Esperimenti, Spazi Campione ed Eventi

Prima di poter introdurre in maniera formale il concetto di probabilità, è necessario introdurre alcuni concetti preliminari. In questa lezione vedremo quali sono questi concetti e come essi sono collegati tra di loro.

Esperimento, Spazio Campione ed Evento

Per poter introdurre la probabilità in maniera assiomatica è necessario fissare tre concetti fondamentali: esperimento, spazio campione ed evento.

Partiamo dal primo concetto:

Definizione

Esperimento

Nell'ambito della probabilità assiomatica, un esperimento aleatorio è una procedura sperimentale il cui esito non è noto a priori ma che ha un insieme ben definito di possibili risultati.

Vediamo qualche possibile esempio di esperimento:

Un possibile esperimento è, ad esempio, il lancio di un dado. Quando lanciamo un dado possiamo ottenere come risultato un numero compreso tra 1 e 6. Quindi l'insieme dei risultati è ben definito.
Analogamente possiamo considerare come esperimento il lancio di una moneta. In questo caso l'insieme dei risultati è composto da due elementi: testa e croce.
Infine possiamo considerare come esperimento l'estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi senza jolly. In questo caso l'insieme dei risultati è composto da 52 elementi: le 13 carte di ogni seme.

In ognuno di questi esperimenti abbiamo un insieme ben definito di possibili risultati ma non sappiamo a priori quale sarà il risultato dell'esperimento stesso.

L'insieme dei possibili risultati di un esperimento è detto spazio campione:

Definizione

Spazio Campione

Lo spazio campione di un esperimento aleatorio è l'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento stesso.

Formalmente, lo spazio campione, indicato con $\Omega$ , è composto da tutti gli esiti possibili dell'esperimento indicati con $\omega$ .

Lo spazio campione può essere finito o infinito.

Torniamo agli esempi di esperimenti di sopra e proviamo a definire formalmente gli spazi campione ad essi associati:

Per il lancio di un dado, lo spazio campione è $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ;
Per il lancio di una moneta, lo spazio campione è $\Omega = \{T, C\}$ ;
Per l'estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi senza jolly, lo spazio campione è:

$\Omega = \left\{ \begin{array}{c} 1\spadesuit, 2\spadesuit, 3\spadesuit, \dots, J\spadesuit, Q\spadesuit, K\spadesuit, \\ 1\heartsuit, 2\heartsuit, 3\heartsuit, \dots, J\heartsuit, Q\heartsuit, K\heartsuit, \\ 1\diamondsuit, 2\diamondsuit, 3\diamondsuit, \dots, J\diamondsuit, Q\diamondsuit, K\diamondsuit, \\ 1\clubsuit, 2\clubsuit, 3\clubsuit, \dots, J\clubsuit, Q\clubsuit, K\clubsuit \end{array} \right\}$

dove $J$ indica il Jack, $Q$ la Regina e $K$ il Re.

In questo caso lo spazio campione è composto da 52 elementi.

Adesso che abbiamo definito lo spazio campione possiamo definire il concetto di evento:

Definizione

Evento

Dato uno spazio campione $\Omega$ , un evento $A$ è un sottoinsieme di $\Omega$ :

A \subseteq \Omega

Tornando agli esempi di sopra, alcuni possibili eventi sono:

Per il lancio di un dado, un possibile evento è $A = \{1, 2, 3\}$ oppure $B = \{2, 4, 6\}$ ;
Per il lancio di una moneta, un possibile evento è $A = \{T\}$ oppure $B = \{C\}$ ;
Per l'estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi senza jolly, un possibile evento è $A = \{1\spadesuit, 1\heartsuit, 1\diamondsuit, 1\clubsuit\}$ oppure $B = \{1\spadesuit, 1\heartsuit, 1\diamondsuit, 1\clubsuit, 2\spadesuit, 2\heartsuit, 2\diamondsuit, 2\clubsuit\}$ .

In generale, un evento può essere composto da un singolo elemento dello spazio campione oppure da più elementi. Nel primo caso si parla di evento elementare mentre nel secondo caso si parla di evento composto.

Definizione

Evento Elementare

Un evento elementare è un evento composto da un singolo elemento dello spazio campione:

A = \{\omega\} \quad \omega \in \Omega

Definizione

Evento Composto

Un evento composto è un evento composto da più elementi dello spazio campione:

A = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\} \quad \omega_i \in \Omega

Un evento può anche essere descritto attraverso una proprietà che deve essere soddisfatta dagli elementi che lo compongono. Ad esempio nel caso del lancio di un dado, possiamo considerare l'evento $A$ come l'insieme dei risultati pari:

A = \{2, 4, 6\}

Altro importante concetto è quello di evento complementare:

Definizione

Evento Complementare

Dato uno spazio campione $\Omega$ , l'evento complementare di un evento $A$ è l'evento che contiene tutti gli elementi di $\Omega$ che non appartengono ad $A$ :

A^c = \overline{A} = \Omega \setminus A

Per indicare l'evento complementare esistono due notazioni:

$A^c$ ;
$\overline{A}$ .

