Sottrazione tra Numeri Interi
In questa lezione presentiamo la sottrazione nell'insieme degli interi, mettendo in luce il legame profondo con l'addizione e con il concetto di opposto. L'obiettivo è disporre di un'unica idea operativa semplice ed efficace, utile tanto nei calcoli con numeri positivi quanto con numeri negativi, con e senza parentesi.
- La sottrazione tra interi si riduce sempre a un'addizione:
. - Il segno meno può essere operatore di sottrazione o segno dell'opposto: bisogna distinguerli con attenzione.
- La proprietà invariantiva permette di aggiungere o sottrarre lo stesso numero a entrambi i termini senza modificare la differenza.
- La sottrazione è interna in
, non in . - Grazie alla riduzione ad addizione, si parla di somma algebrica: nei calcoli complessi bisogna applicare le regole dei segni, eliminare le parentesi e sommare.
Sottrazione tra numeri interi
Definizione di sottrazione fra interi
La differenza tra due numeri interi è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo. In simboli:
Questa definizione ci dice che ogni sottrazione può essere trasformata in un'addizione tra numeri interi.
Infatti, basta cambiare il segno al secondo termine e poi sommarlo al primo. Da qui in poi, molti calcoli si semplificano e le regole si unificano.
Ricordiamo che:
Opposto di un numero intero
Due numeri interi si dicono opposti se hanno stessa parte numerica ma segno contrario.
- L'opposto di
è ; - l'opposto di
è ; - l'opposto di
è ancora .
Lettura e notazione: il "doppio ruolo" del segno meno
Nelle espressioni con interi, il simbolo - può avere due significati:
- Operatore di sottrazione, come in
. - Segno dell'opposto, come in
che si legge "opposto di ", cioè .
Per evitare ambiguità, quando serve useremo le parentesi:
Attenzione ai due significati del segno meno
In un'uguaglianza come
Calcolare sottrazioni come somme
Applicando la definizione, ogni differenza si riduce a una somma algebrica:
Questa regola si applica sempre, anche quando il sottraendo è positivo o negativo. Inoltre si può estendere a espressioni più complesse.
Regola pratica per la sottrazione tra espressioni con numeri interi
Se si ha un'espressione del tipo:
allora si può riscrivere come:
In pratica:
- Si cambia il segno di tutti i termini in
. - Si somma il risultato a
.
Chiariamo con alcuni esempi.
Esempio 1
Calcoliamo l'espressione:
Applicando la regola:
In questo esempio, abbiamo cambiato il segno di tutti i termini nella seconda parentesi, trasformando la sottrazione in un'addizione.
Esempio 2
Calcoliamo l'espressione:
Applicando la regola:
Proprietà invariantiva della sottrazione
Anche la sottrazione tra numeri interi gode della proprietà invariantiva, così come la sottrazione tra numeri naturali.
Questa proprietà afferma che la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero a entrambi i termini.
Proprietà invariantiva della sottrazione tra numeri interi
La differenza non cambia se aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero a entrambi i termini:
Questa proprietà è utile per semplificare calcoli mentali o manipolare espressioni senza alterare il risultato.
Esempio 3: Uso della proprietà invariantiva
Calcoliamo
Aggiungendo
In questo modo, abbiamo trasformato la sottrazione in una più semplice da calcolare mentalmente.
Chiusura della sottrazione
Chiusura della sottrazione
La sottrazione è un'operazione interna all'insieme degli interi
Infatti, per ogni
Invece non è interna in
Da ciò segue che la sottrazione tra numeri interi è sempre possibile e il risultato è sempre un numero intero. Inoltre, è grazie a questa proprietà che possiamo dire che l'insieme degli interi è un'estensione dell'insieme dei numeri naturali, includendo anche i numeri negativi.
Dalla sottrazione alla somma algebrica
Una volta accettata la definizione
Somma algebrica
La somma algebrica è l'addizione di numeri interi, positivi o negativi. Qualsiasi differenza si traduce in somma algebrica cambiando di segno il sottraendo.
Regole operative pratiche
- Per calcolare
, si sostituisce con e si somma. - Se una parentesi è preceduta dal segno meno, si cambia il segno di tutti i termini all'interno e si toglie la parentesi.
- Se una parentesi è preceduta dal segno più, si toglie la parentesi senza cambiare i segni.
- Ricordarsi che:
e .
Esempi numerici
Esempio 4 – Togliere le parentesi del sottraendo
Semplificare
Esempio 5 – Somma algebrica con più termini
Semplificare
Esempio 6 – Sequenza di trasformazioni
Semplificare
Espressioni con parentesi: procedura sistematica
Quando compaiono più parentesi e segni, conviene seguire un ordine di lavoro:
- Trasformare tutte le sottrazioni in addizioni dell'opposto.
- Eliminare le parentesi, applicando correttamente i segni davanti.
- Ridurre la somma algebrica raggruppando positivi e negativi.
- Controllare con la proprietà invariantiva, se utile, per semplificare ancora.
Esempio 7 – Espressione con più parentesi
Semplificare
Soluzione guidata.
-
Per prima cosa, calcoliamo le somme algebriche all'interno delle parentesi più interne.
-
Se i valori all'interno delle parentesi sono preceduti da un segno meno, cambiamo il segno di tutti i termini all'interno e togliamo la parentesi.
-
Ripetiamo il procedimento per le parentesi rimanenti.
-
Ora sommiamo algebricamente i termini: