Le Proprietà delle Operazioni tra Numeri Naturali

Le proprietà formali delle operazioni ci permettono di calcolare e di manipolare espressioni in modo più flessibile e veloce, indipendentemente dai numeri particolari coinvolti.

In questa lezione vedremo, con molta calma e in modo organico, le proprietà commutativa, associativa e distributiva per addizione, moltiplicazione e divisione (con le dovute cautele).

Ogni proprietà sarà presentata con una definizione rigorosa, esempi e consigli pratici per il calcolo sia su carta che a mente.

Concetti Chiave

Le proprietà commutativa, associativa e distributiva sono proprietà formali delle operazioni tra numeri naturali che ci permettono di calcolare e manipolare espressioni in modo più flessibile e veloce.
La proprietà commutativa afferma che l'ordine degli addendi o dei fattori non cambia il risultato di una somma o di un prodotto.
La proprietà associativa afferma che il modo in cui raggruppiamo gli addendi o i fattori non cambia il risultato di una somma o di un prodotto.
La proprietà distributiva afferma che una moltiplicazione può essere distribuita su una somma o una sottrazione.
La divisione distribuisce solo a destra su somma e sottrazione, ossia quando il dividendo è una somma o una differenza.

Proprietà Commutativa

La proprietà commutativa è una proprietà che riguarda sia l'operazione di addizione che di moltiplicazione.

Alla base di questa proprietà c'è l'idea che, in un'addizione o in una moltiplicazione, l'ordine con cui si sommano o si moltiplicano i numeri non cambia il risultato.

La conseguenza è che possiamo scambiare tra loro gli addendi o i fattori per rendere i calcoli più semplici.

Analizziamo la proprietà commutativa nel dettaglio.

Definizione

Proprietà commutativa dell'addizione

In un'addizione, se si cambia l'ordine degli addendi, la somma non cambia.

In simboli:

a + b = b + a

Esempio

Esempio 1

In un magazzino, Luca aggiunge prima $5$ scatole a uno scaffale e poi altre $4$ . Se invece mette prima $4$ scatole e poi $5$ , il totale non cambia:

5 + 4 = 4 + 5 = 9

scatole in entrambi i casi.

Definizione

Proprietà commutativa della moltiplicazione

In una moltiplicazione, se si cambia l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

In simboli:

a \cdot b = b \cdot a

Esempio

Esempio 2

Una classe organizza sedie in $4$ file da $2$ sedie ciascuna.

Il numero totale di sedie è

4 \cdot 2 = 8

Se le sedie vengono disposte in $2$ file da $4$ sedie, il totale resta lo stesso:

2 \cdot 4 = 8

Quindi, in una somma o in un prodotto, possiamo scambiare tra loro gli addendi o i fattori per rendere i calcoli più semplici.

La stessa cosa, tuttavia, non vale per la sottrazione e per la divisione:

Nota

Attenzione: Non tutte le operazioni sono commutative

La sottrazione e la divisione non sono commutative.

Per esempio, $15 - 3 = 12$ mentre $3 - 15$ non è un numero naturale.

Allo stesso modo, $20 : 4 = 5$ mentre $4 : 20 \neq 5$ .

Interpretazione geometrica della proprietà commutativa

Per chiarire, intuitivamente, il significato della proprietà commutativa, possiamo usare due modelli visivi.

Partiamo dal caso dell'addizione. Possiamo rappresentare l'addizione come uno schieramento di oggetti, ad esempio di palline. Ad esempio, $3 + 5$ può essere rappresentato come uno schieramento di $3$ palline seguite da uno schieramento di $5$ palline:

**Figura 1:** Schieramento di Palline 3 + 5

Se andiamo a contare le palline, otteniamo $8$ .

Se, adesso, scambiamo tra loro i due schieramenti, otteniamo $5 + 3$ :

**Figura 2:** Schieramento di Palline 5 + 3

Ma, se andiamo a contare le palline, otteniamo ancora $8$ .

Quindi, invertendo l'ordine degli addendi, il risultato non cambia.

Lo stesso vale per la moltiplicazione. Possiamo rappresentare la moltiplicazione come l'area di un rettangolo.

