Moltiplicazione tra Numeri Interi

Concetti Chiave

La moltiplicazione tra interi è un'operazione interna: il prodotto di due interi è sempre un intero.
La regola dei segni stabilisce il segno del prodotto in base ai segni dei fattori.
La moltiplicazione gode delle proprietà: commutativa, associativa, distributiva rispetto all'addizione; ha elemento neutro $+1$ e vale la legge di annullamento del prodotto.
La regola dei segni può essere giustificata con un ragionamento algebrico.

La moltiplicazione tra Numeri Interi

Definizione

Prodotto di due numeri interi

Il prodotto di due numeri interi $a$ e $b$ è quel numero intero che:

ha per valore assoluto $|a\cdot b| = |a|\cdot|b|$ ;
ha segno positivo se i fattori hanno lo stesso segno e negativo se hanno segni diversi;
vale $0$ se almeno uno dei fattori è $0$ .

In $\mathbb{Z}$ la moltiplicazione è un'operazione interna, ossi l'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione.

La moltiplicazione, inoltre, eredita le proprietà: commutativa, associativa, distributiva rispetto all'addizione; ha elemento neutro $+1$ e vale la legge di annullamento del prodotto ( $0$ "azzera" il prodotto).

La Regola dei segni

Nella moltiplicazione tra due numeri interi, il segno del prodotto dipende dai segni dei fattori. Tale regola si chiama regola dei segni e può essere riassunta così:

$(+)\cdot(+) = +$
$(+)\cdot(-) = -$
$(-)\cdot(+) = -$
$(-)\cdot(-) = +$

Chiariamo con qualche esempio.

Esempio

Esempio 1: Interi concordi e discordi

$(-4)\cdot(-5) = +20$ (fattori concordi, prodotto positivo).
$(+7)\cdot(+3) = +21$ (fattori concordi, prodotto positivo).
$(-6)\cdot(+2) = -12$ (fattori discordi, prodotto negativo).
$(+9)\cdot(-4) = -36$ (fattori discordi, prodotto negativo).
$0\cdot(-13) = 0$ e $(+25)\cdot 0 = 0$ (presenza di un fattore nullo).

Consiglio

Scrittura senza il simbolo di moltiplicazione

Per comodità si può omettere il punto quando si indica una moltiplicazione. Ad esempio:

(-3)\cdot(+7)

si può scrivere come

(-3)(+7)

In questo caso, per evitare ambiguità, bisogna sempre usare le parentesi attorno ai fattori. In caso contrario, si rischia di confondere la moltiplicazione con l'addizione algebrica. Ad esempio, $-3+7$ non è lo stesso di $(-3)(+7)$ .

Moltiplicazione tra più fattori

Quando si moltiplicano più di due fattori non nulli, il segno del prodotto dipende dal numero di fattori negativi. In particolare:

se il numero di fattori negativi è pari, il prodotto è positivo;
se il numero di fattori negativi è dispari, il prodotto è negativo.

Esempio

Esempio 2: Moltiplicazione tra più fattori

$(-3)\cdot(+2)\cdot(-1) = (+6)$ : due fattori negativi $\Rightarrow$ segno positivo.
$(-2)\cdot(-3)\cdot(-1) = (-6)$ : tre fattori negativi $\Rightarrow$ segno negativo.
$(-3)\cdot(+5)\cdot(+2)\cdot(-1) = (+30)$ : due fattori negativi $\Rightarrow$ segno positivo.

Proprietà della moltiplicazione tra interi

In $\mathbb{Z}$ la moltiplicazione gode delle seguenti proprietà:

Commutativa:

$a\cdot b = b\cdot a$
Associativa:

$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$
Distributiva rispetto all'addizione:

$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
Elemento neutro:

$a\cdot 1 = 1\cdot a = a$
Annullamento:

$a\cdot 0 = 0\cdot a = 0$

Queste proprietà sono analoghe a quelle della moltiplicazione tra numeri naturali e possono essere usate per semplificare i calcoli.

