Le Potenze con i Numeri Naturali

Concetti Chiave

Le potenze con i numeri naturali rappresentano moltiplicazioni ripetute di fattori uguali.
La potenza $a^m$ indica il prodotto di $m$ fattori tutti uguali ad $a$ .
Le potenze con esponente 1 e 0 hanno definizioni specifiche: $a^1 = a$ e $a^0 = 1$ per $a \neq 0$ .
La potenza con base 0 è definita come $0^b = 0$ per ogni $b > 0$ , mentre $0^0$ non è definita.
Le potenze si leggono come " $a$ alla $m$ -esima" o " $a$ elevato alla $m$ ".

Le Potenze con i Numeri Naturali

Le potenze con i numeri naturali sono un modo compatto per scrivere moltiplicazioni in cui tutti i fattori sono uguali.

Quando in una moltiplicazione compaiono ripetutamente gli stessi numeri, invece di elencarli tutti, usiamo una notazione abbreviata che ci permette di leggere e manipolare più facilmente i calcoli.

Per esempio, la moltiplicazione $5\cdot 5\cdot 5$ si può scrivere in modo compatto come $5^3$ .

In $5^3$ il 5 è la base (il fattore che si ripete), mentre il 3 è l'esponente (il numero di ripetizioni della base).

Definizione

Definizione di potenza

Siano $a$ e $m$ due numeri naturali, con $m>1$ . Si definisce potenza di base $a$ ed esponente $m$ , indicata con $a^m$ , il prodotto di $m$ fattori tutti uguali ad $a$ :

a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{$m$ volte}}.

Questa definizione formalizza l'idea che una potenza è una moltiplicazione ripetuta. Il simbolo dell'esponente ci dice quante volte moltiplicare tra loro fattori identici alla base.

Per calcolare il valore di una potenza con numeri naturali, si può espandere la potenza come moltiplicazione e poi calcolare il prodotto. Abbiamo visto l'esempio di $5^3$ sopra. Proviamo a calcolarne il valore. Poiché l'esponente è $3$ , dobbiamo moltiplicare tre fattori uguali alla base $5$ :

5^3=5\cdot 5\cdot 5=125.

Casi particolari: esponenti 1 e 0

La definizione precedente assume $m>1$ perché la moltiplicazione ha senso come prodotto quando ci sono almeno due fattori. Tuttavia, per completezza e utilità nei calcoli, assegniamo un significato condiviso anche alle potenze con esponente $1$ e con esponente $0$ .

Definizione

Potenze con esponente pari a 1

Per ogni numero naturale $a > 0$ si definisce:

a^1=a.

Definizione

Potenze con esponente pari a 0

Per ogni numero naturale $a > 0$ si definisce:

a^0=1.

L'affermazione $a^1=a$ rispetta il senso della moltiplicazione ripetuta: "moltiplicare $a$ una volta" significa semplicemente prendere $a$ .

La regola $a^0=1$ per $a\neq 0$ è coerente con le proprietà delle potenze (ad esempio, con il fatto che $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ : ponendo $n=0$ , si ottiene $a^m\cdot a^0=a^{m+0}=a^m$ , quindi $a^0$ deve comportarsi come l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè $1$ ). Ritorneremo su questo punto nella prossima lezione.

Le due proprietà di sopra non valgono, però, quando la base è $0$ .

Definizione

Potenze con base 0

Per la base $0$ si definisce:

0^b = 0 \quad \text{per ogni } b &gt; 0.

Nota

Attenzione al caso $0^0$

La potenza $0^0$ non è definita e viene considerata priva di significato in aritmetica elementare. Evita di assegnarle un valore nei calcoli scolastici di base.

Come leggere e scrivere le potenze

$a^m$ si legge: " $a$ alla $m$ -esima" oppure " $a$ elevato alla $m$ ".
La base è il numero scritto in basso; l'esponente è il numerino in alto a destra.

Un modo per controllare i calcoli con le potenze è riscriverle come moltiplicazioni, attraverso un'espansione:

a^m=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\quad(\text{$m$ fattori})

Ad esempio, se vogliamo calcolare $3^4$ , possiamo espandere la potenza come moltiplicazione:

3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81.

Esempi

Di seguito presentiamo alcuni esempi concreti che reinterpretano i calcoli tipici con le potenze. I numeri rimangono semplici, ma il contesto aiuta a dare senso alle regole.

Esempio

Esempio 1 — Moltiplicazione ripetuta come potenza

In un laboratorio è presente un armadio con 3 scaffali, ognuno contenente 3 scatole che a loro volta contengono 3 provette ciascuna.

Quante provette ci sono in totale nell'armadio?

Poiché ogni scaffale contiene $3\cdot 3=9$ provette, il totale è $3\cdot 9=27$ provette.

Ma possiamo riscrivere questo calcolo come potenza:

3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27.

Esempio

Esempio 2 — Esponente 1

Una scatola contiene 100 monete speciali. Se si prende una sola volta la scatola (nessuna moltiplicazione ripetuta), il conteggio è $100^1$ . Per la definizione, $100^1=100$ : il numero rimane se stesso quando l'esponente è $1$ .

Altri esempi: $23^1=23$ e $0^1=0$ .

Esempio

Esempio 3 — Espansione della potenza

In un magazzino, vi sono 4 scaffali, ognuno con 4 scatole contenenti 4 pacchi ciascuna. Esprimiamo il numero totale di pacchi come potenza.

Il numero totale di pacchi è $4\cdot 4\cdot 4$ , cioè $4^3$ .

Espandendo e calcolando otteniamo:

4^3=4\cdot 4\cdot 4=64.

Quindi ci sono 64 pacchi.

Riepilogo

Una potenza $a^m$ con $m>1$ rappresenta il prodotto di $m$ fattori uguali alla base $a$ .
Per qualsiasi numero naturale $a$ : $a^1=a$ .
Per qualsiasi numero naturale $a\neq 0$ : $a^0=1$ .
Non si assegna valore a $0^0$ nell'aritmetica elementare.

Queste regole costituiscono il "vocabolario minimo" per leggere, scrivere ed eseguire calcoli con le potenze nell'ambito dei numeri naturali.

Nella prossima lezione estenderemo queste idee a proprietà più avanzate (come il prodotto di potenze con la stessa base, l'uso degli esponenti interi, ecc.), ma il punto di partenza rimane sempre la definizione di potenza come moltiplicazione ripetuta.