Se consideriamo la moltiplicazione:

3 \cdot 5

possiamo rappresentarla come l'area di un rettangolo di base $3$ e altezza $5$ :

L'area di questo rettangolo è $15$ .

Se, adesso, ribaltiamo il rettangolo di $90$ gradi, otteniamo un rettangolo di base $5$ e altezza $3$ , che rappresenta la moltiplicazione:

5 \cdot 3

Ma l'area di questo rettangolo è ancora $15$ .

**Figura 4:** Area di un rettangolo di base 5 e altezza 3

Proprietà Associativa

La proprietà associativa riguarda come raggruppiamo gli addendi o i fattori senza cambiarne l'ordine globale. È potentissima per semplificare calcoli lunghi, perché ci permette di sostituire due termini adiacenti con la loro somma o il loro prodotto e continuare a lavorare con l'espressione ridotta.

Anche questa proprietà si applica sia all'addizione che alla moltiplicazione. Vediamola nel dettaglio

Definizione

Proprietà associativa dell'addizione

La somma di tre (o più) numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine. In simboli:

(a + b) + c = a + (b + c)

Esempio

Esempio 3

In una gara a punti, Marta ottiene $3$ , poi $6$ e infine $4$ punti.

Il punteggio totale al termine della gara è dato da:

3 + 6 + 4 = 13

Che tali punteggi vengano sommati come $(3 + 6) + 4$ , ossia sommando prima $3$ e $6$ e poi $4$ , oppure come $3 + (6 + 4)$ , ossia sommando prima $6$ e $4$ e poi al risultato si sommi $3$ , il totale rimane lo stesso: $13$ .

La conseguenza di questa proprietà è che in una sequenza di addizioni possiamo sostituire a due addendi consecutivi la loro somma. Il risultato non cambia, ma i calcoli diventano più comodi.

Esempio

Esempio 4

Nel registro della biblioteca, si aggiungono $5 + 7 + 3 + 2$ nuovi libri. Conviene sommare prima $7 + 3$ per ottenere $10$ :

5 + \underline{7 + 3} + 2 = 5 + 10 + 2

A questo punto, conviene sommare $5 + 2$ per ottenere $7$ :

\underline{5 + 10} + 2 = 7 + 10 = 17

Questo raggruppamento permette di eseguire i calcoli a mente in modo più semplice.

Anche la moltiplicazione gode della proprietà associativa.

Definizione

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto di tre (o più) numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine.

In simboli:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Esempio

Esempio 5

Un panificio dispone pagnotte in cassette:

ogni cassetta contiene $4$ pagnotte;
$6$ cassette per bancale;

Il panificio dispone $5$ bancali. Quante pagnotte sono state disposte in totale?

Possiamo trovare il risultato come $(6 \cdot 4) \cdot 5$ oppure come $6 \cdot (4 \cdot 5)$ , il totale rimane lo stesso:

(6 \cdot 4) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120

Anche per la moltiplicazione, possiamo applicare la proprietà associativa per semplificare i calcoli. Ad esempio, in una sequenza di moltiplicazioni possiamo sostituire a due fattori consecutivi il loro prodotto.

Esempio

Esempio 6

Per $3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5$ conviene prima moltiplicare $2 \cdot 5 = 10$ :

3 \cdot 7 \cdot \underline{2 \cdot 5} = 3 \cdot 7 \cdot 10

A questo punto conviene moltiplicare $3 \cdot 7 = 21$ :

\underline{3 \cdot 7} \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210

La moltiplicazione finale è più semplice perché si moltiplica per $10$ e quindi si aggiunge uno zero al numero.

A partire da queste due proprietà, possiamo dare due suggerimenti pratici per il calcolo.

Consiglio

Rimessa in ordine libera

Applicando più volte le proprietà commutativa e associativa, è sempre possibile spostare in qualunque posizione uno o più addendi (o fattori) per poi raggrupparli in modo conveniente.

Consiglio

Consiglio per il calcolo mentale

Nelle somme conviene cercare coppie che se sommate, danno come risultato $10$ , $100$ , $1000$ , ecc.