Esempio

Esempio 3: Uso della proprietà distributiva

Calcolare

(-8)\cdot(12+3)

Applicando la proprietà distributiva, otteniamo:

(-8)\cdot 12 + (-8)\cdot 3 = -96 - 24 = -120

Origine della Regola dei segni

Prima, abbiamo enunciato la regola dei segni senza giustificarla.

Proviamo, ora, a capire da dove essa derivi. Per farlo, consideriamo tre casi distinti.

Caso 1: Prodotto di un numero positivo per un altro numero positivo, $(+)\cdot(+) = +$ .

Questo caso è banale, perché è già noto da $\mathbb{N}$ che il prodotto di due numeri naturali è un numero naturale positivo. Non abbiamo bisogno di ulteriori giustificazioni.
Caso 2: Prodotto di un numero negativo per un numero positivo, $(+)\cdot(-) = -$ oppure $(-)\cdot(+) = -$ .

Per comprendere questo caso, ricordiamoci intuitivamente che un prodotto tra due numeri può essere visto come una somma ripetuta.

Ad esempio, $3\cdot 4$ può essere interpretato come la somma di tre addendi uguali a $4$ , cioè $4+4+4=12$ .

Motivo per cui, se consideriamo $3 \cdot (-4)$ , possiamo interpretarlo come la somma di tre addendi uguali a $-4$ , cioè:

$(-4) + (-4) + (-4) = -12$

Come si può vedere, il prodotto di un numero positivo per un numero negativo è un numero negativo.

Tale ragionamento può essere applicato a qualsiasi coppia di numeri interi discordi, confermando che il prodotto è sempre negativo.
Caso 3: Prodotto di un numero negativo per un numero negativo, $(-)\cdot(-) = +$ .

Questo è il caso più interessante.

Purtroppo, in questo caso non possiamo usare la somma ripetuta, perché non ha senso sommare un numero negativo un numero negativo di volte. Non possiamo, quindi, affidarci all'analogia con i numeri naturali. Dobbiamo usare un approccio algebrico.

Cosa vuol dire? Significa che se consideriamo l'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ come estensione dell'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ , allora le proprietà che valgono in $\mathbb{N}$ devono valere anche in $\mathbb{Z}$ .

Per cui, consideriamo questo prodotto:

$(-5) \cdot 0$

Affinché il prodotto sia definito, deve valere la proprietà di annullamento del prodotto, ossia:

$(-5) \cdot 0 = 0$

Quindi il prodotto di $-5$ per $0$ deve essere uguale a $0$ .

Il fattore $0$ , però, può essere scritto, ad esempio, come la somma di due numeri opposti:

$0 = (+3) + (-3)$

Per cui, possiamo riscrivere il prodotto come:

$(-5) \cdot [ (+3) + (-3) ] = 0$

A questo punto, possiamo applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

$(-5) \cdot (+3) + (-5) \cdot (-3) = 0$

Abbiamo la somma di due prodotti. Il primo prodotto sappiamo già calcolarlo, perché è il prodotto di un numero negativo per un numero positivo (caso 2):

$(-5) \cdot (+3) = -15$

Per cui, possiamo riscrivere l'equazione come:

$-15 + (-5) \cdot (-3) = 0$

Il secondo prodotto è quello che non sappiamo calcolare. Tuttavia, osservando bene, vediamo che, affinché la somma sia uguale a $0$ , il secondo prodotto deve essere uguale all'opposto di $-15$ , ossia $+15$ .

Se così non fosse, tutte le proprietà usate sopra sarebbero violate.

Quindi, abbiamo dimostrato che:

$(-5) \cdot (-3) = +15$

Questo ragionamento può essere applicato a qualsiasi coppia di numeri interi negativi, confermando che il prodotto è sempre positivo.