Operazioni tra Eventi

Nella lezione precedente abbiamo visto che un evento, nell'ambito del calcolo delle probabilità, è un sottoinsieme dello spazio campione $\Omega$ .

Da ciò risulta immediato che, in quanto insiemi matematici, possiamo definire per gli eventi le operazioni di unione, intersezione e complemento. Inoltre, possiamo estendere tali operazioni anche al caso di più eventi.

In questa lezione vedremo come definire tali operazioni e come esse si comportano rispetto alle proprietà degli insiemi.

Unione di Eventi

Essendo gli eventi degli insiemi, possiamo definire per essi l'operazione di unione. Dati due eventi $A$ e $B$ , la loro unione è l'evento $A \cup B$ composto dai risultati che appartengono ad $A$ oppure a $B$ oppure ad entrambe.

Pertanto l'evento $A \cup B$ si verifica se si verifica $A$ oppure $B$ oppure entrambi. In simboli:

A \cup B = \{ \omega \in \Omega : \omega \in A \lor \omega \in B \}

Possiamo estendere l'operazione di unione anche al caso di più eventi. Dati $n$ eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ , la loro unione è l'evento $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ composto dai risultati che appartengono ad almeno uno degli eventi $A_i$ .

Pertanto l'evento $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ si verifica se si verifica almeno uno degli eventi $A_i$ . In simboli:

\bigcup_{i=1}^n A_i = \{ \omega \in \Omega : \omega \in A_1 \lor \omega \in A_2 \lor \dots \lor \omega \in A_n \}

La stessa cosa si può estendere anche all'unione infinita di eventi anche non numerabile.

L'unione gode della proprietà commutativa e associativa in quanto deriva dall'operazione di unione tra insiemi:

A \cup B = B \cup A

A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C

Definizione

Unione di Eventi

L'evento risultante dall'Unione di $n$ eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ è l'evento:

\bigcup_{i=1}^n A_i = \{ \omega \in \Omega : \omega \in A_1 \lor \omega \in A_2 \lor \dots \lor \omega \in A_n \}

Tale evento si verifica se si verifica almeno uno degli eventi $A_i$ .

L'unione di eventi gode della proprietà commutativa e associativa.

Esempio di Unione di Eventi

Consideriamo il lancio di un dado e consideriamo i seguenti eventi:

$A$ : il risultato è pari

$A = \{ 2, 4, 6 \}$
$B$ : il risultato è un numero maggiore di 3

$B = \{ 4, 5, 6 \}$

L'unione di questi due eventi è l'insieme:

A \cup B = \{ 2, 4, 5, 6 \}

In tal caso l'evento $A \cup B$ si verifica se il risultato del lancio del dado è 2, 4, 5 o 6.

Intersezione di Eventi

L'intersezione di due eventi $A$ e $B$ è l'evento $A \cap B$ composto dai risultati che appartengono sia ad $A$ che a $B$ .

Diremo che si verifica l'evento $A \cap B$ se si verificano contemporaneamente $A$ e $B$ . In altre parole, dato il risultato $\omega$ di una prova, l'evento $A \cap B$ si verifica se $\omega \in A$ e $\omega \in B$ .

Anche per l'intersezione possiamo estendere l'operazione anche al caso di più eventi. Dati $n$ eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ , la loro intersezione è l'evento $A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$ composto dai risultati che appartengono a tutti gli eventi $A_i$ .

Si può estendere il concetto anche al caso dell'intersezione infinita di eventi anche non numerabile.

L'intersezione gode della proprietà commutativa e associativa:

A \cap B = B \cap A

A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C

Definizione

Intersezione di Eventi

L'evento risultante dall'Intersezione di $n$ eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ è l'evento:

\bigcap_{i=1}^n A_i = \{ \omega \in \Omega : \omega \in A_1 \land \omega \in A_2 \land \dots \land \omega \in A_n \}

Tale evento si verifica se si verificano tutti gli eventi $A_i$ .

L'intersezione di eventi gode della proprietà commutativa e associativa.

Esempio di Intersezione di Eventi

Consideriamo il lancio di un dado e consideriamo gli eventi $A$ e $B$ visti sopra:

$A$ : il risultato è pari

$A = \{ 2, 4, 6 \}$
$B$ : il risultato è un numero maggiore di 3

$B = \{ 4, 5, 6 \}$

L'intersezione di questi due eventi è l'insieme:

A \cap B = \{ 4, 6 \}

In tal caso l'evento $A \cap B$ si verifica se il risultato del lancio del dado è 4 o 6.

Eventi Incompatibili e Eventi Necessari

Quando l'intersezione di due eventi è vuota, cioè $A \cap B = \varnothing$ , diremo che gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili. In altre parole, due eventi sono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.

Definizione

Eventi incompatibili

Due eventi $A$ e $B$ sono incompatibili se:

A \cap B = \varnothing

Simile al concetto precedente è quello di eventi necessari. Più eventi sono necessari se la loro unione è lo spazio campione $\Omega$ . Detto in altre parole, più eventi sono necessari se almeno uno di essi deve verificarsi.

Definizione

Eventi necessari

Siano dati $n$ eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ . Gli eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ sono necessari se:

\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega

Chiariamo con un esempio: consideriamo il lancio di un dado e consideriamo i seguenti eventi:

$A$ : il risultato è pari

$A = \{ 2, 4, 6 \}$
$B$ : il risultato è dispari

$B = \{ 1, 3, 5 \}$

Risulta chiaro che l'unione di questi due eventi è lo spazio campione $\Omega$ :

A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} = \Omega

Pertanto gli eventi $A$ e $B$ sono necessari. Questo risultato è abbastanza intuitivo, in quanto il risultato di un lancio di un dado deve essere per forza un numero pari o un numero dispari.

Allo stesso modo, gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili in quanto non possono verificarsi contemporaneamente. Del resto un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. Per cui:

A \cap B = \varnothing

Possiamo avere eventi che sono allo stesso tempo incompatibili e necessari. Ritornando all'esempio di prima abbiamo che:

A \cap B = \varnothing

A \cup B = \Omega

In tal caso si dice che questi eventi formano una partizione dello spazio campione $\Omega$ .

Definizione

Partizione dello spazio campione

Siano dati $n$ eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ . Gli eventi $A_1, A_2, \dots, A_n$ formano una partizione dello spazio campione $\Omega$ se:

\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega

A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \neq j

ossia, se sono necessari e incompatibili tra di loro.

Eventi Inclusi

Dati due eventi $A$ e $B$ , diremo che $A$ è incluso in $B$ se ogni risultato di $A$ è anche un risultato di $B$ . In simboli:

A \subseteq B \iff \forall \omega \in A \implies \omega \in B

In sostanza l'insieme $A$ è un sottoinsieme dell'insieme $B$ .

In termini di eventi, se si verifica l'evento $A$ allora si verifica anche l'evento $B$ . Diremo, quindi, che l'evento $A$ implica l'evento $B$ .

Definizione

Implicazione di eventi

Siano dati due eventi $A$ e $B$ . L'evento $A$ implica l'evento $B$ se:

A \subseteq B

Tornando all'esempio dei dadi, consideriamo i due eventi che seguono:

$A$ : il risultato il numero 2

$A = \{ 2 \}$
$B$ : il risultato è un numero pari

$B = \{ 2, 4, 6 \}$

In questo caso $A \subset B$ , infatti 2 è un numero pari. Per cui, se lanciando un dado si verifica l'evento $A$ , l'evento $B$ si verifica sicuramente: l'evento $B$ è implicato dall'evento $A$ .