Introduzione alle Espressioni Matematiche

Concetti Chiave

Le espressioni numeriche sono scritture composte da numeri e operazioni che rappresentano calcoli con risultati ben determinati.
Per calcolare correttamente un'espressione numerica, è necessario seguire le regole di priorità delle operazioni: potenze, moltiplicazioni/divisioni (da sinistra a destra), addizioni/sottrazioni (da sinistra a destra).
Le parentesi possono essere utilizzate per modificare l'ordine delle operazioni in un'espressione.
È importante fare attenzione all'associazione delle potenze, poiché può portare a risultati diversi se non si specifica chiaramente l'ordine di calcolo.

Che cos'è un'espressione numerica

Una espressione numerica è una scrittura composta da numeri collegati fra loro da operazioni (eventualmente con parentesi) che rappresenta un calcolo con un risultato ben determinato solo se si rispettano regole condivise sull'ordine in cui eseguire le operazioni.

Definizione

Espressione numerica

Una scrittura come:

4\cdot 5 + 7

oppure

18:(2+1)

è detta espressione numerica.

Si tratta di una sequenza di numeri e operazioni che rappresenta un calcolo.

Per determinare correttamente il valore di un'espressione occorre rispettare le priorità operative: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono, infine addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono.

Per capire perché servono regole, si osservi che la stessa sequenza di simboli può dare risultati diversi se si eseguono le operazioni in un ordine sbagliato.

Per esempio, nell'espressione

2\cdot 3 + 8

se si calcolasse prima l'addizione si avrebbe $2\cdot 11 = 22$ , mentre rispettando la priorità (prima la moltiplicazione) si ottiene $6 + 8 = 14$ . Solo quest'ultimo è il valore corretto.

L'ordine delle operazioni (priorità)

Abbiamo detto che nel calcolo di un'espressione, per ottenere il risultato corretto, occorre rispettare delle regole sull'ordine in cui eseguire le operazioni. Queste regole sono dette priorità delle operazioni.

Partiamo dal primo caso semplice: un'espressione senza parentesi.

Definizione

Regola di priorità delle operazioni

Nelle espressioni senza parentesi, si procede così:

Potenze, nell'ordine in cui compaiono;
Moltiplicazioni e divisioni, nell'ordine in cui compaiono (da sinistra a destra);
Addizioni e sottrazioni, nell'ordine in cui compaiono (da sinistra a destra).

Adesso vediamo qualche esempio.

Esempio

Esempio 1

Si calcoli l'espressione

9^2 - 6^2 + 24:3 \cdot 2^3

Soluzione.

Applichiamo l'ordine delle operazioni mostrato prima:

Potenze:

Calcoliamo le potenze presenti:

$9^2=81$

$6^2=36$

$2^3=8$

Otteniamo:

$81 - 36 + 24:3 \cdot 8$
Moltiplicazioni/Divisioni da sinistra a destra:

Vi sono una divisione e una moltiplicazione. Andiamo per ordine: prima calcoliamo

$24:3 = 8$

Poi moltiplichiamo per $8$ , ossia calcoliamo

$8 \cdot 8 = 64$

Ora l'espressione è

$81 - 36 + 64$
Addizioni/Sottrazioni da sinistra a destra:

$81-36=45$

poi

$45+64=109$

Risultato: $109$ .

Nota

Attenzione all'associazione delle potenze

Alcune espressioni con potenze possono essere ambigue se non si usano parentesi.

Prendiamo l'esempio che segue:

2^{3^2}

In questo caso, purtroppo esistono due possibili interpretazioni:

Si tratta dell'espressione:

$2^{(3^2)}$

Ossia abbiamo associato la potenza a destra. In questo caso si calcola prima $3^2=9$ e poi $2^9=512$ .
Si tratta invece dell'espressione:

$(2^3)^2$

Ossia abbiamo associato la potenza a sinistra e abbiamo ottenuto una potenza di una potenza. In questo caso si calcola prima $2^3=8$ e poi $8^2=64$ .

Come si può vedere, a seconda dell'interpretazione si ottengono due risultati diversi: $512$ oppure $64$ .

Dal momento che non esiste una convenzione universale, per evitare ambiguità è sempre meglio usare le parentesi per specificare chiaramente l'ordine di calcolo in questi casi e indicare esplicitamente se si intende associare a destra o a sinistra.

Le parentesi e come cambiano le priorità

Le parentesi servono a modificare l'ordine naturale delle operazioni imponendo che alcune parti siano calcolate prima di altre.

