Divisione tra Numeri Interi

Concetti Chiave

La divisione tra interi non è sempre un'operazione interna: il quoziente di due interi non è sempre un intero.
La regola dei segni stabilisce il segno del quoziente in base ai segni del dividendo e del divisore.
La divisione gode delle proprietà: invariantiva e distributiva a destra rispetto all'addizione; ha elemento neutro $1$ .
La divisione per $0$ non è definita e la divisione $0:0$ è indeterminata.

La Divisione tra Numeri Interi

Rispetto alla moltiplicazione, la divisione tra numeri interi richiede più attenzione perché non sempre esiste un quoziente intero. Vediamo come funziona.

Per prima cosa, diamo la definizione di quoziente tra numeri interi.

Definizione

Quoziente tra Numeri Interi

Dati due interi $a$ e $b$ con $b\neq 0$ , se $|a|$ è multiplo di $|b|$ , allora esiste in $\mathbb{Z}$ un intero $q$ detto quoziente tale che $a = b\cdot q$ e si scrive $a:b = q$ .

In tal caso si dice che $a$ è divisibile per $b$ . Inoltre, $q$ deve possedere le seguenti proprietà:

il valore assoluto di $q$ vale $|a:b| = |a|:|b|$ :

$|q| = |a:b| = |a|:|b|$
$q$ ha segno positivo se $a$ e $b$ hanno lo stesso segno, negativo altrimenti.

Se $a=0$ e $b\neq 0$ , allora $0:b = 0$ .

La divisione per $0$ non è definita.

La divisione $0:0$ è indeterminata.

Nota

La divisione non è sempre possibile in $\mathbb{Z}$

A differenza della moltiplicazione, la divisione non è un'operazione interna in $\mathbb{Z}$ . In altre parole, il quoziente di due numeri interi non è sempre un numero intero.

Per esempio, $(-20):(+3)$ non è un intero, quindi non appartiene a $\mathbb{Z}$ . La divisione $a:b$ esiste in $\mathbb{Z}$ solo quando $a$ è multiplo di $b$ (a parte il caso $a=0$ ).

Dalla definizione di quoziente tra numeri interi vediamo come anche la divisione eredita la regola dei segni già vista per la moltiplicazione:

$(+):(+)=+$ ;
$(-):(-)=+$ ;
$(+):(-)=-$ ;
$(-):(+)=-$ .

Vediamo qualche esempio.

Esempio

Esempio 1: Divisioni tra numeri interi

$(-48):(+6) = -8$ (segni discordi, quoziente negativo).
$(+72):(-9) = -8$ (segni discordi, quoziente negativo).
$(+36):(+4) = +9$ (segni concordi, quoziente positivo).
$0:(-5) = 0$ (dividere lo zero per un non nullo dà zero).
$(-45):(-5) = +9$ (segni concordi, quoziente positivo).

Proprietà della divisione (quando è definita)

La divisione tra numeri interi, quando è definita, gode delle seguenti proprietà:

Proprietà Invariantiva:

Il quoziente non cambia rispetto a un fattore comune:

se $c\neq 0$ e $a:b$ esiste, allora

$a : b = (a:c) : (b:c)$
Proprietà Distributiva a destra rispetto all'addizione:

quando $a:b$ e $c:b$ esistono, allora

$(a+c):b = a:b + c:b$

Analogamente al caso dei numeri naturali, la divisione non gode della proprietà distributiva a sinistra, ossia in generale:

a:(b+c) \neq a:b + a:c

Nota

Casi particolari della divisione tra numeri interi

Per ogni intero $a \in \mathbb{Z}$ valgono le seguenti regole:

$a:1=a$ ;
$a:a=1$ (con $a\neq 0$ );
$0:a=0$ (con $a\neq 0$ );
$a:0$ è impossibile;
$0:0$ è indeterminata.

Esempi

Esempio

Esempio 2: Proprietà Invariativa

Verifichiamo che

(-84):12 = (-84:6):(12:6)

Calcoliamo dapprima il primo quoziente:

(-84):12 = -7

Il quoziente esiste perché $84$ è multiplo di $12$ ed ha segno negativo perché i due numeri hanno segno discorde.

Ora calcoliamo il secondo quoziente, calcolando prima i due quozienti parziali:

(-84:6) = -14

(12:6) = 2

Quindi

(-84:6):(12:6) = (-14):2 = -7

Entrambi i quozienti danno lo stesso risultato, come previsto dalla proprietà invariantiva.

Esempio

Esempio 3: Proprietà Distributiva a destra

Calcoliamo la seguente divisione:

(18+12):(-6)

Prima calcoliamo la divisione senza applicare la proprietà distributiva. Quindi sommiamo i numeri al dividendo e poi dividiamo:

(18+12):(-6) = 30:(-6) = -5

Ora applichiamo la proprietà distributiva a destra:

(18+12):(-6) = 18:(-6) + 12:(-6)

Calcoliamo i due quozienti parziali:

18:(-6) = -3

12:(-6) = -2

Quindi

18:(-6) + 12:(-6) = -3 + (-2) = -5

Anche in questo caso otteniamo lo stesso risultato, come previsto dalla proprietà distributiva a destra.

Si noti che la stessa proprietà non vale a sinistra. Ad esempio:

30:(3+2) \neq 30:3+30:2

Infatti, il primo quoziente dà:

30:(3+2) = 30:5 = 6

Mentre il secondo quoziente dà:

30:3+30:2 = 10 + 15 = 25

Esempio

Esempio 4: Semplificazione di un'espressione mista

Semplifichiamo l'espressione:

[( -1)\cdot(+6) - (-14) + (-11)\cdot(+4)] : [(+12):(-3)] - [(-4)\cdot(-36) - 24] : (-15)

Svolgimento:

Calcoliamo i valori all'interno delle parentesi quadre:
- Primo gruppo:
  
  $(-1)\cdot(+6) = -6$
  
  $(-11)\cdot(+4) = -44$
  
  Quindi:
  
  $(-6) - (-14) + (-44) = -6 + 14 - 44 = -36$
- Secondo gruppo:
  
  $(+12):(-3) = -4$
- Terzo gruppo:
  
  $(-4)\cdot(-36) = +144$
  
  Quindi:
  
  $144 - 24 = 120$
Ora sostituiamo i risultati nell'espressione originale:

$(-36) : (-4) - 120 : (-15)$
Calcoliamo i due quozienti:

$(-36) : (-4) = +9$

$120 : (-15) = -8$
Infine, sommiamo i risultati:

$9 - (-8) = 9 + 8 = 17$

Risultato: $17$ .

Esempio

Esempio 5: Determinare prima il segno e poi calcolare

Determiniamo prima il segno e poi calcoliamo le seguenti divisioni:

$(+96):(-12)$

Si tratta di una divisione tra numeri di segno discorde, quindi il quoziente sarà negativo.

Ora calcoliamo il valore assoluto:

$|96| : |12| = 96 : 12 = 8$

Quindi:

$(+96):(-12) = -8$
$(-90):( +15)$

Si tratta di una divisione tra numeri di segno discorde, quindi il quoziente sarà negativo.

Ora calcoliamo il valore assoluto:

$|90| : |15| = 90 : 15 = 6$

Quindi:

$(-90):( +15) = -6$
$0:(-11)$

La divisione di zero per un numero diverso da zero è sempre zero:

$0:(-11) = 0$