La Proprietà Invariantiva

In questa lezione completiamo il quadro delle proprietà formali delle operazioni sui numeri naturali introducendo la proprietà invariantiva.

L'idea chiave è molto semplice:

per la sottrazione, se aggiungiamo o togliamo lo stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia (quando l'operazione è possibile nei numeri naturali);
per la divisione, se moltiplichiamo o dividiamo entrambi dividendo e divisore per lo stesso numero non nullo, il quoziente non cambia (quando le divisioni sono possibili).

Questa proprietà è estremamente utile nel calcolo mentale perché permette di semplificare i calcoli senza alterare il risultato.

Concetti Chiave

La proprietà invariantiva della sottrazione consente di aggiungere o togliere lo stesso numero a minuendo e sottraendo senza cambiare la differenza.
La proprietà invariantiva della divisione permette di moltiplicare o dividere entrambi i termini per lo stesso numero non nullo senza alterare il quoziente.
Questa proprietà è utile per semplificare i calcoli di sottrazione e divisione, specialmente nel calcolo mentale.
La proprietà invariantiva non si applica all'addizione o alla moltiplicazione.
È importante rispettare le condizioni di esistenza quando si applica questa proprietà nei numeri naturali.

Proprietà invariantiva della sottrazione

Iniziamo con il dare la definizione formale della proprietà invariantiva della sottrazione.

Definizione

Proprietà invariantiva della sottrazione

In una sottrazione, se si aggiunge o si toglie lo stesso numero $n$ sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia, purché le operazioni siano possibili nei numeri naturali.

In simboli:

a - b = (a + n) - (b + n), \qquad \text{con } a \ge b

a - b = (a - n) - (b - n), \qquad \text{con } a \ge b \ge n

Chiariamo con un esempio il significato di questa proprietà.

Consideriamo la sottrazione $39 - 12$ . Se aggiungiamo $3$ sia al minuendo ( $39$ ) sia al sottraendo ( $12$ ), otteniamo:

39 - 12 = (39 + 3) - (12 + 3) = 42 - 15 = 27

Allo stesso modo, se togliamo $2$ sia al minuendo sia al sottraendo, otteniamo:

39 - 12 = (39 - 2) - (12 - 2) = 37 - 10 = 27

In entrambi i casi, la differenza rimane invariata.

Perché funziona? Perché le due "correzioni" si annullano: aggiungendo (o togliendo) $n$ ad entrambi i termini, la distanza tra i due numeri rimane identica.

Graficamente, possiamo rappresentare la differenza tra due numeri naturali sfruttando la retta dei numeri. Supponiamo di voler calcolare la differenza tra $7$ e $3$ :

**Figura 1:** Differenza tra 7 e 3: Interpretazione Geometrica

Questi due punti distano tra di loro $4$ unità che è pari alla differenza $7 - 3$ .

Se ora trasliamo entrambi i punti di $2$ unità verso destra (cioè aggiungiamo $2$ a entrambi), otteniamo i punti $9$ e $5$ :

**Figura 2:** Proprietà Invariantiva della Sottrazione: Traslando di una stessa quantità Minuendo e Sottraendo il risultato non cambia

Anche in questo caso, la distanza tra i due punti è ancora $4$ unità, che corrisponde alla differenza $9 - 5$ .

Nota

Non confondere con addizione o moltiplicazione

La proprietà invariantiva non vale per l'addizione né per la moltiplicazione.

Vediamo un controesempio:

7 + 5 = 12

ma se aggiungiamo la stessa quantità ai due addenti, ad esempio $2$ :

(7 + 2) + (5 + 2) = 9 + 7 = 16 \ne 12

Analogamente, per la moltiplicazione:

7 \cdot 5 = 35

ma se aggiungiamo la stessa quantità ai due fattori, ad esempio $2$ :

(7 + 2) \cdot (5 + 2) = 9 \cdot 7 = 63 \ne 35

Proprietà invariantiva della divisione

Anche la divisione gode della proprietà invariantiva, che enunciamo formalmente di seguito.

Definizione

Proprietà invariantiva della divisione

In una divisione, se si moltiplica o si divide per lo stesso numero diverso da zero sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia, a condizione che le divisioni siano possibili.

In simboli:

a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n), \qquad \text{con } b \ne 0,\ n \ne 0

a : b = (a : n) : (b : n), \qquad \text{con } b \ne 0,\ n \ne 0

Osservazione. La seconda forma "semplifica" entrambi i termini dividendo e divisore per uno stesso fattore comune $n$ . È il cuore della semplificazione delle frazioni che studieremo più avanti.

Esempio

Prendiamo la divisione $84 : 12$ . Il quoziente è $7$ perché $12 \cdot 7 = 84$ .

Se moltiplichiamo entrambi i termini per $5$ , otteniamo:

84 : 12 = (84 \cdot 5) : (12 \cdot 5) = 420 : 60 = 7

Moltiplicare per $5$ entrambi i termini non cambia il quoziente.

Esempio

Esempio di semplificazione

Riprendiamo la divisione $84 : 12$ .

Possiamo osservare che sia $84$ sia $12$ sono divisibili per $6$ . Quindi, dividendo entrambi i termini per $6$ , otteniamo:

84 : 12 = (84 : 6) : (12 : 6) = 14 : 2 = 7

Abbiamo semplificato per il fattore comune $6$ e reso il calcolo più semplice.

