Proprietà delle Potenze con i Numeri Naturali

Abbiamo visto che una potenza è un'operazione che coinvolge due numeri: la base e l'esponente. La potenza si indica con la base scritta in basso a sinistra e l'esponente in alto a destra, come in $a^m$ .

Per calcolare il valore di una potenza, si può espandere la potenza come moltiplicazione e poi calcolare il prodotto. Ad esempio, per calcolare $5^3$ si espande la potenza in una moltiplicazione di tre fattori uguali alla base $5$ .

Questo non sempre però risulta essere il modo più pratico per calcolare il valore di una potenza, specialmente quando l'esponente è grande. Per questo motivo, esistono delle proprietà che permettono di semplificare i calcoli con le potenze.

In questa lezione vedremo le principali proprietà delle potenze con basi e esponenti naturali, e come usarle per semplificare i calcoli.

Concetti Chiave

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti (quando la differenza è definita).
La potenza di una potenza è una potenza con la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.
La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze.
La potenza di un quoziente è il quoziente delle potenze (quando il denominatore è diverso da zero).
Le proprietà delle potenze sono valide per basi e esponenti naturali, con alcune eccezioni come $0^0$ che non è definita.

Prodotto di potenze con la stessa base

Supponiamo di dover calcolare il prodotto di due potenze con uguale base, ad esempio:

3^2 \cdot 3^4

Si potrebbe espandere ciascuna potenza e poi calcolare il prodotto:

(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)

Poiché la moltiplicazione è associativa e commutativa, possiamo raggruppare tutti i fattori $3$ in un unico prodotto:

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

Ma quanti fattori $3$ ci sono? Ce ne sono $2 + 4 = 6$ . Quindi il prodotto si può riscrivere come:

3^6

e l'esponente $6$ si ottiene proprio dalla somma degli esponenti $2$ e $4$ delle potenze iniziali.

Questa proprietà può essere generalizzata perché espandendo secondo la definizione, $a^m$ è il prodotto di $m$ fattori uguali ad $a$ e $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ . Mettendoli in fila si ottiene un unico prodotto di $m+n$ fattori uguali ad $a$ .

Definizione

Prodotto di potenze con la stessa base

Date due potenze con la stessa base $a$ e con esponenti naturali $m$ e $n$ , il loro prodotto è una potenza con la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Da questa proprietà deriva anche la convenzione che qualsiasi numero diverso da zero elevato a $0$ sia uguale a $1$ :

Definizione

Perché un numero diverso da zero elevato a 0 è 1

Riprendiamo il prodotto di potenze con la stessa base:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Se scegliamo $m\ge 1$ e poniamo $n=0$ , dalla proprietà segue:

a^m\cdot a^0=a^{m+0}=a^m

Ma questo risultato è possibile solo se poniamo $a^0=1$ (per $a\neq 0$ ), in accordo con la definizione adottata:

a^m \cdot a^0 = a^m \cdot 1 = a^m

Quoziente di potenze con la stessa base

Dividendo due potenze con uguale base otteniamo una potenza con la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti (quando la differenza è definita nell'ambito degli esponenti naturali).

Vediamo con un esempio pratico. Consideriamo la seguente divisione:

3^4 : 3^2

Abbiamo una divisione tra due potenze con la stessa base. Se espandiamo le potenze otteniamo:

(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) : (3 \cdot 3)

Sfruttando la proprietà invariantiva della divisione, possiamo riscrivere la divisione come:

\left[(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3)\right] : \left[1 \cdot (3 \cdot 3)\right]

Ossia, si tratta di dividere il prodotto di quattro fattori $3$ per il prodotto di due fattori $3$ . Possiamo quindi semplificare i due fattori $3$ al denominatore con due dei fattori $3$ al numeratore, ottenendo:

(3 \cdot 3) : 1 = 3 \cdot 3 = 3^2

Ma notiamo che l'esponente $2$ della potenza risultante si ottiene sottraendo gli esponenti $4$ e $2$ delle potenze iniziali.

