $8$ punti nella prima manche, perde $5$ punti nella seconda e perde altri $7$ punti nella terza.

Qual è il suo punteggio finale?

Si tratta di sommare tre numeri interi:

+8+(-5)+(-7).

Applicando la proprietà associativa e commutativa, si possono raggruppare i numeri concordi:

+8+(-5)+(-7) =

+8 + [(-5)+(-7)] = +8 + (-12) = -4.

Il punteggio finale di Sara è $-4$ .