Quando sono presenti le parentesi, si procede dall'interno verso l'esterno.

Ad esempio, nell'espressione:

18:(2+1)

si calcola prima $2+1=3$ e poi $18:3=6$ .

A volte le parentesi sono necessarie per evitare ambiguità, come nell'esempio con le potenze visto prima.

Inoltre, le parentesi possono essere innestate (cioè una dentro l'altra). In questo caso, si calcola prima il contenuto delle parentesi più interne, poi si procede verso l'esterno.

Ad esempio, nell'espressione:

18:(2\cdot(24:3 - 7))

si calcola prima $24:3=8$ , poi $8-7=1$ , quindi $2\cdot 1=2$ e infine $18:2=9$ .

Definizione

Parentesi

In un'espressione matematica, le parentesi servono a modificare l'ordine naturale delle operazioni.

L'ordine di calcolo con parentesi è:

Si calcola prima il contenuto delle parentesi più interne;
Poi si procede verso l'esterno.
Si rispettano comunque le regole di priorità viste sopra (poteri, moltiplicazioni/divisioni, addizioni/sottrazioni).

Quando le parentesi sono innestate, spesso può sorgere confusione su quale coppia di parentesi chiudere per prima. Per evitare questo problema, si usano diversi tipi di parentesi: tonde, quadre e graffe.

In generale, si adoperano tre tipi di parentesi, che si chiudono nell'ordine inverso a quello in cui si aprono:

prima parentesi tonde $( \cdots )$ ,
poi parentesi quadre $\left[ \cdots \right]$ ,
infine parentesi graffe $\{ \cdots \}$ .

Si usano questi tre tipi di parentesi per comodità grafica, per vedere a colpo d'occhio i livelli di annidamento.

Ad esempio, un'espressione complessa come la seguente:

\{\,25 - [\,15^2 - (20:2)^2 \cdot 2\,]\} \cdot 5

risulta più leggibile rispetto a:

(25 - (15^2 - (20:2)^2 \cdot 2)) \cdot 5

In ogni caso, nei testi avanzati di matematica si usano quasi sempre solo le tonde. Questo perché gli altri tipi di parentesi vengono adoperate per indicare entità matematiche diverse dalle espressioni, come intervalli di numeri, insiemi, vettori, ecc.

Consiglio

Tipi di parentesi: perché usarne di diverse

Usare tonde, quadre e graffe non cambia il valore matematico di per sé: è un accorgimento grafico utile per vedere a colpo d'occhio i livelli di annidamento. In molti contesti pratici (calcolatrici, fogli di calcolo, linguaggi di programmazione) si usano solo le tonde.

Esempio

Esempio 2

Si confrontino le due espressioni:

18 : \bigl(2\cdot(24:3 - 7)\bigr)

18 : \bigl(2\cdot(24:3) - 7\bigr)

Risolviamo la Prima espressione: $18 : \bigl(2\cdot(24:3 - 7)\bigr)$

Tonde interne: $24:3 = 8$ , poi $8 - 7 = 1$ .
Quello che rimane: $18 : (2\cdot 1) = 18:2 = 9$ .

Risolviamo la Seconda espressione $18 : \bigl(2\cdot(24:3) - 7\bigr)$

Tonde interne: $24:3=8$ .
Quadro complessivo: $2\cdot 8 - 7 = 16-7 = 9$ .
Divisione finale: $18:9 = 2$ .

Osservazione: cambiare la posizione delle parentesi può cambiare il risultato in modo drastico.

PEMDAS

Un modo molto semplice per ricordare l'ordine delle operazioni è l'acronimo PEMDAS.

Definizione

PEMDAS

L'ordine delle operazioni in un'espressione matematica è dato da:

P: Parentesi

Si calcola prima il contenuto delle parentesi più interne. Poi si procede verso l'esterno.
E: Esponenti (Potenze)

Si calcolano prima le potenze.
MD: Moltiplicazioni e Divisioni

Si eseguono nell'ordine in cui compaiono (da sinistra a destra).
AS: Addizioni e Sottrazioni

Si eseguono nell'ordine in cui compaiono (da sinistra a destra).

Semplificare un'espressione

Semplificare un'espressione significa riscriverla in una forma più semplice mantenendo lo stesso valore. Il processo tipico come abbiamo visto è:

Calcolare prima eventuali potenze.
Eseguire le moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono.
Eseguire addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono.
Se presenti parentesi, procedere dalle più interne alle più esterne, applicando ogni volta i punti 1–3.

