Spazio degli Eventi e Sigma Campi

Spazio degli Eventi

Nella lezioni precedenti abbiamo visto che un evento è un insieme e, più precisamente, un sotto-insieme dello spazio campione $\Omega$ .

Come vedremo nella prossima lezione, la probabilità è una funzione che associa ad un evento il grado di incertezza, ossia la probabilità che esso si verifichi. Come anticipazione, possiamo dire che la probabilità è una funzione che associa ad un evento un numero reale compreso tra 0 e 1. Per cui, dato un evento $A$ , la probabilità di $A$ è un numero reale $p$ tale che $0 \leq p \leq 1$ :

p = P(A) \in [0, 1]

Ora, essendo la probabilità una funzione ciò significa che essa deve essere definita su un dominio. In tal caso il dominio è un insieme di eventi o meglio un insieme di insiemi. Quando parliamo di un insieme di insiemi usiamo il termine Collezione.

La collezione di eventi su cui andiamo a definire la funzione di probabilità prende il nome di Spazio degli Eventi e lo indichiamo con $\mathcal{S}$ . Tale spazio sarà un sotto-insieme delle parti di $\Omega$ :

\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)

Ricapitolando, tutti gli eventi sono sotto-insiemi dello spazio campione $\Omega$ ma non è detto che tutti gli insiemi di $\Omega$ siano eventi. Le motivazioni per cui un insieme di $\Omega$ non è un evento sono complesse da discutere in questa sede. Per cui, per ora, ci limitiamo a dire che lo spazio degli eventi è la collezione degli eventi di interesse.

Definizione

Spazio degli Eventi

Lo spazio degli eventi $\mathcal{S}$ è la collezione di tutti gli eventi di interesse. Tale spazio è un sotto-insieme delle parti di $\Omega$ :

\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)

Struttura Algebrica dello Spazio degli Eventi

Come vedremo, la probabilità è una funzione che associa ad un evento un numero reale compreso tra 0 e 1. Un evento è un insieme che appartiene allo spazio degli eventi.

Ora, abbiamo già anticipato nella scorsa lezione che è possibile combinare eventi tra di loro ed ottenere altri eventi. Possiamo, infatti, ottenere eventi dall'unione o dall'intersezione di altri eventi. Essendo questi ultimi a loro volta eventi possiamo applicare la funzione di probabilità ad essi.

La conseguenza è che, affinché tutto l'impianto assiomatico della probabilità regga, dobbiamo imporre una struttura algebrica allo spazio degli eventi. Dobbiamo garantire, nella pratica, che eventi ottenuti dall'unione o dall'intersezione di altri eventi appartengano sempre allo spazio degli eventi.

Formalmente, lo spazio degli eventi deve essere chiuso rispetto alle operazioni di unione e negazione. Più precisamente, lo spazio degli eventi deve essere un campo:

Definizione

Spazio degli Eventi come Campo

Uno spazio degli eventi $\mathcal{S}$ non vuoto è un campo se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

Chiusura rispetto al complemento: Per ogni evento $A \in \mathcal{S}$ , anche il suo complementare $A^c \in \mathcal{S}$ :

$\forall A \in \mathcal{S} \Rightarrow A^c \in \mathcal{S}$
Chiusura rispetto all'unione: Per ogni coppia di eventi $A, B \in \mathcal{S}$ , anche la loro unione $A \cup B \in \mathcal{S}$ :

$\forall A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{S}$

A partire dalle proprietà di chiusura enunciate sopra, possiamo dimostrare altre due importanti proprietà di uno spazio degli eventi.

Definizione

Un campo include l'insieme vuoto e lo spazio campione

Se uno spazio degli eventi è un campo, allora esso include l'insieme vuoto $\varnothing$ e lo spazio campione $\Omega$ :

\varnothing, \Omega \in \mathcal{S}

Dimostrazione

Per dimostrare che $\Omega \in \mathcal{S}$ , basta osservare che dato che $\mathcal{S}$ è non vuoto allora deve esistere almeno un elemento $A$ in esso.

Dalla prima proprietà deriva che anche il suo complementare $A^c$ appartiene a $\mathcal{S}$ :

A \in \mathcal{S} \Rightarrow A^c \in \mathcal{S}

Inoltre dalla seconda proprietà deriva che anche l'unione di $A$ con il suo complementare appartiene a $\mathcal{S}$ :

A, A^c \in \mathcal{S} \Rightarrow A \cup A^c \in \mathcal{S}

Ma l'unione di $A$ con il suo complementare è proprio lo spazio campione $\Omega$ :

A \cup A^c = \Omega

Per cui, $\Omega \in \mathcal{S}$ .

Inoltre, sfruttando la prima proprietà:

\Omega \in \mathcal{S} \Rightarrow \varnothing \in \mathcal{S}

In quanto il complementare dello spazio campione è proprio l'insieme vuoto.