Questa proprietà può essere generalizzata perché espandendo secondo la definizione, $a^m$ è il prodotto di $m$ fattori uguali ad $a$ e $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ . Dividendo i due prodotti, si possono semplificare $n$ fattori $a$ al numeratore con $n$ fattori $a$ al denominatore, ottenendo un unico prodotto di $m-n$ fattori uguali ad $a$ .

Definizione

Quoziente di potenze con la stessa base

Date due potenze con la stessa base $a$ e con esponenti naturali $m$ e $n$ , il loro quoziente è una potenza con la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:

\frac{a^m}{a^n}=a^{\,m-n}\qquad \text{(per $a\neq 0$ e $m\ge n$)}

Nell'applicare questa proprietà, occorre fare attenzione a due condizioni:

Nota

Condizioni sulla divisione

La base del denominatore non può essere zero. Inoltre, finché lavoriamo solo con esponenti naturali, richiediamo $m\ge n$ per evitare esponenti negativi (che appartengono a un'estensione successiva della teoria).

Quindi le condizioni da rispettare sono:

$a\neq 0$ (perché non si può dividere per zero);
$m\ge n$ (perché stiamo lavorando con esponenti naturali).

Un caso particolare di questa proprietà si ha quando $m=n$ .

Se $m=n$ allora

\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0=1\qquad (a\neq 0).

Potenza di una potenza

Elevare una potenza a un altro esponente significa moltiplicare gli esponenti.

Chiariamo con un esempio. Consideriamo la seguente potenza di una potenza:

\left(2^2\right)^3

Espandiamo la potenza esterna. Si tratta di moltiplicare tre volte il fattore $2^2$ :

(2^2) \cdot (2^2) \cdot (2^2)

Sfruttando la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base, possiamo sommare gli esponenti:

2 + 2 + 2 = 6 \Rightarrow 2^6

Ma notiamo che l'esponente $6$ della potenza risultante si ottiene moltiplicando gli esponenti $2$ e $3$ delle potenze iniziali.

Generalizzando, espandendo secondo la definizione, $a^m$ è il prodotto di $m$ fattori uguali ad $a$ . Elevando questa potenza a un esponente $n$ , si ottiene il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a^m$ . Sostituendo a ciascun fattore la sua espansione, si ottiene un unico prodotto di $m\cdot n$ fattori uguali ad $a$ .

Definizione

Potenza di una potenza

Data una potenza con base $a$ ed esponente naturale $m$ , elevata a un esponente naturale $n$ , si ottiene una potenza con la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:

\left(a^m\right)^n=a^{\,m\cdot n}\qquad \text{(per $a\neq 0$; $m,n\in\mathbb{N}$)}

Condizioni:

$a\neq 0$ ;
$m,n\in\mathbb{N}$ (perché stiamo lavorando con esponenti naturali).

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Se due potenze hanno lo stesso esponente, possiamo raccogliere le basi in un unico prodotto e mantenere l'esponente comune.

Chiariamo con un esempio. Consideriamo il seguente prodotto:

2^3 \cdot 5^3

Espandiamo ciascuna potenza:

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5)

Usando la proprietà commutativa della moltiplicazione, possiamo raggruppare i fattori per posizione:

(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)

Ossia, si tratta del prodotto di tre fattori uguali a $2 \cdot 5$ . Quindi possiamo riscrivere il prodotto come:

(2 \cdot 5)^3 = 10^3

Generalizzando, espandendo secondo la definizione, $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ e $b^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali a $b$ . Mettendoli in fila si ottiene un unico prodotto di $n$ fattori uguali a $a \cdot b$ .