Nei prodotti conviene, invece, cercare combinazioni come $2 \cdot 5 = 10$ o $4 \cdot 25 = 100$ .

Per ottenere questi raggruppamenti possiamo usare liberamente la proprietà commutativa e la proprietà associativa.

Proprietà Distributiva

La proprietà distributiva permette di distribuire una moltiplicazione (o certe divisioni) rispetto a una somma o a una sottrazione. È la chiave per fattorizzare ed espandere espressioni, nonché per eseguire calcoli mentali in modo efficiente.

A differenza delle proprietà commutativa e associativa che riguardavano la stessa operazione, la proprietà distributiva riguarda un'operazione rispetto ad un'altra.

Nel caso dei numeri naturali ne esistono due versioni:

Moltiplicazione rispetto all'addizione;
Divisione a destra rispetto all'addizione.

Vediamole in dettaglio.

Definizione

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (e alla sottrazione)

Per tutti i numeri $a$ , $b$ , $c$ vale:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

e, analogamente,

a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

Esempio

Esempio 7

Un vivaio spedisce $5$ cassette di piante, ciascuna contenente $3$ piante di rosa e $4$ piante di tulipano. Quante piante spedisce in totale?

Il numero totale di piante è dato da:

5 \cdot (3 + 4)

Applicando la proprietà distributiva, otteniamo:

5 \cdot (3 + 4) = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 15 + 20 = 35

La proprietà distributiva è molto utile per espandere espressioni, ma anche per raccogliere un fattore comune.

Possiamo interpretarla anche geometricamente. Supponiamo di voler calcolare l'area di un rettangolo di base $5$ e altezza $3 + 2$ .

L'area del rettangolo può essere espressa come:

5 \cdot (3 + 2)

Possiamo dividere il rettangolo in due parti, una di altezza $3$ e l'altra di altezza $2$ :

**Figura 5:** Proprietà Distributiva: Interpretazione Geometrica

Adesso, possiamo calcolare l'area di ciascuna parte separatamente e sommarle:

5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 15 + 10 = 25

Il che è equivalente a calcolare l'area del rettangolo intero:

5 \cdot (3 + 2) = 5 \cdot 5 = 25

Per quanto riguarda la divisione, la proprietà distributiva vale solo a destra, ossia quando il dividendo è una somma o una differenza.

Definizione

Proprietà distributiva della divisione (a destra)

Quando è possibile dividere (e con $c \neq 0$ ), la divisione distribuisce a destra su somma e sottrazione:

(a + b) : c = a : c + b : c, \qquad c \neq 0

(a - b) : c = a : c - b : c, \qquad c \neq 0

La proprietà vale solo a destra, poiché la divisione non è commutativa.

Esempio

Esempio 8

Ad una festa, $20$ caramelle alla fragola e $10$ caramelle al limone vengono divise equamente tra $5$ bambini. Quante caramelle riceve ciascun bambino?

Il numero di caramelle per bambino è dato da:

(20 + 10) : 5

Applicando la proprietà distributiva della divisione a destra, otteniamo:

(20 + 10) : 5 = 20 : 5 + 10 : 5 = 4 + 2 = 6

Nota

Attenzione: La divisione non distribuisce a sinistra

In generale, la divisione non distribuisce se la somma o la differenza è al divisore.

Per cui:

a : (b + c) \neq a : b + a : c

a : (b - c) \neq a : b - a : c

La somma (o sottrazione) deve essere al dividendo: solo così la divisione "distribuisce".

Strategie di calcolo

Le proprietà viste consentono riordini, raggruppamenti e scomposizioni utili per calcoli rapidi.