Esempio

Esempio 3

Semplifica $5^3 + 3\cdot 4^2 - 6 + 36:3^2.$

Soluzione.

Questa espressione non ha parentesi, quindi procediamo con l'ordine delle operazioni:

Potenze: $5^3=125$ , $4^2=16$ , $3^2=9$ .

Diventa $125 + 3\cdot 16 - 6 + 36:9$ .
Moltiplicazioni/Divisioni: $3\cdot 16 = 48$ , $36:9=4$ .

Diventa $125 + 48 - 6 + 4$ .
Addizioni/Sottrazioni (da sinistra): $125+48=173$ , $173-6=167$ , $167+4=171$ .

Risultato: $171$ .

Esempio

Esempio 4

Semplifica $\{\,25 - [\,15^2 - (20:2)^2 \cdot 2\,]\} \cdot 5.$

Soluzione.

Questa espressione ha parentesi di tre tipi, quindi procediamo dall'interno verso l'esterno:

Tonde: $20:2=10$ , poi $(20:2)^2=10^2=100$ .
Quadre: $15^2=225$ , quindi $225 - 100\cdot 2 = 225 - 200 = 25$ .
Graffe: $25 - \left[ \cdots \right] = 25 - 25 = 0$ .
Prodotto finale: $0\cdot 5 = 0$ .

Osservazione: procedere con metodo evita errori anche quando il risultato sembra "sospetto" (come $0$ ).

Numeri e lettere: perché introdurre le variabili

Finora abbiamo lavorato con numeri. Ma molte proprietà e molti calcoli non riguardano singoli numeri, bensì tutti i numeri di una certa classe. Per esprimere affermazioni generali usiamo delle lettere che rappresentano numeri generici. In gergo matematico, queste lettere sono dette variabili.

Definizione

Variabile

Una variabile è una lettera (ad es. $x$ , $y$ , $a$ , $b$ ) che rappresenta un numero generico il cui valore può variare in un insieme prefissato (per es. l'insieme dei numeri naturali).

La stessa lettera indica sempre lo stesso numero all'interno della medesima espressione.

Un classico esempio di affermazione generale è la proprietà commutativa dell'addizione:

a + b = b + a

Questa scrittura non vale solo per $a=3$ e $b=7$ , ma per qualsiasi coppia di numeri naturali $a$ e $b$ .

Le espressioni letterali (con le lettere)

Con le variabili possiamo costruire espressioni letterali, per esempio:

2x - y + 3x^2

Il simbolo di moltiplicazione tra numero e variabile (o fra variabili) spesso si sottintende.

Ad esempio:

scriviamo $2x$ al posto di $2\cdot x$
$xy$ al posto di $x\cdot y$ .

Definizione

Espressione letterale

Una espressione letterale è una combinazione di numeri, variabili e operazioni.

Definizione

Valutare un'espressione letterale

Valutare un'espressione letterale significa assegnare valori numerici alle variabili e calcolare il risultato.

Esempio

Esempio 5

Considera l'espressione $2x - y + 3x^2.$

Senza valori assegnati è una scrittura generale.
Con valori assegnati, ad esempio $x=4$ e $y=9$ , diventa:

$2\cdot 4 - 9 + 3\cdot 4^2$

$= 8 - 9 + 3\cdot 16 = 8 - 9 + 48 = 47$

Nota: la lettera $x$ rappresenta sempre lo stesso numero $4$ in tutta l'espressione.

Esempio

Esempio 6

Valuta l'espressione:

3u + 2 - 3 + 2^u

per $u=1$ e per $u=3$ .

Se $u=1$ :

$3\cdot 1 + 2 - 3 + 2^1 = 3 + 2 - 3 + 2 = 4$
Se $u=3$ :

$3\cdot 3 + 2 - 3 + 2^3 = 9 + 2 - 3 + 8 = 16$

Osservazione: assegnare valori diversi alla variabile produce risultati diversi della stessa espressione.