Definizione

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Date due potenze con esponenti naturali uguali $n$ e con basi $a$ e $b$ , il loro prodotto è una potenza con come base il prodotto delle basi e come esponente l'esponente comune:

a^n\cdot b^n=(ab)^n\qquad \text{(per $n\in\mathbb{N}$)}

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Analogamente, se due potenze hanno lo stesso esponente e la divisione è possibile, possiamo dividere le basi e mantenere l'esponente.

Chiariamo con un esempio. Consideriamo il seguente quoziente:

{12^2} : {3^2}

Espandiamo ciascuna potenza:

\left(12 \cdot 12\right) : \left(3 \cdot 3\right)

Usando la proprietà invariantiva della divisione, possiamo riscrivere la divisione come:

\left[(12 : 3) \cdot (12 : 3)\right]

Ossia, si tratta del prodotto di due fattori uguali a $12 : 3$ . Quindi possiamo riscrivere il quoziente come:

(12 : 3)^2 = 4^2

Generalizzando, espandendo secondo la definizione, $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ e $b^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali a $b$ . Dividendo i due prodotti, si ottiene un unico prodotto di $n$ fattori uguali a $a : b$ .

Definizione

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Date due potenze con esponenti naturali uguali $n$ e con basi $a$ e $b$ , il loro quoziente è una potenza con come base il quoziente delle basi e come esponente l'esponente comune:

\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\qquad \text{(per $b\neq 0$, $n\in\mathbb{N}$)}

Condizioni:

$b\neq 0$ (perché non si può dividere per zero);
$n\in\mathbb{N}$ (perché stiamo lavorando con esponenti naturali).

Osservazioni importanti

Vediamo alcune osservazioni importanti sulle proprietà viste finora.

Consiglio

Perché $a^0=1$ e perché $0^0$ non si definisce?

Vogliamo che le proprietà restino vere per ogni esponente. In particolare, dalla regola del quoziente con la stessa base segue, per $a\neq 0$ , che

$\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0.$

Poiché dividere un numero per sé stesso dà $1$ , siamo costretti a definire $a^0=1$ (per $a\neq 0$ ).
Per $0^0$ emergono due convenzioni incompatibili:

estendendo $a^0=1$ verrebbe $0^0=1$ , mentre osservando che per $n>0$ si ha $0^n=0$ si sarebbe portati a porre $0^0=0$ . Non esiste una scelta universalmente soddisfacente, quindi è più prudente lasciare $0^0$ indefinito nell'aritmetica di base.

Nota

Non confondere somma (o differenza) con prodotto

Le cinque proprietà derivano dal fatto che una potenza rappresenta una moltiplicazione ripetuta. Non esiste una proprietà analoga per la somma o per la sottrazione di potenze con la stessa base. Per esempio,

2^4+2^3\neq 2^{4+3}.

Calcolando si ottiene $16+8=24$ mentre $2^{7}=128$ .

Consiglio

Verificare una proprietà delle potenze con l'espansione

Quando si ha un dubbio, conviene espandere le potenze come prodotti di fattori uguali e applicare le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione. Questo metodo rende trasparenti tutte le dimostrazioni viste sopra.

Tabella di riepilogo delle proprietà delle potenze con i numeri naturali

Riassumiamo le proprietà delle potenze con i numeri naturali in una tabella.

**Tabella 1:** Proprietà delle potenze con i numeri naturali.
Proprietà	A parole	In simboli	Esempio
Prodotto con stessa base	si sommano gli esponenti	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ , $a\neq 0$	$2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$
Quoziente con stessa base	si sottraggono gli esponenti	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ , $a\neq 0$ , $m\ge n$	$\dfrac{5^8}{5^2}=5^{6}$
Potenza di potenza	si moltiplicano gli esponenti	$(a^m)^n=a^{m n}$	$(3^2)^3=3^{6}$
Prodotto con stesso esponente	si moltiplicano le basi	$a^n\cdot b^n=(ab)^n$	$7^3\cdot 2^3=(14)^3$
Quoziente con stesso esponente	si dividono le basi	$\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ , $b\neq 0$	$\dfrac{12^2}{3^2}=(4)^2$

Esercizi

Vediamo qualche esercizio pratico.

