Le Leggi di Monotonia e Cancellazione

Dalle proprietà delle operazioni algebriche e dall'ordine totale sui numeri interi discendono le leggi di monotonia e le leggi di cancellazione.

Queste leggi sono fondamentali per la risoluzione di equazioni e disequazioni che studieremo nelle prossime lezioni.

Concetti Chiave

Le leggi di monotonia descrivono che cosa possiamo aggiungere a entrambi i membri di un'uguaglianza o di una disuguaglianza senza alterarne la verità.
Le leggi di cancellazione descrivono che cosa possiamo togliere a entrambi i membri di un'uguaglianza o di una disuguaglianza senza alterarne la verità.
Nelle leggi di monotonia e di cancellazione per le disuguaglianze il segno del numero con cui moltiplichiamo o dividiamo conta e può modificare il verso della disuguaglianza.
Tali leggi sono alla base della risoluzione di equazioni e disequazioni.

Prima legge di monotonia

La prima legge di monotonia riguarda l'addizione algebrica, quindi sia l'addizione tra numeri interi che la sottrazione.

Definizione

Prima legge di monotonia

Se $a$ e $b$ sono numeri interi e $c$ è un numero intero qualunque, allora:

Se $a=b$ allora vale che:

$a+c=b+c$

Ossia, aggiungendo la stessa quantità a entrambi i membri, l'uguaglianza resta vera.
Se $a<b$ allora vale che:

$a+c<b+c.$

Ossia, aggiungendo la stessa quantità a entrambi i membri, la disuguaglianza resta vera.

Ciò vale anche per le disuguaglianze $a\le b$ , $a>b$ e $a\ge b$ .

L'idea è che traslare entrambi i membri della stessa quantità non altera la loro distanza né l'ordine tra di essi.

Esempio

Esempio 1

Partiamo dalla disuguaglianza $-2<5$ . Se sommiamo $4$ a entrambi i membri otteniamo

-2+4&lt;5+4,

cioè $2<9$ , che è vera. La disuguaglianza è rimasta vera perché abbiamo aggiunto lo stesso numero ai due membri.

Consiglio

Suggerimento operativo per l'addizione

Quando si aggiunge (o toglie) qualcosa a entrambi i membri, conviene sempre scrivere la trasformazione su una riga sola usando le parentesi se ci sono espressioni.

Ad esempio prendiamo l'espressione:

x + 3 &lt; y + 4

Supponiamo che vogliamo sottrarre $3$ da entrambi i membri. Scriviamo:

(x + 3) - 3 &lt; (y + 4) - 3

In questo modo è chiaro che stiamo sottraendo $3$ a tutto il membro di sinistra e a tutto il membro di destra. Agendo così, evitiamo errori di calcolo o di distrazione.

Seconda legge di monotonia per le uguaglianze

La seconda legge di monotonia riguarda la moltiplicazione. Dobbiamo, però, distinguere tra uguaglianze e disuguaglianze. Iniziamo dal caso più semplice, quello delle uguaglianze.

Definizione

Seconda legge di monotonia per le uguaglianze

Se $a=b$ e $c\ne 0$ , allora vale

a\cdot c=b\cdot c.

Ossia, moltiplicando entrambi i membri di un'uguaglianza per lo stesso numero diverso da zero, l'uguaglianza resta vera.

La condizione $c\ne 0$ è indispensabile: moltiplicare per $0$ annulla entrambi i membri e perde informazione.

Esempio

Esempio 2

Nell'uguaglianza $8=3+5$ moltiplichiamo entrambi i membri per $-3$ :

8\cdot(-3)=(3+5)\cdot(-3).

Otteniamo $-24=-24$ , quindi l'uguaglianza resta vera. Il fattore è lo stesso a sinistra e a destra e non è zero.

Lo zero e la monotonia

Lo $0$ è un numero particolare rispetto alle leggi di monotonia:

È neutro per l'addizione: aggiungere $0$ non cambia nulla, quindi per la prima legge non ci sono problemi.
È assorbente per la moltiplicazione: moltiplicando per $0$ si ottiene sempre $0$ .

Nota

Attenzione: perché escludiamo $c=0$ ?

Se moltiplichiamo per $0$ rischiamo di trasformare una relazione falsa in una vera, perdendo ogni informazione sull'affermazione di partenza.