Altra importante proprietà che deriva dalla struttura algebrica dello spazio degli eventi è la seguente:

Definizione

Chiusura rispetto all'intersezione

Sia $\mathcal{S}$ uno spazio degli eventi. Allora, per ogni coppia di eventi $A, B \in \mathcal{S}$ , anche la loro intersezione $A \cap B \in \mathcal{S}$ :

\forall A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{S}

Dimostrazione

Per dimostrare che $A \cap B \in \mathcal{S}$ , basta osservare che se $A \in \mathcal{S}$ allora anche il suo complementare $A^c \in \mathcal{S}$ e, analogamente, se $B \in \mathcal{S}$ allora anche il suo complementare $B^c \in \mathcal{S}$ :

A \in \mathcal{S} \Rightarrow A^c \in \mathcal{S}

B \in \mathcal{S} \Rightarrow B^c \in \mathcal{S}

Ma allora, per la seconda proprietà, anche l'unione di $A^c$ con $B^c$ appartiene a $\mathcal{S}$ :

A^c, B^c \in \mathcal{S} \Rightarrow A^c \cup B^c \in \mathcal{S}

Sfruttando la prima proprietà, possiamo affermare che il complementare dell'unione di $A^c$ con $B^c$ appartiene a $\mathcal{S}$ :

\overline{A^c \cup B^c} \in \mathcal{S}

Sfruttando le leggi di De Morgan, possiamo riscrivere il complementare dell'unione di $A^c$ con $B^c$ come l'intersezione di $A$ con $B$ :

\overline{A^c \cup B^c} = A \cap B

e quindi:

A \cap B \in \mathcal{S}

In questo modo, imponendo che lo spazio degli eventi sia un campo, abbiamo garantito che esso sia chiuso rispetto alle operazioni di unione, intersezione e negazione. Inoltre, abbiamo garantito che esso includa l'insieme vuoto e lo spazio campione.

La conseguenza è che qualunque operazione andiamo ad effettuare su due o più eventi otteniamo sempre un evento che appartiene allo spazio degli eventi e su cui possiamo applicare la funzione di probabilità.

Classi Additive o Sigma Campi

Imponendo che lo Spazio degli Eventi sia un campo garantiamo che un qualunque elemento risultante dall'unione o intersezione di un numero finito di eventi appartenga sempre allo spazio degli eventi.

Ciò non vale, invece, se lo Spazio degli Eventi è composto da un numero infinito di elementi.

In tal caso dobbiamo introdurre il concetto di Classe Additiva o Sigma Campo (σ-Campo).

Definizione

Classe Additiva o Sigma Campo (σ-Campo)

Sia $\mathcal{S}$ uno Spazio degli Eventi con struttura di campo. Allora $\mathcal{S}$ è una Classe Additiva o Sigma Campo (σ-Campo) se è chiusa rispetto all'unione numerabile di eventi.

Formalmente, sia data una successione di eventi $A_1, A_2, \dots, A_n, \dots$ con $A_i \in \mathcal{S}$ per ogni $i \in \mathbb{N}$ e tali per cui $A_i \in \mathcal{S}$ per ogni $i \in \mathbb{N}$ . Allora, anche la loro unione numerabile $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n \cup \dots$ appartiene a $\mathcal{S}$ :

Proprietà di chiusura rispetto all'unione numerabile:

\left\{ A_i \right\}_{i = 1}^{\infty} \subseteq \mathcal{S} \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i \in \mathcal{S}

Da questa proprietà si può ricavare anche la proprietà di chiusura rispetto all'intersezione numerabile:

Definizione

Chiusura rispetto all'intersezione numerabile

Sia $\mathcal{S}$ un σ-Campo. Allora $\mathcal{S}$ è chiuso rispetto all'intersezione numerabile:

\left\{ A_i \right\}_{i = 1}^{\infty} \subseteq \mathcal{S} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^{\infty} A_i \in \mathcal{S}

Dimostrazione

Dato che ogni $A_i$ appartiene a $\mathcal{S}$ , allora anche il suo complementare $A_i^c$ appartiene a $\mathcal{S}$ :

A_i \in \mathcal{S} \Rightarrow A_i^c \in \mathcal{S}

Ma allora, per la proprietà di chiusura rispetto all'unione numerabile, anche l'unione numerabile dei complementari $A_i^c$ appartiene a $\mathcal{S}$ :

\bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i^c \in \mathcal{S}

Inoltre, la negazione dell'unione numerabile dei complementari $A_i^c$ deve appartenere a $\mathcal{S}$ :

\overline{\bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i^c} \in \mathcal{S}

Ma applicando le leggi di De Morgan, possiamo riscrivere la negazione dell'unione numerabile dei complementari $A_i^c$ come l'intersezione numerabile degli $A_i$ :

\overline{\bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i^c} = \bigcap_{i = 1}^{\infty} A_i

e quindi:

\bigcap_{i = 1}^{\infty} A_i \in \mathcal{S}

Costruzione di un Sigma Campo

Il problema che adesso ci poniamo è come costruire un σ-Campo a partire da uno spazio campione.