Dalla lettura al simbolo: tradurre frasi in espressioni

Saper passare dal linguaggio naturale al linguaggio simbolico è fondamentale. Alcuni esempi:

Doppio di un numero $t$ :

$2t$
Successivo di $t$ :

$t + 1$
Somma del triplo di $p$ e del doppio della differenza tra $p$ e $q$ :

$3p + 2(p-q)$
Differenza fra il cubo di $c$ e il doppio di $b$ :

$c^3 - 2b$

Esempio

Esempio 7

Traduci e calcola per $m=5$ e $n=2$ la seguente frase:

Somma del doppio di $m$ e del quadrato della somma $m+n$

Traduzione:

$2m + (m+n)^2$
Calcolo: con $m=5$ , $n=2$ :

$2\cdot 5 + (5+2)^2 = 10 + 7^2 = 10 + 49 = 59$

Errori tipici e come evitarli

Nota

Non cambiare l'ordine di moltiplicazioni e divisioni a parità di livello

Quando in un'espressione compaiono solo moltiplicazioni e divisioni si procede da sinistra a destra. Per esempio

48:4\cdot 3

non è uguale a

48:(4\cdot 3)

Si calcola come

(48:4)\cdot 3=12\cdot 3=36

Nota

Occhio alle potenze su prodotti e somme

$ab^2$ significa $a\cdot (b^2)$ , non $(ab)^2$ . E $(x+y)^2 \neq x^2 + y^2$ (manca il termine $2xy$ ). È sempre consigliabile usare le parentesi per evitare fraintendimenti.

Consiglio

Verifiche rapide di esistenza e plausibilità del risultato

Se appare una divisione, bisogna chiedersi se il divisore può diventare $0$ (negli interi e reali la divisione per $0$ è impossibile).
Bisogna controllare che tutte le parentesi siano chiuse.
Nei calcoli lunghi, conviene sottolineare (o evidenziare) i risultati parziali di ciascun livello.

Esempi riassuntivi passo-passo

Esempio

Esempio 8 (con parentesi annidate)

Calcola $\{\,32 - [\,18 - (12:3)^2\,]\}: 2.$

Tonde: $12:3=4$ , poi $(12:3)^2 = 4^2=16$ .
Quadre: $18 - 16 = 2$ .
Graffe: $32 - 2 = 30$ .
Divisione finale: $30:2 = 15$ .

Risultato: $15$ .

Esempio

Esempio 9 (misto numerico-letterale)

Semplifica $k^2 - 2k + 1 + 3(k-1)$ e calcola per $k=7$ .

Semplificazione algebrica: $k^2 - 2k + 1 + 3k - 3 = k^2 + k - 2$ .
Valutazione: per $k=7$ , $7^2 + 7 - 2 = 49 + 5 = 54$ .

Risultato: $54$ .

Esempio

Esempio 10 (con potenze e priorità)

Calcola $4\cdot 3^2 + 50 : (5^2 - 3^2).$

Potenze: $3^2=9$ , $5^2=25$ , $3^2=9$ .
Denominatore tra parentesi: $25-9=16$ .
Moltiplicazioni/Divisioni: $4\cdot 9=36$ , $50:16 = \dfrac{25}{8}$ .
Somma finale: $36 + \dfrac{25}{8} = \dfrac{288}{8} + \dfrac{25}{8} = \dfrac{313}{8}$ .

Risultato: $\dfrac{313}{8}$ (oppure $39.125$ ).

Esempio

Esempio 11 (situazione concreta)

In un laboratorio, una scatola contiene $x$ bulloni e un'altra ne contiene $x+4$ . Un tecnico usa il triplo dei bulloni della seconda scatola e poi aggiunge il doppio dei bulloni della prima. Traduci in simboli e valuta per $x=6$ .

Traduzione: $3(x+4) + 2x$ . Valutazione: $3(6+4) + 2\cdot 6 = 3\cdot 10 + 12 = 30 + 12 = 42$ .

Risultato: $42$ bulloni utilizzati.

Riepilogo finale

Un'espressione numerica è una ricetta di calcolo che ha senso solo se si rispettano le priorità:

potenze → moltiplicazioni/divisioni → addizioni/sottrazioni, sempre da sinistra a destra per operazioni dello stesso livello.
Le parentesi cambiano l'ordine e si calcolano dall'interno verso l'esterno: tonde, poi quadre, poi graffe.
Con le lettere (variabili) esprimiamo proprietà generali e costruiamo espressioni letterali; assegnando valori alle variabili otteniamo risultati numerici.
Per evitare errori: usa parentesi per le potenze annidate, mantieni l'ordine da sinistra a destra per operazioni dello stesso livello, e verifica la plausibilità del risultato.

Le regole qui raccolte costituiscono la grammatica dei calcoli. Come ogni grammatica, una volta interiorizzata rende la lettura e la scrittura delle espressioni, numeriche o letterali che siano, precise, rapide ed eleganti. È possibile utilizzare definizioni, esempi e avvertenze come guida quando si affrontano nuove situazioni di calcolo o quando si traducono problemi reali in linguaggio matematico.