Per esempio, $2+7=20$ è falsa, ma

(2+7)\cdot 0=20\cdot 0

diventa $0=0$ , che è vera.

Per questo nella seconda legge (uguaglianze) si richiede sempre $c\ne 0$ .

Seconda legge di monotonia per le disuguaglianze

Quando si tratta di disuguaglianze, il segno del fattore con cui moltiplichiamo conta e modifica il verso della disuguaglianza.

Definizione

Seconda legge di monotonia per le disuguaglianze (moltiplicazione)

Siano $a$ e $b$ due numeri interi, $a, b\in\mathbb{Z}$ .

Sia $c\in\mathbb{Z}$ un numero intero diverso da zero.

Se $a < b$ , allora:

Se $c>0$ , vale che:

$a\,<\,b \Rightarrow a\cdot c\,<\, b\cdot c$

In altre parole, moltiplicando entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo, il verso della disuguaglianza non cambia e la disuguaglianza resta vera.
Se $c<0$ , allora si inverte il verso:

$a\,<\,b \Rightarrow a\cdot c\,>\, b\cdot c$

In altre parole, moltiplicando entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte e la disuguaglianza resta vera.

Tale regola vale anche per le disuguaglianze $a\le b$ , $a>b$ e $a\ge b$ . L'importante è ricordare che il verso si inverte solo quando si moltiplica (o si divide) per un numero negativo.

Moltiplicando per un numero negativo bisogna cambiare i versi delle disuguaglianze in questo modo:

$<$ diventa $>$
$\le$ diventa $\ge$
$>$ diventa $<$
$\ge$ diventa $\le$

Esempio

Esempio 3

Nella disuguaglianza $-4<2$ , moltiplichiamo sia il membro a sinistra che quello a destra per $-5$ (numero negativo):

(-4)\cdot(-5) &gt; 2\cdot(-5) \quad\Rightarrow\quad 20 &gt; -10.

Il verso è cambiato perché il fattore è negativo.

Consiglio

Ricorda il “segnale d'allarme” del segno

Ogni volta che moltiplichi (o dividi) una disuguaglianza per un numero negativo, metti mentalmente una “freccia invertita”: il simbolo $<$ diventa $>$ e viceversa; lo stesso per $\le$ e $\ge$ .

Le Leggi di Cancellazione

Le leggi di cancellazione sono l'altra faccia della medaglia: descrivono che cosa possiamo togliere a entrambi i membri senza alterare la verità della relazione. Si possono interpretare come applicazioni delle leggi di monotonia alla sottrazione e alla divisione.

Definizione

Prima legge di Cancellazione (sottrazione)

Per ogni numero intero $c$ vale:

a+c \,=\, b+c \Rightarrow a\,=\, b

In altre parole, rimuovendo (sottraendo) la stessa quantità da entrambi i membri di un'uguaglianza, l'uguaglianza resta vera.

Questa legge vale anche per le disuguaglianze:

a+c \,&lt;\, b+c \Rightarrow a\,&lt;\, b

a+c \,\le\, b+c \Rightarrow a\,\le\, b

a+c \,&gt;\, b+c \Rightarrow a\,&gt;\, b

a+c \,\ge\, b+c \Rightarrow a\,\ge\, b

Ossia, rimuovendo (sottraendo) la stessa quantità da entrambi i membri di una disuguaglianza, la disuguaglianza resta vera.

Esempio

Esempio 4

Dall'uguaglianza $17+q=12+5+q$ possiamo cancellare $q$ (ovvero sottrarre $q$ da entrambi i membri) e ottenere

17=12+5,

che è vera.

Analogamente, da $9+t<21+t$ sottraendo $t$ si ricava $9<21$ .

Definizione

Seconda legge di cancellazione per le uguaglianze

Dati $a,b \in \mathbb{Z}$

Se $a=b$ e $c\ne 0$ , allora:

a\cdot c=b\cdot c \Rightarrow a=b.

In altre parole, dividendo entrambi i membri di un'uguaglianza per lo stesso numero diverso da zero, l'uguaglianza resta vera.