In generale, dato uno spazio campione, possiamo costruire il più piccolo σ-Campo ad esso associato scegliendo come elementi lo stesso spazio campione e l'insieme vuoto:

\mathcal{S} = \left\{ \varnothing, \Omega \right\}

Si tratta, in effetti, del più piccolo σ-Campo che possiamo costruire e prende il nome di σ-Campo Banale. La sua utilità è limitata, in quanto non ci permette di fare molte operazioni.

Viceversa, dato uno spazio campione, possiamo scegliere come σ-Campo associato l'insieme delle parti di $\Omega$ :

\mathcal{S} = \mathcal{P}(\Omega)

Essendo quest'ultimo composto da tutti i possibili sotto-insiemi di $\Omega$ , da tutte le loro possibili unioni e intersezioni, esso è il più grande σ-Campo che possiamo costruire.

Ai fini della probabilità, la distinzione tra campo e σ-Campo diventa importante soltanto nel caso in cui il numero di elementi dello spazio campione sia infinito. In tal caso, infatti, lo spazio degli eventi deve essere un σ-Campo.

Nel caso in cui, invece, il numero di elementi che compone lo spazio campione è finito, ad esempio $N$ , allora l'insieme delle parti di $\Omega$ è composto da $2^N$ elementi:

\left| \mathcal{P}(\Omega) \right| = 2^N

In tal caso l'insieme delle parti di $\Omega$ è sia un campo che un σ-Campo.

L'insieme delle parti di $\Omega$ continua ad essere un σ-Campo anche nel caso in cui $\Omega$ sia infinito numerabile.

Possiamo scegliere come Spazio degli Eventi l'insieme delle parti di $\Omega$ nel caso in cui $\Omega$ sia finito o infinito numerabile.

Definizione

Costruzione di uno spazio degli eventi

Il modo più semplice per costruire uno spazio degli eventi è scegliere come σ-Campo l'insieme delle parti di $\Omega$ :

\mathcal{S} = \mathcal{P}(\Omega)

Ciò è possibile nel caso in cui $\Omega$ sia finito o infinito numerabile. In entrambe le situazioni, l'insieme delle parti di $\Omega$ è sia un campo che un σ-Campo.

Non possiamo scegliere come spazio degli eventi l'insieme delle parti di $\Omega$ , invece, quando quest'ultimo è infinito non numerabile o meglio infinito continuo. Vedremo in seguito come agire in questo caso.

Nota

L'insieme delle parti di $\Omega$ non può essere scelto come Spazio degli Eventi nel caso in cui $\Omega$ sia infinito continuo

Nel caso in cui $\Omega$ sia infinito continuo, l'insieme delle parti di $\Omega$ non può essere scelto come Spazio degli Eventi. Questo perché, intuitivamente, tale insieme risulterebbe troppo grande per poter definire una valida funzione di probabilità su di esso.

In Sintesi

Abbiamo visto che la probabilità è una funzione che associa ad un evento un numero reale compreso tra 0 e 1. Un evento è un insieme che appartiene allo spazio degli eventi.

Abbiamo visto che possiamo combinare eventi tra di loro ed ottenere altri eventi. Possiamo, infatti, ottenere eventi dall'unione o dall'intersezione di altri eventi. Essendo questi ultimi a loro volta eventi possiamo applicare la funzione di probabilità ad essi.

La conseguenza è che, affinché tutto l'impianto assiomatico della probabilità regga, dobbiamo imporre una struttura algebrica allo spazio degli eventi. Dobbiamo garantire, nella pratica, che eventi ottenuti dall'unione o dall'intersezione di altri eventi appartengano sempre allo spazio degli eventi.

Formalmente, lo spazio degli eventi deve essere chiuso rispetto alle operazioni di unione e negazione. Più precisamente, lo spazio degli eventi deve essere un campo.

Abbiamo visto che, imponendo che lo spazio degli eventi sia un campo, abbiamo garantito che un qualunque elemento risultante dall'unione o intersezione di un numero finito di eventi appartenga sempre allo spazio degli eventi.

Ciò non vale, invece, se lo Spazio degli Eventi è composto da un numero infinito di elementi.

In tal caso dobbiamo introdurre il concetto di Classe Additiva o Sigma Campo (σ-Campo).

Fatte queste premesse, nella prossima lezione possiamo dedicarci finalmente alla definizione della probabilità.