$2^3\cdot 2^2$

Si tratta del prodotto di potenze con la stessa base. Si sommano gli esponenti:

$2^3\cdot 2^2=2^{3+2}=2^5=32$
$9^{13}:9^{11}$

Si tratta del quoziente di potenze con la stessa base. Si sottraggono gli esponenti:

$9^{13}:9^{11}=9^{13-11}=9^2=81$
$(2^2)^5$

Si tratta della potenza di una potenza. Si moltiplicano gli esponenti:

$(2^2)^5=2^{2\cdot 5}=2^{10}=1024$
$4^2\cdot 5^2$

Si tratta del prodotto di potenze con lo stesso esponente. Si moltiplicano le basi:

$4^2\cdot 5^2=(4\cdot 5)^2=20^2=400$
$8^5:8^3$

Si tratta del quoziente di potenze con lo stesso esponente. Si dividono le basi:

$8^5:8^3=\left(\frac{8}{8}\right)^3=1^3=1$
$\big[(3^2\cdot 3^4)^3:6^2\big]\cdot 3^4$

Per prima cosa, risolviamo il prodotto di potenze con la stessa base:

$3^2\cdot 3^4=3^{2+4}=3^6$

$\big[(3^6)^3:6^2\big]\cdot 3^4$

Poi, risolviamo la potenza di una potenza:

$(3^6)^3=3^{6\cdot 3}=3^{18}$

$\big[3^{18}:6^2\big]\cdot 3^4$

Adesso al quoziente della divisione abbiamo $6^2$ , che possiamo riscrivere come prodotto di potenze con lo stesso esponente:

$6^2=(3\cdot 2)^2=3^2\cdot 2^2$

$\big[3^{18}:(3^2\cdot 2^2)\big]\cdot 3^4$

Adesso possiamo semplificare il quoziente:

$\big[3^{18}:(3^2\cdot 2^2)\big]\cdot 3^4=\big[3^{16}:2^2\big]\cdot 3^4$

Dopo, risolviamo il prodotto di potenze con la stessa base:

$\big[3^{16}:2^2\big]\cdot 3^4=\big[3^{16+4}:2^2\big]=\big[3^{20}:2^2\big]$
$\dfrac{a^7\cdot b^3}{a^5\cdot b}$ (con $a,b\neq 0$ )

Si tratta del quoziente di prodotti di potenze. Si risolve il quoziente per ciascuna base:

$\dfrac{a^7\cdot b^3}{a^5\cdot b}=\dfrac{a^7}{a^5}\cdot \dfrac{b^3}{b}=a^{7-5}\cdot b^{3-1}=a^2\cdot b^2$

Vero o falso?

$2^5-2^5=2^{5-5}$

Falso. Non esiste una proprietà delle potenze che riguarda la sottrazione.
$a^2\cdot (b\cdot c)^2=(ab)^2\cdot c^2$

Vero. Si tratta del prodotto di potenze con lo stesso esponente. Quindi possiamo moltiplicare le basi e mantenere l'esponente. Inoltre possiamo usare la proprietà associativa della moltiplicazione per raggruppare le basi.
$(a^3)^2=a^3\cdot a^2$

Falso. Si tratta della potenza di una potenza. Quindi dobbiamo moltiplicare gli esponenti.

Conclusione

Le proprietà delle potenze sono strumenti potenti perché traducono prodotti e quozienti lunghi in regole sugli esponenti.

Tuttavia, bisogna ricordare i vincoli: basi non nulle nelle divisioni, esponenti naturali nelle regole presentate, e massima cautela con casi particolari come $0^0$ . Con pratica ed espansioni mirate, queste regole diventano meccanismi naturali di calcolo e semplificazione.