Nota

Attenzione: non vale con addizione o sottrazione

La divisione non è invariantiva rispetto ad addizione o sottrazione su entrambi i termini.

Ad esempio, prendiamo la divisione:

20 : 4 = 5

ma se aggiungiamo una stessa quantità a dividendo e divisore, ad esempio $3$ :

(20 + 3) : (4 + 3) = 23 : 7 \ne 5

Confronto e collegamenti con le altre proprietà

Per evitare confusioni, ecco un quadro riassuntivo delle relazioni più utili (con le condizioni di validità).

**Tabella 1:** Riepilogo delle proprietà di Sottrazione e Divisione
Proprietà	In simboli	Esempio
Invariantiva della sottrazione	$a - b = (a + c) - (b + c)$ $a - b = (a - c) - (b - c)$ (con le sottrazioni possibili in $\mathbb{N}$ )	$42 - 19$ $= (42 + 6) - (19 + 6)$ $= 48 - 25$
Invariantiva della divisione	$a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$ $a : b = (a : c) : (b : c)$ (con $c \ne 0$ e divisioni possibili)	$84 : 12 = (84 : 6) : (12 : 6)$
Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione	$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ (con la sottrazione possibile in $\mathbb{N}$ )	$3 \cdot (12 - 7) = 36 - 21$
Distributiva a destra della divisione rispetto ad addizione e sottrazione	$(a + b) : c = a : c + b : c$ $(a - b) : c = a : c - b : c$ (con $c \ne 0$ e divisioni possibili)	$(30 + 12) : 6 = 30 : 6 + 12 : 6$

Strategie di calcolo

La proprietà invariantiva è molto utile per semplificare i calcoli di sottrazione e divisione. Combinandola con le altre proprietà (commutativa, associativa e distributiva), possiamo rendere i calcoli più semplici e veloci.

Vediamo un esempio pratico.

Esempio

Esempio — Semplificazione

Prendiamo la divisione $396 : 66$ . Possiamo semplificare entrambi i termini dividendo per $33$ :

396 : 66 = (396 : 33) : (66 : 33) = 12 : 2 = 6

Abbiamo scelto $n = 33$ perché è un fattore comune (consente la massima semplificazione). Torneremo su questo concetto più avanti nelle prossime lezioni sulle frazioni.

Possiamo dare qualche consiglio pratico per l'uso della proprietà invariantiva:

Consiglio

Come scegliere $n$ nella sottrazione

Conviene scegliere $n$ per rendere "rotondo" uno o entrambi i numeri (multipli di $10$ , $100$ , ecc.) o per evitare riporti nella sottrazione.

Per esempio, nella sottrazione $402 - 197$ conviene usare $n = 3$ :

(402 - 197) = (402 + 3) - (197 + 3) = 405 - 200 = 205

In questo modo, non abbiamo dovuto far ricorso al riporto.

Consiglio

Come scegliere $n$ nella divisione

Se si vuole semplificare la divisione, si cerca un fattore comune del dividendo e del divisore (idealmente il massimo comune divisore).

Esempio:

396 : 66 = (396 : 33) : (66 : 33) = 12 : 2 = 6

dividendo entrambi per $33$ .

Ritorneremo su questo concetto più avanti nelle prossime lezioni sui divisori, il massimo comun divisore e le frazioni.

Errori Tipici

Nell'applicazione della proprietà invariantiva bisogna prestare attenzione ad alcuni errori comuni.

Nota

La Proprietà Invariantiva non riguarda Addizione e Moltiplicazione

Un errore comune che viene commesso da chi è alle prime armi è quello di applicare la proprietà invariantiva anche alla moltiplicazione e all'addizione.

Questo è un errore. Infatti, se prendiamo un'addizione qualunque:

7 + 12 = 19

e ad entrambe gli addendi aggiungiamo una stessa quantità, ad esempio $3$ , otteniamo un risultato diverso:

(7 + 3) + (12 + 3) = 10 + 15 = 25

Analogamente per la moltiplicazione.

Nota

Condizioni di esistenza

Se ci limitiamo al caso dei numeri naturali, quando applichiamo la formula invariantiva alla sottrazione dobbiamo imporre alcune condizioni affinché il risultato continui ad essere un numero naturale:

Nella formula

$a - b = (a - n) - (b - n)$

dobbiamo avere $a \ge b \ge n$ affinché il risultato continui ad essere un numero naturale.
Nella formula

$a : b = (a : n) : (b : n)$

dobbiamo avere $n \ne 0$ e che $n$ divida sia $a$ sia $b$ , altrimenti la divisione non è intera in $\mathbb{N}$ (o non è definita).

Conclusione

La proprietà invariantiva è un vero "coltellino svizzero" del calcolo:

nella sottrazione, permette di evitare prestiti o di raggiungere numeri tondi aggiungendo/togliendo lo stesso $n$ ai due termini;
nella divisione, consente di semplificare con un fattore comune oppure di eliminare decimali, rendendo il divisore più comodo.

Imparare a riconoscere quando applicarla e combinarla con commutativa, associativa e distributiva rende i calcoli più rapidi.