Esempio

Esempio 9 — Sommare raggruppando

Proviamo a calcolare l'addizione seguente:

189 + 57 + 11 + 3

Possiamo procedere in questo modo:

Riorganizziamo gli addendi con la proprietà commutativa per avvicinare numeri "comodi" tra di loro:

$189 + 57 + 11 + 3 = \underline{189 + 11} + \underline{57 + 3}$
Poi applichiamo la proprietà associativa per sommare i numeri raggruppati:

$\underline{189 + 11} + \underline{57 + 3} = 200 + 60 = 260$

Esempio

Esempio 10 — Fattorizzare un fattore comune

Proviamo a calcolare la seguente espressione:

121 \cdot 3 + 121 \cdot 7

Anziché calcolare i due prodotti separatamente, possiamo raccogliere il fattore comune $121$ usando la proprietà distributiva al contrario:

121 \cdot 3 + 121 \cdot 7 = 121 \cdot (3 + 7) = 121 \cdot 10

Quello che abbiamo ottenuto è un prodotto più semplice da calcolare, una moltiplicazione per $10$ , che si esegue facilmente aggiungendo uno zero:

121 \cdot 10 = 1210

Esempio

Esempio 11 — Scomporre un fattore

Per stimare velocemente $17 \cdot 21$ possiamo lavorare così:

Scomponiamo $21$ in $20 + 1$ :

$17 \cdot 21 = 17 \cdot (20 + 1)$
Applichiamo la proprietà distributiva:

$17 \cdot (20 + 1) = 17 \cdot 20 + 17 \cdot 1$
Calcoliamo i due prodotti:

$17 \cdot 20 + 17 \cdot 1 = 340 + 17 = 357$

Consiglio

Quando usare ciascuna proprietà

Proprietà Commutativa:

conviene usarla per spostare addendi o fattori e accostare quelli che "stanno bene insieme". In altre parole, per mettere vicini numeri che si sommano o si moltiplicano facilmente.
Proprietà Associativa:

conviene usarla per raggruppare e sostituire due numeri consecutivi con la loro somma o prodotto.
Proprietà Distributiva:

conviene usarla per espandere (es. $a \cdot (b + c)$ ) oppure raccogliere un fattore comune (es. $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ ).
Divisione a destra:

conviene usarla per dividere equamente una somma o una differenza, purché il divisore sia lo stesso e diverso da zero.

Errori tipici da evitare

Nell'uso delle proprietà delle operazioni, è facile incorrere in errori comuni. Ecco alcuni avvertimenti importanti:

Nota

Sottrazione e divisione non sono commutative

Scrivere

a - b = b - a

a : b = b : a

è generalmente sempre falso.

Per divisione e sottrazione non bisogna scambiare l'ordine!

Nota

La Proprietà Distributiva vale solo per la moltiplicazione rispetto a somma e sottrazione

La proprietà distributiva vale solo per la moltiplicazione rispetto a somma e sottrazione.

Infatti, non possiamo scrivere:

a + (b \cdot c) \neq (a + b) \cdot (a + c)

Nota

Proprietà Distributiva della divisione: vale solo con la parentesi al dividendo

Bisogna fare attenzione a non confondere le due espressioni:

(a + b) : c

con

a + b : c

Infatti, la proprietà distributiva della divisione vale solo in presenza di parentesi al dividendo.

Nel secondo caso, la divisione ha la precedenza sull'addizione, per cui l'espressione va calcolata come:

a + (b : c)

Conclusione

Le proprietà commutativa, associativa e distributiva sono strumenti universali: non dipendono dai numeri specifici, ma dalla struttura delle operazioni. Imparare a riconoscerle e a combinarle permette di:

semplificare somme e prodotti lunghi;
effettuare calcoli mentali più rapidi e sicuri;
riscrivere le espressioni nella forma più conveniente (espansione o fattorizzazione);
comprendere meglio il significato delle operazioni attraverso modelli visivi (schieramenti e aree).

Usandole con criterio, ci si può accorgere che molte espressioni "difficili" diventano improvvisamente semplici quando sono riordinate con le proprietà giuste.

Riepilogando, ecco le proprietà principali delle operazioni tra numeri naturali:

Addizione
- Commutativa:
  
  $a + b = b + a$
- Associativa:
  
  $(a + b) + c = a + (b + c)$
Moltiplicazione
- Commutativa:
  
  $a \cdot b = b \cdot a$
- Associativa:
  
  $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- Distributiva su somma e sottrazione:
  
  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
  
  $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$
Divisione
- Non è commutativa.
- Distributiva a destra (con $c \neq 0$ ):
  
  $(a + b) : c = a : c + b : c$
  
  $(a - b) : c = a : c - b : c$