Potenza di un Numero Intero elevato a un Esponente Naturale

Concetti Chiave

Le potenze con base intera ed esponente naturale estendono il concetto di potenza ai numeri negativi.
Il segno della potenza dipende dalla parità dell'esponente e dal segno della base.
La potenza ha precedenza rispetto al segno "meno" scritto davanti, a meno che non ci siano parentesi.
Le proprietà delle potenze con base intera ed esponente naturale sono analoghe a quelle con base nei numeri naturali.

Potenze con base intera e esponente naturale

Abbiamo visto nella lezione sulle Potenze con i Numeri Naturali che una potenza è un prodotto di fattori tutti uguali. In altre parole, la potenza $a^n$ è il risultato di moltiplicare la base $a$ per sé stessa $n$ volte:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{$n$ volte}}, \quad \text{con } a \in \mathbb{N},\ n \in \mathbb{N},\ n&gt;1.

In quel caso abbiamo considerato come basi solo numeri naturali (cioè interi non negativi). Ora estendiamo il concetto a tutte le basi intere, cioè anche ai numeri negativi.

Diamo prima la definizione generale, poi analizzeremo i dettagli.

Definizione

Potenza di un numero intero con esponente naturale

La potenza $a^n$ , con $a \in \mathbb{Z}$ e $n \in \mathbb{N}$ , è il numero intero con le seguenti proprietà:

Il suo valore assoluto coincide con la potenza del valore assoluto, cioè:

$|a^n| = |a|^n$
Il suo segno dipende dalla parità dell'esponente e dal segno della base:
- Se $a>0$ , allora $a^n>0$ per ogni $n$ . Ossia, se la base è positiva, la potenza è sempre positiva.
- Se $a<0$ e $n$ è pari, allora $a^n>0$ . Ossia, se la base è negativa e l'esponente è pari, la potenza è positiva.
- Se $a<0$ e $n$ è dispari, allora $a^n<0$ . Ossia, se la base è negativa e l'esponente è dispari, la potenza è negativa.

Inoltre, si fissano i seguenti casi particolari:

$a^1 = a$ per ogni $a \in \mathbb{Z}$ ; Ossia, elevare a 1 restituisce la base;
se $a \neq 0$ , allora $a^0 = 1$ ; Ossia, elevare a 0 restituisce 1 (l'elemento neutro della moltiplicazione);

Come si può vedere dalla definizione, se la base è un numero positivo, il calcolo della potenza non cambia rispetto al caso dei numeri naturali. Le novità emergono quando la base è negativa.

Vediamo qualche esempio:

2 ^ 3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

In questo caso la base è positiva, quindi la potenza è positiva.

Consideriamo, invece, questo esempio:

(-2) ^ 3

Applichiamo la definizione:

Il valore assoluto del risultato è pari al valore assoluto della base elevato all'esponente:

$|(-2)^3| = |-2|^3 = 2^3 = 8.$
Poiché la base è negativa e l'esponente è dispari, il risultato è negativo:

$(-2)^3 < 0.$

Quindi, combinando le due informazioni, otteniamo:

(-2)^3 = -8.

Ma perché il risultato è negativo?

Questa regola deriva direttamente dalla regola dei segni che abbiamo visto per la moltiplicazione tra numeri interi.

Ora, se consideriamo la potenza $(-2)^3$ come il prodotto di tre fattori tutti uguali a $-2$ , otteniamo:

(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2).

Applichiamo la regola dei segni:

Il prodotto dei primi due fattori $(-2) \cdot (-2)$ è positivo, perché il prodotto di due numeri negativi è positivo:

$(-2) \cdot (-2) = +4.$
Ora moltiplichiamo questo risultato positivo per il terzo fattore negativo $(-2)$ :

$(+4) \cdot (-2) = -8.$

Quindi, il risultato finale è $-8$ .

Se l'esponente fosse stato pari, ad esempio $(-2)^4$ , avremmo avuto:

(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2).

Applicando la regola dei segni:

Il prodotto dei primi due fattori $(-2) \cdot (-2)$ è positivo:

$(-2) \cdot (-2) = +4.$
Il prodotto dei successivi due fattori $(-2) \cdot (-2)$ è anch'esso positivo:

$(-2) \cdot (-2) = +4.$
Ora moltiplichiamo i due risultati positivi:

$(+4) \cdot (+4) = +16.$

Quindi, il risultato finale è $+16$ .

Nota

E le potenze con esponente negativo?

Se osserviamo bene la definizione di potenze con i numeri interi, notiamo che ci siamo limitati agli esponenti naturali (cioè $n \in \mathbb{N}$ , incluso lo zero).

Questo perché le potenze con esponente negativo (cioè $a^{-n}$ ) richiedono una definizione più avanzata che coinvolge i numeri razionali $\mathbb{Q}$ e la nozione di inverso moltiplicativo. Quindi rimandiamo questo argomento alle prossime lezioni.

Precedenza tra segni e potenze: il ruolo delle parentesi

La potenza ha precedenza rispetto al segno "meno" scritto davanti.

Questo significa che, se mancano le parentesi, il segno "meno" non fa parte della base ma si applica dopo aver calcolato la potenza del valore assoluto.