Definizione

Seconda legge di cancellazione per le disuguaglianze

Se $a,b \in \mathbb{Z}$ e $c\ne 0$ , allora vale:

Se $c>0$ , da $a\cdot c\,< b\cdot c$ segue $a<b$ :

$a\cdot c\,\square\, b\cdot c \Rightarrow a\,\square\, b$
Se $c<0$ , da $a\cdot c\,< b\cdot c$ segue $a>b$ (si inverte il verso):

$a\cdot c\,\square\, b\cdot c \Rightarrow a\,\widetilde{\square}\, b$

In altre parole, dividendo entrambi i membri di una disuguaglianza per lo stesso numero diverso da zero, la disuguaglianza resta vera; se il numero è negativo, si inverte il verso della disuguaglianza.

Lo stesso vale per le disuguaglianze $a\le b$ , $a>b$ e $a\ge b$ , con le stesse regole di inversione del verso viste sopra.

Esempio

Esempio 5

Dall'uguaglianza $6\cdot z=(2+4)\cdot z$ , con $z\ne 0$ , dividendo per $z$ otteniamo

6=2+4.

Dalla disuguaglianza $-18>9\cdot k$ , dividendo entrambi i membri per $-3$ (numero negativo), si inverte il verso:

((-18) : (-3))\ &lt;\ (9\cdot k) : (-3)\quad\Rightarrow\quad 6&lt; -3k.

Nota

Divisione per zero: vietata

Non è mai consentito dividere per $0$ . Nelle leggi di cancellazione (e nella seconda legge di monotonia) il divisore o il fattore devono essere non nulli.

Riepilogo

Abbiamo visto nelle lezioni precedenti che l'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ ha alcune importanti proprietà:

Chiusura rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione.
Possiede un ordine totale (cioè per ogni coppia di numeri interi $a$ e $b$ vale sempre una e una sola delle seguenti relazioni: $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ ).

Da queste proprietà e dalle proprietà delle operazioni algebriche discendono le leggi di monotonia e le leggi di cancellazione che abbiamo appena visto.

Tali leggi saranno fondamentali per la risoluzione di equazioni e disequazioni.

Possiamo riassumere le leggi di monotonia e di cancellazione in questo modo.

Per $a,b,c\in\mathbb{Z}$ , con $c \neq 0$ e con $\square$ che indica uno qualsiasi dei simboli di disuguaglianza o uguaglianza ( $<$ , $>$ , $=$ , $\le$ , $\ge$ ) e con $\widetilde{\square}$ che indica il simbolo di disuguaglianza o uguaglianza invertito rispetto a $\square$ :

Addizione (prima legge di monotonia)

$a\,\square\, b \ \Rightarrow\ a+c\,\square\, b+c \quad\text{per qualunque } c$
Moltiplicazione (uguaglianze)

$a=b \ \Rightarrow\ a\cdot c=b\cdot c \quad\text{con } c\ne 0$
Moltiplicazione (disuguaglianze)
- Se $c>0$ allora:
  
  $a\,\square\, b \Rightarrow a\cdot c\,\square\, b\cdot c$
- se $c<0$ allora:
  
  $a\,\square\, b \Rightarrow a\cdot c\,\widetilde{\square}\, b\cdot c$
Cancellazione per sottrazione

$a+c\,\square\, b+c \ \Rightarrow\ a\,\square\, b$
Cancellazione per divisione

Con $c\ne 0$ :

$a\cdot c=b\cdot c \Rightarrow a=b$

e per le disuguaglianze

$\begin{cases} a\cdot c\,\square\, b\cdot c \Rightarrow a\,\square\, b, & c>0,\\[4pt] a\cdot c\,\square\, b\cdot c \Rightarrow a\,\widetilde{\square}\, b, & c<0. \end{cases}$

Consiglio

Check-list veloce

Nell'applicare le leggi di monotonia e di cancellazione, per evitare errori, conviene seguire questa check-list:

Stessa operazione su entrambi i membri?:

Sì → probabilmente lecito.

No → vietato.
Addizione/sottrazione?

Il verso non cambia.
Usare le parentesi quando si moltiplicano o si sommano espressioni.
Moltiplicazione/divisione?

Controllare il segno del numero:
- positivo → verso invariato;
- negativo → verso invertito;
- zero → vietato (per la moltiplicazione di uguaglianze e per tutte le divisioni).