Prove ed Eventi

Sopra abbiamo visto che un evento è un sottoinsieme dello spazio campione. Un evento potrebbe verificarsi oppure no. Per esplicitare questa caratteristica di un evento, introduciamo il concetto di prova:

Definizione

Prova

Una prova rappresenta la singola ripetizione di un esperimento.

Il risultato di una prova è l'elemento dello spazio campione che si ottiene come risultato dell'esperimento:

\omega \in \Omega

Ad esempio, se consideriamo come esperimento il lancio di un dado, una prova è il singolo lancio del dado. Il risultato di una prova è il numero presente sulla faccia del dado rivolta verso l'alto.

Analogamente se consideriamo come esperimento il lancio di una moneta e come spazio campione $\Omega = \{T, C\}$ , una prova è il singolo lancio della moneta. Il risultato di una prova è il lato della moneta che esce.

Dobbiamo sottolineare la differenza che esiste tra prova ed evento. La prova è un singolo risultato, mentre l'evento è un insieme di risultati. Concettualmente si tratta di due enti matematici differenti. La prova è un elemento dello spazio campione, mentre l'evento è un sottoinsieme dello spazio campione.

Nota

Differenza tra Prova ed Evento

La prova è un singolo risultato, mentre l'evento è un insieme di risultati.

Il risultato di una prova $\omega$ può appartenere o meno ad un evento.

Supponendo di effettuare una prova e di ottenere come risultato $\omega$ , possiamo dire che l'evento $A$ si è verificato se $\omega \in A$ . In caso contrario, l'evento $A$ non si è verificato.

In questo modo possiamo dire che:

Se $\omega \in A$ , allora l'evento $A$ si è verificato;
Se $\omega \notin A$ , allora l'evento $A$ non si è verificato;

possiamo anche scrivere $\omega \in A^c$ o $\omega \in \overline{A}$ .

Evento Impossibile ed Evento Certo

Partendo da queste considerazioni possiamo definire l'evento certo e l'evento impossibile:

Definizione

Evento Certo

L'evento certo è l'evento che si verifica sempre, ossia l'evento che contiene tutti gli elementi dello spazio campione:

\Omega = \text{evento certo}

Definizione

Evento Impossibile

L'evento impossibile è l'evento che non si verifica mai, ossia l'evento che non contiene alcun elemento dello spazio campione:

\varnothing = \text{evento impossibile}

Esempio

Chiariamo con un esempio il concetto di prova ed evento.

Se consideriamo come esperimento il lancio di un dado, lo spazio campione è $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

A questo punto consideriamo i seguenti possibili eventi:

$A = \{2, 4, 6\}$ , ossia l'evento che si verifica quando esce un numero pari;
$B = \{1, 2, 3\}$ , ossia l'evento che si verifica quando esce un numero minore o uguale a 3;
$C = \{1, 3, 5\}$ , ossia l'evento che si verifica quando esce un numero dispari.

Adesso, supponiamo di effettuare una prova lanciando un dado ed il risultato è $\omega = 4$ . In questo caso possiamo dire che:

L'evento $A$ si è verificato, in quanto $\omega \in A$ ; infatti 4 è un numero pari;
L'evento $B$ non si è verificato, in quanto $\omega \notin B$ ; infatti 4 non è un numero minore o uguale a 3;
L'evento $C$ non si è verificato, in quanto $\omega \notin C$ ; infatti 4 non è un numero dispari.

Inoltre, possiamo ad esempio dire che si è verificato l'evento $A \, \text{oppure} \, B$ in quanto $\omega \in A \cup B$ .

In Sintesi

Questa lezione è stata dedicata all'introduzione di alcuni concetti fondamentali della probabilità assiomatica. Tali concetti risultano necessari per poter introdurre in maniera formale la probabilità.

In particolare abbiamo visto:

Il concetto di esperimento aleatorio, ossia una procedura sperimentale il cui esito non è noto a priori ma che ha un insieme ben definito di possibili risultati;
Il concetto di spazio campione, ossia l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento;
Il concetto di evento, ossia un sottoinsieme dello spazio campione;

Abbiamo poi introdotto il concetto di prova, ossia la singola ripetizione di un esperimento, e abbiamo visto che un evento può verificarsi o meno a seconda del risultato della prova.

Dal momento che gli eventi sono sottoinsiemi dello spazio campione su di essi possiamo definire operazioni insiemistiche come l'unione e l'intersezione. Vedremo nel dettaglio queste operazioni nella prossima lezione.