$-3^2$ significa $-(3^2) = -9$ ;
$(-3)^2$ significa "base negativa elevata a $2$ " e vale $+9$ .

Nota

Attenzione a $-a^2$ contro $(-a)^2$

Scrivere $-a^2$ equivale a $-(a^2)$ : il segno meno non è parte della base.

Scrivere $(-a)^2$ significa che la base è negativa e viene elevata alla seconda potenza.

I due risultati in generale possono avere segni diversi.

Esempio

Esempio: Precedenza operativa

Sappiamo che una certa grandezza $x$ vale $-5$ .

Confrontiamo le seguenti due espressioni:

$-x^2 = -( (-5)^2 ) = -25$ ;
$(-x)^2 = (-(-5))^2 = (+5)^2 = 25$ .

La prima è negativa perché il meno è "esterno"; la seconda è positiva perché l'esponente è pari.

Casi particolari

Di seguito sono elencati i casi particolari delle potenze con base intera ed esponente naturale:

$a^1 = a$ per ogni intero $a$ .
Se $a \neq 0$ , allora $a^0 = 1$ .
$0^n = 0$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ con $n \neq 0$ .
$0^0$ non è definita: non si assegna alcun valore in aritmetica elementare.

Consiglio

Come ricordare i casi con lo zero

Si pensi a quante volte si moltiplica la base: moltiplicare "zero volte" una base non nulla ( $a^0$ con $a\neq0$ ) restituisce l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè $1$ .

Viceversa, se la base è $0$ e si moltiplica almeno una volta ( $0^n$ con $n\ge1$ ), il risultato rimane $0$ .

Proprietà delle potenze con base intera

Le stesse proprietà già studiate in $\mathbb{N}$ continuano a valere quando la base è un numero intero:

Prodotto di potenze con la stessa base:

Per $a \in \mathbb{Z}$ e $m,n \in \mathbb{N}$ :

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Quoziente di potenze con la stessa base

Per $a \in \mathbb{Z}\setminus{0}$ e $m,n \in \mathbb{N}$ con $m \ge n$ :

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{\,m-n}$
Potenza di una potenza

Per $a \in \mathbb{Z}$ e $m,n \in \mathbb{N}$ :

$\left(a^m\right)^n = a^{\,m\cdot n}$
Potenza di un prodotto

Per $a,b \in \mathbb{Z}$ e $n \in \mathbb{N}$ :

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$
Potenza di un quoziente

Per $a \in \mathbb{Z}$ , $b \in \mathbb{Z}\setminus{0}$ e $n \in \mathbb{N}$ :

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Esempi svolti

Vediamo qualche esempio.

Esempio

Esempio 2: Applicazione diretta delle proprietà

$(-3)^2 \cdot (-3)^5$

$= (-3)^{2+5} = (-3)^7 = -2187$
$(-8)^9 : (-8)^6$

$= (-8)^{9-6} = (-8)^3 = -512$
$\big[(-2)^4\big]^3$

$\qquad = (-2)^{4\cdot 3} = (-2)^{12} = 4096$

Esempio

Esempio 3: Espressione più articolata

Semplifichiamo la seguente espressione:

\left(\left\{(-9)^3 \cdot \left[(-9)^2\right]^2\right\}:\left\{(-9)^5\right\}\right) \cdot \left\{(-3)^5 : \left[(-3)^2\right]^2\right\}

Svolgimento.

Consideriamo prima il gruppo di parentesi prima dell'operazione di prodotto a sinistra:

$\left(\left\{(-9)^3 \cdot \left[(-9)^2\right]^2\right\}:\left\{(-9)^5\right\}\right)$

Qui possiamo applicare le proprietà delle potenze. Prima alla potenza di una potenza:

$\left(\left\{(-9)^3 \cdot \left(-9\right)^{2\cdot 2}\right\}:\left\{(-9)^5\right\}\right)$

Poi al prodotto di potenze con la stessa base:

$\left(\left\{(-9)^{3+4}\right\}:\left\{(-9)^5\right\}\right)$

Infine al quoziente di potenze con la stessa base:

$= (-9)^{7-5} = (-9)^2$
Ora consideriamo il secondo gruppo di parentesi a destra:

$\left\{(-3)^5 : \left[(-3)^2\right]^2\right\}$

Applichiamo prima la potenza di una potenza:

$\left\{(-3)^5 : (-3)^{2\cdot 2}\right\}$

Poi il quoziente di potenze con la stessa base:

$= (-3)^{5-4} = (-3)^1 = -3$
Ora possiamo moltiplicare i due risultati ottenuti:

$(-9)^2 \cdot (-3)$

Ma possiamo riscrivere $(-9)$ come $-(3^2)$ :

$= \left[-(3^2)\right]^2 \cdot (-3)$

$= (3^4) \cdot (-3)$

$= (-3)^5 = -243$

Alcune osservazioni:

Quando abbiamo riscritto $(-(3^2))^2$ come $(3^4)$ , abbiamo applicato la regola del segno: la potenza di una base negativa con esponente pari è positiva. Quindi la presenza del segno meno esterno non influisce sul risultato finale e lo abbiamo rimosso.
Infine, abbiamo moltiplicato $3^4$ per $-3$ e abbiamo spostato il segno meno davanti alla potenza, ottenendo $-3^5$ .